蘇教版選修12 間接證明 課時(shí)作業(yè).doc

2.2.2 間接證明自主廣場(chǎng)我夯基 我達(dá)標(biāo)1.實(shí)數(shù)a、b、c不全為0的條件為（ ）a.a、b、c均不為0 b.a、b、c中至多有一個(gè)為0c.a、b、c中至少有一個(gè)為0 d.a、b、c中至少有一個(gè)不為0思路解析:實(shí)數(shù)a、b、c不全為0的條件是a、b、c至少有一個(gè)不為0.答案:d2.x、yr，且x2+y2=1，則（1-xy）（1+xy）有（ ）a.最小值，無(wú)最大值. b.最小值1，無(wú)最大值.c.最小值，最大值1 d.最大值1，最小值思路解析:設(shè)x=cos,y=sin,則(1-xy)(1+xy)=(1-sincos)(1+sincos)=1-sin2cos2=1-sin22.sin220,1,(1-xy)(1+xy)，1.答案:d3.設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)a+，b+，c+（ ）a.都大于2 b.至少有一個(gè)大于2c.至少有一個(gè)不小于2 d.至少有一個(gè)不大于2思路解析:a+c+b+=a+b+c+2+2+2=6.所以a、b、c中至少有一個(gè)大于2.答案:b4.已知a、b、c都是正數(shù)，s=，則有（ ）a.0s1 b.1s2 c.2s3 d.3s4思路解析:s=1,且s=2.1s2.答案:b5.求證：一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60.證明：假設(shè)abc的三個(gè)內(nèi)角a，b，c都小于60,即a60,b60,c60.相加得a+b+c180.這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以a,b,c都小于60的假設(shè)不能成立,從而一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60.6.求證：當(dāng)x2+bx+c2=0有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根時(shí)，bc0.證明：假設(shè)bc=0,則有三種情況出現(xiàn)：（1）若b=0,c=0方程變?yōu)閤2=0,x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根，這與已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根相矛盾.（2）若b=0,c0,方程變?yōu)閤2+c2=0,但當(dāng)c0時(shí)，x2+c2=0;但c0時(shí)，x2+c20與x2+c2=0矛盾,（3）若b0,c=0,方程變?yōu)閤2+bx=0,方程的根為x1=0,x2=-b.這與已知條件方程有兩個(gè)非零實(shí)根相矛盾.綜上所述，bc0.7.證明：1，2不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng).證明：假設(shè)1，2是某一等差數(shù)列的三項(xiàng)，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為d,則1=3-md，2=+nd，其中m、n為某兩個(gè)正整數(shù)，由上面兩式消去d,得n+2m=(m+n)，因?yàn)閚+2m為有理數(shù)，而（m+n)為無(wú)理數(shù)，所以2m+n(m+n)，因此，假設(shè)不成立，即1，2不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng).8.平面上有四個(gè)點(diǎn)，設(shè)有三點(diǎn)共線.證明：以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角三角形.證明：假設(shè)以每三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)三角形都是銳角三角形，記這四個(gè)點(diǎn)為a、b、c、d.考慮點(diǎn)d在abc之內(nèi)或之外有兩種情況：（1）如果點(diǎn)d在abc之內(nèi)，（如圖（1），根據(jù)假設(shè)圍繞點(diǎn)d的三個(gè)角都是銳角，其和小于270，這與一個(gè)周角等于360矛盾.（2）如果點(diǎn)d在abc之外（如圖（2），根據(jù)a、b、c、d都大于90， 這和四邊形abcd的內(nèi)角和為360相矛盾.綜上所述，假設(shè)不成立，從而題目中的結(jié)論成立.9.已知a0,證明關(guān)于x的方程ax=b有且只有一個(gè)根.