蘇教版選修45 反證法與放縮法 學(xué)案.docVIP

三 反證法與放縮法知識梳理1.反證法 先_,以此為出發(fā)點,結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理,定義,定理,性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已知證明的定理,性質(zhì),明顯成立的事實等) _的結(jié)論,以說明_不正確,從而證明原命題成立,我們稱這種證明問題的方法為反證法.2.放縮法 證明不等式時,通常把不等式中的某些部分的值_或_,簡化不等式,從而達(dá)到證明的目的.我們把這種方法稱為放縮法.知識導(dǎo)學(xué) 1.用反證法證明不等式必須把握以下幾點：(1)必須否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面,當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時,必須羅列出各種情況,缺少任何一種可能,反證法都是不完全的.(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證.否則,僅否定結(jié)論,不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理,就不是反證法.(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與已知事實相違背等等.推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.(4)在使用反證法時,“否定結(jié)論”在推理論證中往往作為已知使用,可視為已知條件.2.放縮法多借助于一個或多個中間量進(jìn)行放大或縮小,如欲證ab,需通過bb1,b1b2bia(或aa1,a1a2aib)，再利用傳遞性，達(dá)到證明的目的.疑難突破 1.反證法中的數(shù)學(xué)語言 反證法適宜證明“存在性問題,唯一性問題”,帶有“至少有一個”或“至多有一個”等字樣的問題,或者說“正難則反”,直接證明有困難時,常采用反證法,下面我們列舉一下常見的涉及反證法的文字語言及其相對應(yīng)的否定假設(shè).常見詞語至少有一個至多有一個唯一一個不是不可能全都是否定假設(shè)一個也沒有有兩個或兩個以上沒有或有兩個以上是有或存在不全不都是 對某些數(shù)學(xué)語言的否定假設(shè)要準(zhǔn)確,以免造成原則性的錯誤,有時在使用反證法時,對假設(shè)的否定也可以舉一定的特例來說明矛盾,尤其在一些選擇題中,更是如此. 2.放縮法的尺度把握等問題(1)放縮法的理論依據(jù)主要有:不等式的傳遞性;等量加不等量為不等量;同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較;基本不等式與絕對值不等式的基本性質(zhì);三角函數(shù)的有界性等.(2)放縮法使用的主要方法: 放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一,放縮必須有目標(biāo),而且要恰到好處,目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察.常用的放縮方法有增項,減項,利用分式的性質(zhì),利用不等式的性質(zhì),利用已知不等式,利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行放縮等.比如:舍去或加上一些項:(a+)2+(a+)2;將分子或分母放大(縮小):(kr,k1)等.典題精講【例1】 (經(jīng)典回放)若a3+b3=2,求證:a+b2.思路分析：本題結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體,更簡潔,宜用反證法.證法一：假設(shè)a+b2,a2-ab+b2=(ab)2+b20.而取等號的條件為a=b=0，顯然不可能，a2-ab+b20.則a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,故a2-ab+b2a2+b22ab.從而ab1.a2+b21+ab2.(a+b)2=a2+b2+2ab2+2ab4.a+b2,則a2-b,故2=a3+b3(2-b)3+b3,即28-12b+6b2,即(b-1)22,則(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)8.由a3+b3=2,得3ab(a+b)6.故ab(a+b)2.又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2,ab(a+b)(a+b)(a2-ab+b2).a2-ab+b2ab,即(a-b)20.這不可能，故a+b2. 綠色通道：本題三種方法均采用反證法，有的推至與假設(shè)矛盾，有的推至與已知事實矛盾.一般說來,結(jié)論的語氣過于肯定或肯定“過頭”時,都可以考慮用反證法.再是本題的已知條件非常少,為了增加可利用的條件,從反證法的角度來說,“假設(shè)”也是已知條件,因而,可考慮反證法.【變式訓(xùn)練】 若|a|1,|b|1,求證:1.思路分析：本題由已知條件不易入手證明,而結(jié)論也不易變形,即直接證有困難,因而可聯(lián)想反證法.證明:假設(shè)1,則|a+b|1+ab|,a2+b2+2ab1+2ab+a2b2.a2+b2-a2b2-10.a2-1-b2(a2-1)0.(a2-1)(1-b2)0.即與已知矛盾.,(1-b)c,(1-c)a,三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c.又(1-a)a()2=.同理,(1-b)b,(1-c)c.(1-a)a(1-b)b(1-c)c,與假設(shè)矛盾,結(jié)論正確.證法二:假設(shè)三式同時大于,0a0,.同理都大于.三式相加,得,矛盾.原命題成立. 綠色通道：結(jié)論若是“都是”“都不是”“至少”“至多”或“”形式的不等式命題,往往可應(yīng)用反證法,因此,可從這些語言上來判斷是否可用此方法證明.【變式訓(xùn)練】 已知x0,y0,且x+y2,求證:與中至少有一個小于2.思路分析：由于題目的結(jié)論是:兩個數(shù)中“至少有一個小于2”情況比較復(fù)雜,會出現(xiàn)異向不等式組成的不等式組,一一證明十分繁雜,而對結(jié)論的否定是兩個“都大于或等于2”構(gòu)成的同向不等式,結(jié)構(gòu)簡單,為推出矛盾提供了方便,故采用反證法.證明:假設(shè)2,2.x0,y0,則1+y2x,1+x2y.兩式相加,得2+x+y2(x+y),x+y2.這與已知x+y2矛盾.與中至少有一個小于2成立.【例3】 設(shè)n是正整數(shù),求證:+nn(k=1,2, ,n),得.當(dāng)k=1時,;當(dāng)k=2時,;當(dāng)k=n時,=+=1. 綠色通道：放縮法證明不等式,放縮要適度,否則會陷入困境,例如證明,由,如果從第3項開始放縮,正好可證明;如果從第2項放縮,可得小于2,當(dāng)放縮方式不同時,結(jié)果也在變化. 放縮法一般包括:用縮小分母,擴(kuò)大分子,分式值增大；縮小分子,擴(kuò)大分母,分式值縮??；全量不少于部分.每一次縮小其和變小,但需大于所求;每一次擴(kuò)大其和變大,但需小于所求.即不能放縮不夠或放縮過頭,同時要使放縮后便于求和.【變式訓(xùn)練】 若nn+,n2,求證：-.思路分析：利用進(jìn)行放縮.證明:=(-)+(-)+()=-.又+=(1)+(-)+()=1-,-+1-.【例4】 (經(jīng)曲回放)求證：.思路分析：利用|a+b|a|+|b|進(jìn)行放縮,但需對a,b的幾種情況進(jìn)行討論,如a=b=0時等.證明：若a+b=0或a=b=0時顯然成立.若a+b0且a,b不同時為0時,.|a+b|a|+|b|,上式1+.原不等式成立. 綠色通道：對含絕對值的不等式的證明，要辨別是否屬絕對值不等式的放縮問題，如利用|a|-|b|ab|a|+|b|進(jìn)行放縮，此問題我們可以算作放縮問題中的一類.【變式訓(xùn)練】 已知|x|,|y|,|z|,求證:|x+2y-3z|.思路分析：利用|a+b+c|a|+|b|+|c|進(jìn)行放縮.證明:|x|,|y|,|z|,|x+2y-3z|=|1+2y+(-3z)|x|+|2y|+|-3z|=|x|+2|y|+3|z|+2+3=.原不等式成立.問題探究問題:說明“語言的聲音和它所表示的事物之間沒有必然聯(lián)系”.導(dǎo)思：直接去說明某件事情是正確的,有