線性代數 第四章 第四節(jié)PPT幻燈片課件.ppt

方程組有解的條件與解法 主要內容 齊次線性方程組 非齊次線性方程組 第四節(jié)線性方程組的解的結構 在上一章中 我們已經介紹了用矩陣的初等 變換解線性方程組的方法 并建立了兩個重要定 理 即 一 方程組有解的條件與解法 1 n個未知量的齊次線性方程組Ax 0有 非零解的充要條件是系數矩陣的秩 R A n 2 n個未知量的非齊次線性方程組Ax b 有解的充要條件是系數矩陣A的秩等于增廣矩 陣B的秩 且當R A R B n時方程組有唯 一解 當R A R B r n時方程組有無窮多 解 下面我們用向量組線性相關的理論來討論線 性方程組的解 二 齊次線性方程組 1 基礎解系 1 解向量 設有齊次線性方程組 記 則 1 式可寫成向量方程 Ax 0 2 若x1 11 x2 21 xn n1為 1 的解 則 稱為方程組 1 的解向量 它也就是向量方程 2 的解 2 解向量的性質 性質1若x 1 x 2為 2 的解 則 x 1 2也是 2 的解 證只要驗證x 1 2滿足方程 2 A 1 2 A 1 A 2 0 0 0 性質2若x 1為 2 的解 k為實數 則 x k 1也是 2 的解 證A k 1 k A 1 k0 0 把方程Ax 0的全體解所組成的集合記作S 如果能求得解集S的一個最大無關組S0 1 2 t 那么方程Ax 0的任一解都可由最大無關 組S0線性表示 另一方面 由上述性質1 2可 知 最大無關組S0的任何線性組合 x k1 1 k2 2 kt t 都是方程Ax 0的解 因此上式便是方程Ax 0的通解 齊次線性方程組的解集的最大無關組稱為該 齊次線性方程組的基礎解系 由上面的討論可 知 要求齊次線性方程組的通解 只需求出它 的基礎解系 上一章我們用初等變換的方法求線性方程 組的通解 下面我們用同一方法來求齊次線性 方程組的基礎解系 2 基礎解系的求法 設系數矩陣A的秩為r 并不妨設A的前r個 列向量線性無關 于是A的行最簡形矩陣為 與B對應 即有方程組 把xr 1 xn作為自由未知量 并令它們依次 等于c1 cn r 可得方程組 1 的通解 把上式記作 x c1 1 c2 2 cn r n r 可知解集S中的任一向量x能由 1 2 n r線 性表示 又因為矩陣 1 2 n r 中有n r 階子式 En r 0故R 1 2 n r n r 所以 1 2 n r線性無關 根據最大無關組 的等價定義 即知 1 2 n r是解集S的最 大無關組 即 1 2 n r是方程組 1 的基 礎解系 在上面的討論中 我們先求出齊次線性方程 組的通解 再從通解求得基礎解系 其實我們也 可先求基礎解系 再寫出通解 這只需在得到方 程組 以后 令自由未知量xr 1 xr 2 xn取下列n r組數 由 3 即依次可得 從而求得 3 也就是 1 的n r個解 依據以上的討論 還可推得 定理7設m n矩陣A的秩R A r 則 RS n r n元齊次線性方程組Ax 0的解集S的秩 當R A n時 方程組 1 只有零解 因為沒 有基礎解系 此時解空間S只含一個零向量 為0 維向量空間 而當R A r n時 方程組 1 必 有含n r個向量的基礎解系 因此 由最大無 關組的性質可知 方程組 1 的任何n r個線 性無關的解都可構成它的基礎解系 并由此可知 齊次線性方程組的基礎解系并不是唯一的 它的 通解的形式也不是唯一的 例12求齊次線性方程組 的基礎解系與通解 例13設Am nBn l O 證明 R A R B n 例14設n元齊次線性方程組Ax 0與 Bx 0同解 證明R A R B 例15證明R ATA R A 三 非齊次線性方程組 1 非齊次線性方程組解的性質 設有非齊次線性方程組 它也可寫成向量方程 Ax b 5 向量方程 5 的解也就是方程組 4 的解向量 它具 有 性質3設x 1及x 2都是 5 的解 則 x 1 2為對應的齊次線性方程組 Ax 0 6 的解 性質4設x 是方程 5 的解 x 是 方程組 6 的解 則x 仍是方程 5 的解 2 非齊次線性方程組解的結構 由上述討論知 非齊次線性方程組的解等于 它所對應的齊次線性方程組的通解加上它的一個 特解 例16設有非齊次線性方程組 求該方程組的通解 方程組Ax b的解 R A 1 且 求方程組的通解 例已知 1 2 3是三元非齊次線性 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕 本節(jié)內容已結束 若想結束本堂課 請單擊返回按鈕