證明：由于a0，因此方程至少有一個(gè)根x=,如果方程不是一個(gè)根，不妨設(shè)x1、x2是它的兩個(gè)不同根，即ax1=b，ax2=b，-得a(x1-x2)=0.因?yàn)閤1x2，所以x1-x20，所以應(yīng)有a=0，這與已知相矛盾，故假設(shè)不成立.所以當(dāng)a0時(shí)，方程ax=b有且只有一個(gè)根.10.（精典回放）設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間-1，1上的函數(shù)，且滿足條件：f(-1)=f(1)=0;對(duì)任意的、v-1,1,都有f(u)-f(v)-v(1)證明：對(duì)任意的x-1,1,都有x-1f(x)1-x;(2)證明：對(duì)任意的、v-1,1,都有f(u)-f(v)1;(3)在區(qū)間-1，1上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y=f(x),且使得：f()-f(v)-v，當(dāng)、v0, .f()-f(v)-v,當(dāng)、v,1.若存在，請(qǐng)舉一例；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）證明：由題設(shè)條件可知，當(dāng)x-1,1時(shí)，有|f(x)|=|f(x)-f(1)|x-1|=1-x.即：x-1f(x)1-x.（2）證明：對(duì)任意的u、v-1，1.當(dāng)|u-v|1時(shí)，有|f(u)-f(v)|u-v|1.當(dāng)|u-v|1時(shí)，有uv0，不妨設(shè)u0，則v0,且v-u1,所以|f(u)-f(v)|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|u+1|+|v-1|=1+u+1-v=2-(v-u)1.綜上可知：對(duì)任意的u、v-1,1，都有|f(u)-f(v)|1.(3)解：滿足所述條件的函數(shù)不存在，理由如下：假設(shè)存在函數(shù)f(x)滿足條件，則由|f(u)-f(v)|=|u-v|,u、v,1,得|f(）-f(1)|=|-1|=.又f(1)=0,所以|f()|=又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(0)=0.由條件|f(u)-f(v)|u-v|,u,v0,得|f()|=|f()-f(0)| .這與|f()|=矛盾，所以假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在.我綜合 我發(fā)展11.在abc中，若c是直角，求證：b一定是銳角.證明：假設(shè)b不是銳角，則b為直角或鈍角，在abc中，a+b+c90+90+a180.這與三角形的內(nèi)角和為180相矛盾.從而b一定為銳角.12.求證：、不可能成等差數(shù)列.證明：假設(shè)、成等差數(shù)列，則有-=-，即2=+，兩邊平方得：12=7+，5=，兩邊再平方得：25=40顯然不成立，從而假設(shè)不成立.、不可能成等差數(shù)列.13.如果一條直線和兩條平行線中的一條是異面直線，且不與另一條直線相交，那么這條直線與另一條直線也是異面直線.證明：不妨設(shè)直線a,b,l中，ab,l與a是異面直線，且l與b不相交.假設(shè)l與b不是異面直線，則l與b共面，即l與b可能相交，也可能平行.若l與b相交，這與已知矛盾.若l與b平行，即lb,又ab,得la,這與l與a異面相矛盾.綜上可知，l與b是異面直線.14.已知函數(shù)f(x)對(duì)其定義域內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，當(dāng)ab時(shí)，都有f(a)f(b),證明f(x)=0至多有一個(gè)實(shí)根.證明：假設(shè)f(x)=0至少有兩個(gè)不同的實(shí)根x1、x2，不妨設(shè)x1x2，由方程的定義，f(x1)=0,f(x2)=0,則f(x1)=f(x2) 但已知x1x2時(shí)，有f(x1)f(x2)，這與式相矛盾，因此假設(shè)不成立，故原命題成立.15.已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a1=0,a2=3,an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,用反證法證明a3=2.證明：由題設(shè)得a3a4=10，且a3,a4均為非負(fù)整數(shù)，a3的可能值為1，2，5，10.若a3=1,則a4=10,a5=與題設(shè)矛盾.若a3=5,則a4=2,a5=，與題設(shè)矛盾.若a3=10,則a4=1，a5=60,a6=,與題設(shè)矛盾.a3=2.16.求證：一元二次