蘇教版選修45 5.3.1 比較法 學(xué)案.doc

5.3.1 比較法自主整理1.比較法一般分為兩種:_和_.2.作差比較法(1)作差比較法的證明依據(jù):_.(2)基本步驟:作差;合并化簡;分解因式(或配方);與0比較大小.3.作商比較法(1)作商比較法的證明依據(jù):_.(2)基本步驟:_;_;_;_.高手筆記1.比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用,在其一般步驟中,變形是證明過程中的關(guān)鍵,變形常用的方法有配方法和分解因式法,其目的是要判斷差的正負(fù)號或商的分子、分母的大小關(guān)系,從而進(jìn)一步作出比較.2.一般地,論證多項(xiàng)式結(jié)論的不等式常用作差比較法,而有關(guān)冪、指數(shù)的不等式常用作商比較法,證明對數(shù)不等式常用作差比較法,這與它們的運(yùn)算性質(zhì)有關(guān).若“差”或“商”中含有參數(shù)時(shí),可對其進(jìn)行分類討論,注意分類的標(biāo)準(zhǔn),做到“不重不漏”.名師解惑如何正確使用作商法?剖析:在作商比較兩個(gè)數(shù)的大小時(shí),不要盲目地下結(jié)論,如1ab是錯(cuò)誤的,因?yàn)檫@里的變形實(shí)質(zhì)上是在不等式1兩邊同乘a所得,但不等式的性質(zhì)中同乘一個(gè)正數(shù)和同乘一個(gè)負(fù)數(shù)是不同的,當(dāng)a0時(shí),得ba,但當(dāng)a0時(shí),得ba,所以應(yīng)該看分母的符號是否確定,如果不確定要對其正、負(fù)進(jìn)行分類討論,即不等式的證明要以不等式的性質(zhì)為依據(jù).使用兩個(gè)實(shí)數(shù)具有的性質(zhì)進(jìn)行比較.講練互動(dòng)【例1】求證:a2+b22(a-b-2).分析:此不等式的兩邊為多項(xiàng)式結(jié)構(gòu),通常用作差比較法進(jìn)行證明.證明:a2+b2-2(a-b-2)=a2+b2-2a+2b+4=(a-1)2+(b+1)2+20,a2+b22(a-b-2).綠色通道 不等號兩邊為多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)的不等式,通常用作差比較法證明,通過配方或分解因式變形,判斷符號.變式訓(xùn)練1.已知a、b都是正數(shù),且ab,求證:a5+b5a3b2+a2b3.證明:a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)+b5-a2b3=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),a、b都是正數(shù),a+b0,a2+ab+b20.ab,(a-b)20.(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2)0,即a5+b5a3b2+a2b3成立.【例2】已知abc0,求證:a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.分析:不等式的兩邊都是指數(shù)冪的乘積,根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則,可用作商比較法.證明:=a2a-(b+c)b2b-(a+c)c2c-(a+b),abc0,2a-b-c0,2c-a-b0.a2a-b-cb2a-b-c,c2c-a-bb2c-a-b.a2a-b-cb2b-a-cc2c-a-bb2a-b-cb2b-a-cb2c-a-b=b0=1.1.a2ab2bc2cab+cba+cca+b.綠色通道 指數(shù)冪結(jié)構(gòu)的不等式一般用作商比較法證明,并運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)胤趴s,與1比較大小.變式訓(xùn)練2.已知ab0,求證:aabbabba.證明:=aa-bbb-a=()a-b,ab0,1,a-b0.()a-b1.1.aabbabba成立.【例3】已知a1,求證:.分析:因不等式兩邊進(jìn)行分子有理化相減后,可判斷差的符號,故可用作差法進(jìn)行證明.又a1,不等式兩邊都大于0,故還可以用作商法進(jìn)行證明.證法一:()-()=0,.證法二:=1,又0,成立.綠色通道 對于兩根式相加或相減,常用平方差公式進(jìn)行分子或分母有理化變形.變式訓(xùn)練3.若a0,b0,求證:+.證明:a0,b0,-(+)=(a-b)(-)=.a0,b0,0,0,()20.-()0,即.【例4】已知a、b是兩正實(shí)數(shù),試比較an+bn與an-1b+abn-1(nn*,n1)的大小.解:an+bn-(an-1b+abn-1)=an+bn-an-1b-abn-1=an-1(a-b)-bn-1(a-b)=(a-b)(an-1-bn-1).當(dāng)ab0時(shí),有a-b0,an-1-bn-10,得(a-b)(an-1-bn-1)0,即an+bnan-1b+abn-1.當(dāng)ba0時(shí),有a-b0,an-1-bn-10,得(a-b)(an-1-bn-1)0,即an+bnan-1b+abn-1.當(dāng)b=a0時(shí),(a-b)(an-1-bn-1)=0.當(dāng)a=b時(shí),an+bn=an-1b+abn-1.綜上,當(dāng)ab時(shí),an+bnan-1b+abn-1;當(dāng)a=b時(shí),an+bn=an-1b+abn-1.綠色通道 若各因子的符號不確定時(shí),可根據(jù)情況進(jìn)行分類討論,分類時(shí)做到“不重不漏”.變式訓(xùn)練4.已知a、br+,nn*,求證:(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1).證明:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+ban+bn+1-2an+1-2bn+1=a(bn-an)+b(an-bn)=(an-bn)(b-a),(1)當(dāng)ba0時(shí),bnan,b-a0.an-bn0.(an-bn)(b-a)0.(2)當(dāng)ab0時(shí),an-bn0,b