蘇教版選修44 4.3.2　平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換 學(xué)案.doc

4.3.2平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換1了解平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換，能運(yùn)用伸縮變化進(jìn)行簡(jiǎn)單的變換2體會(huì)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換給圖形帶來(lái)的變化基礎(chǔ)初探1橫坐標(biāo)的伸縮變換一般地，由(k0)所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k向著y軸的伸縮變換(當(dāng)k1時(shí)，表示伸長(zhǎng)；當(dāng)0k1時(shí)，表示壓縮)，即曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的k倍(這里(x，y)是變換前的點(diǎn)，(x，y)是變換后的點(diǎn))2縱坐標(biāo)的伸縮變換一般地，由(k0)所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k向著x軸的伸縮變換(當(dāng)k1時(shí)，表示伸長(zhǎng)；當(dāng)0k1時(shí)，表示壓縮)，即曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的k倍(這里(x，y)是變換前的點(diǎn)，(x，y)是變換后的點(diǎn))3伸縮變換一般地，設(shè)點(diǎn)p(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：的作用下，點(diǎn)p(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)p(x，y)，稱(chēng)為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱(chēng)為伸縮變換思考探究1如果x軸的單位長(zhǎng)度保持不變，y軸的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，圓x2y24的圖形變?yōu)槭裁磮D形？伸縮變換可以改變圖形的形狀嗎？那平移變換呢？【提示】x2y24的圖形變?yōu)闄E圓：y21.伸縮變換可以改變圖形的形狀，但平移變換僅改變位置，不改變它的形狀2如何理解平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換？【提示】在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行伸縮變換，即改變x軸或y軸的單位長(zhǎng)度，將會(huì)對(duì)圖形產(chǎn)生影響其特點(diǎn)是坐標(biāo)系和圖形發(fā)生了改變，而圖形對(duì)應(yīng)的方程不發(fā)生變化如在下列平面直角坐標(biāo)系中，分別作出f(x，y)0的圖形：(1)x軸與y軸具有相同的單位長(zhǎng)度；(2)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的k倍；(3)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的.第(1)種坐標(biāo)系中的意思是x軸與y軸上的單位長(zhǎng)度一樣，f(x，y)0的圖形就是我們以前學(xué)過(guò)的平面直角坐標(biāo)系中的f(x，y)0的圖形；第(2)種坐標(biāo)系中的意思是如果x軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，y軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，此時(shí)f(x，y)0表示的圖形與第(1)種坐標(biāo)系中的圖形是不同的；第(3)種坐標(biāo)系中的意思是如果y軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，x軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，此時(shí)f(x，y)0表示的圖形與第(1)種坐標(biāo)系中的圖形是不同的質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：_解惑：_疑問(wèn)2：_解惑：_疑問(wèn)3：_解惑：_伸縮變換對(duì)下列曲線進(jìn)行伸縮變換(k0，且k1)(1)ykxb；(2)(xa)2(yb)2r2.【自主解答】設(shè)p(x，y)是變換前的點(diǎn)，p(x，y)是變換后的點(diǎn)，由題意，得即(1)由yk(x)b，ykxkb，得直線ykxb經(jīng)過(guò)伸縮變換后的方程為ykxkb，仍然是一條直線當(dāng)b0時(shí)，該直線和原直線重合；當(dāng)b0時(shí)，該直線和原直線平行(2)由(xa)2(yb)2r2，(xka)2(ykb)2(kr)2，得圓(xa)2(yb)2r2經(jīng)過(guò)伸縮變換后的方程為(xka)2(ykb)2(kr)2，它是一個(gè)圓心為(ka，kb)，半徑為|kr|的圓再練一題1在同一平面直角坐標(biāo)系中，將直線x2y2變成直線2xy4，求滿足圖象變換的伸縮變換【解】設(shè)變換為，代入直線方程2xy4得：2xy4，即xy2，比較系數(shù)得：1，4，即直線x2y2圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍可得到直線2xy4.伸縮變換的應(yīng)用曲線y2sin 3x變換成曲線y3sin 2x，求它的一個(gè)伸縮變換【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990021】【思路探究】設(shè)代入y3sin 2x，所得式再與y2sin 3x比較即可求、.【自主解答】將變換后的曲線y3sin 2x改成y3sin 2x.設(shè)伸縮變換代入y3sin 2x；得y3sin(2x)即ysin(2x)，與y2sin 3x比較系數(shù)，得即所以伸縮變換為確定一個(gè)伸縮變換，實(shí)際上就是求其變換方法，將新舊坐標(biāo)分清，代入對(duì)應(yīng)的曲線方程，然后比較系數(shù)即可再練一題2(1)圓x2y2a2經(jīng)過(guò)什么樣的伸縮變換，可以使方程變?yōu)?(0ba)?(2)分析圓x2y2a2的一條弦所在直線和經(jīng)過(guò)該弦中點(diǎn)的直徑所在直線經(jīng)過(guò)上述伸縮變換后的位置關(guān)系【解】(1)橢圓1可以化為x2a2，設(shè)即所以圓x2y2a2經(jīng)過(guò)向著x軸方向上的伸縮變換，伸縮系數(shù)k，可以使方程變?yōu)?.(2)若圓x2y2a2的一條弦所在直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為ykxm，根據(jù)垂徑定理，經(jīng)過(guò)該弦中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為yx.由ykxm，得yxm.所以直線ykxm經(jīng)過(guò)變換，方程可變?yōu)閥xm.由yx，得yx，所以直線yx經(jīng)過(guò)變換，方程可變?yōu)閥x.此時(shí)，兩條直線的斜率乘積是定值.若圓x2y2a2的弦所在直線的方程為xn，則經(jīng)過(guò)其中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為y0，伸縮變換后其方程分別變?yōu)閤n，y0.此時(shí)兩直線依然垂直若圓x2y2a2的弦所在直線的方程為yn，則經(jīng)過(guò)其中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為x0，伸縮變換后其方程分別變?yōu)閥n，x0.此時(shí)兩直線依然垂直真題鏈接賞析(教材第41頁(yè)習(xí)題4.3第8題)對(duì)下列曲線向著x軸進(jìn)行伸縮變換，伸縮系數(shù)k2：(1)x24y216；(2)x2y24x2y10.求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線x2y21變成曲線1.【命題意圖】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換【解】設(shè)變換為代入方程1，得1.與x2y21比較，將其變形為x2y21，比較系數(shù)得3，2.即將圓x2y21上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，可得橢圓1.1直線x4y60按伸縮系數(shù)向著x軸的伸縮變換后，直線的方程是_【答案】x8y602直線2x3y0按伸縮系數(shù)3向著y軸的伸縮變換后，直線的方程是_【答案】2x9y03曲線x2y24按伸縮系數(shù)2向著y軸的伸縮變換后，曲線的方程是_【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98