余弦定理公式的含義及其證明.doc

余弦定理公式的含義及其證明少三(2) 宋伊辰在做參考書的時(shí)候，我有時(shí)會(huì)遇到“已知一個(gè)一般三角形的兩邊長(zhǎng)及其夾角的度數(shù)，要求第三邊長(zhǎng)度”的情況。與直角三角形不同，這時(shí)直接求第三邊長(zhǎng)顯得有些困難，往往要花很大力氣。那么，有沒有什么方法可以直接求解呢？我向爸爸提出了我的疑問?！翱梢杂糜嘞叶ɡ砬蟀??！彼卮鸬馈！坝嘞叶ɡ硎鞘裁矗俊睉阎鴿M腹的疑問，我開始上網(wǎng)搜尋答案。余弦定理，是描述三角形中三邊長(zhǎng)度與一個(gè)角的余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問題。如左圖所示，在ABC中，余弦定理可表示為：同理，也可描述為：同理，將等式兩邊同乘以c得到：如右圖所示，ABC，在c上做高，將c邊寫作：+得：那么，我們又如何證明余弦定理的成立呢？我又對(duì)此展開了探究。法一（代數(shù)證明）： +得到：同理，法二（運(yùn)用相交弦定理證明）：如圖，在三角形ABC中，A=，AB=a，BC=b，AC=c以B 為圓心，以長(zhǎng)邊AB為半徑做圓（這里要用長(zhǎng)邊的道理在于，這樣能保證C點(diǎn)在圓內(nèi)）。延長(zhǎng)BC，交B于點(diǎn)D和E DC=a-b，CE=a+b，AC=cAG=2acosCG=2acos-c。DCCE=ACCG (a-b)(a+b)=c(2acos-c) 化簡(jiǎn)得：A法三（平面幾何）：在ABC中，已知AC=b，BC=a，C=，求c。 過點(diǎn)A作ADBC于D，AD=ACsin=bsin，CD=ACcos=bcosBD=BC-CD=a- bcos在RtABD中，ADB=90CDB（bsin+（a- bcos 法四(解析幾何)：以點(diǎn)C為原點(diǎn)O，AC為x軸，建立如右圖所示的平面直角坐標(biāo)系。在ABC中，AC=b， CB=a，AB=c，則A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0) |AB| 即經(jīng)過一番思考和嘗試，我成功地運(yùn)用多種方法證明了余弦定理公式。那么，這個(gè)公式在實(shí)際的題目當(dāng)中有什么應(yīng)用呢？網(wǎng)上的資料給了我答案。余弦定理可應(yīng)用于以下兩種需求：1、當(dāng)已知三角形的兩邊及其夾角，可由余弦定理得出已知角的對(duì)邊。2、當(dāng)已知三角形的三邊，可以由余弦定理得到三角形的三個(gè)內(nèi)角。余弦定理還可以變換成以下形式： 由此看來，余弦定理是一個(gè)簡(jiǎn)潔卻實(shí)用的公式。它是勾股定理在一般三角形情形下的推廣，應(yīng)用也更廣泛。余