蘇教版選修12 直接證明 學(xué)案.doc

2.2.1直接證明1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法的證明思路與步驟.(重點)2.會用綜合法、分析法證明一些數(shù)學(xué)問題.(重點、難點)3.綜合法、分析法的格式區(qū)別.(易混點)基礎(chǔ)初探教材整理直接證明閱讀教材p46p48“練習(xí)”以上部分，完成下列問題.直接證明直接從原命題的條件逐步推得命題成立，這種證明通常稱為直接證明.1.綜合法(1)定義：從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法常稱為綜合法.(2)推證過程：.2.分析法(1)定義：從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止.這種證明方法常稱為分析法.(2)推證過程：.1.判斷正誤：(1)綜合法是直接證明，分析法的過程是演繹推理.()(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.()(3)證明不等式“”最合適的方法是分析法.()(4)在解決問題時，可用分析法尋找解題思路，再用綜合法展現(xiàn)解題過程.()【答案】(1)(2)(3)(4)2.命題“對于任意角，cos4-sin4cos 2”的證明過程“cos4-sin4(cos2-sin2)(cos2sin2)cos2-sin2-cos 2”應(yīng)用了_(填“綜合法”或“分析法”).【解析】從證明的過程可知，本題是從已知條件出發(fā)證得結(jié)果，故為綜合法.【答案】綜合法3.在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到a為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿足的條件為_.【導(dǎo)學(xué)號：97220017】【解析】要證a為鈍角，只需證cos a0即可，也就是b2c2a2.【答案】b2c2sin asin b，則abc的形狀一定是_.(2)已知方程(x2-mx2)(x2-nx2)0的四個根組成一個首項為的等比數(shù)列，則|m-n|_.(3)下面的四個不等式：a2b23ab(ab)；a(1-a)；2；(a2b2)(c2d2)(acbd)2.其中恒成立的有_.【自主解答】(1)cos acos bsin asin b，cos acos b-sin asin b0，cos(ab)0，即cos(-c)0，cos c0，又0c，c0時，用分析法證明如下：要證(ab)，只需證()22，即證a2b2(a2b22ab)，即證a2b22ab.a2b22ab對一切實數(shù)恒成立，(ab)成立.綜上所述，不等式成立.1.當(dāng)已知條件簡單而證明的結(jié)論比較復(fù)雜時，一般采用分析法，在敘述過程中“要證”“只需證”“即要證”這些詞語必不可少，否則會出現(xiàn)錯誤.2.逆向思考是用分析法證題的主題思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，正確把握轉(zhuǎn)化方向，使問題順利獲解.再練一題2.已知a0，-1，求證：.【證明】由已知-1及a0可知0b，只需證1，只需證1a-b-ab1，只需證a-b-ab0，即1，即-1，這是已知條件，所以原不等式得證.探究共研型綜合法與分析法的綜合應(yīng)用探究1綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理？【提示】綜合法與分析法的推理過程是演繹推理，它們的每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯推理，從而得到的每一個結(jié)論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想”.探究2綜合法與分析法有什么區(qū)別？【提示】綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步尋找的是必要條件，即由因?qū)Ч环治龇ㄊ菑拇蠼Y(jié)論出發(fā)，逐步尋找的是充分條件，即執(zhí)果索因.已知abc的三個內(nèi)角a，b，c為等差數(shù)列，且a，b，c分別為角a，b，c的對邊，求證：(ab)-1(bc)-13(abc)-1.【精彩點撥】先求出角b，然后利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系解決.【自主解答】法一：(分析法)要證(ab)-1(bc)-13(abc)-1，即證，只需證3，化簡，得1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)，所以只需證c2a2b2ac.因為abc的三個內(nèi)角a，b，c成等差數(shù)列，所以b60，所以cos b，即a2c2-b2ac成立.(ab)-1(bc)-13(abc)-1成立.法二：(綜合法)因為abc的三內(nèi)角a，b，c成等差數(shù)列，所以b60.由余弦定理，有b2c2a2-2accos 60.所以c2a2acb2，兩邊加abbc，得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，兩邊同時除以(ab)(bc)，得1，所以3，即，所以(ab)-1(bc)-13(abc)-1.綜合法由因?qū)Ч?，分析法?zhí)果索因，因此在實際解題時，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，即先利用分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程.再練一題3.設(shè)x1，y1，證明：xyxy.【證明】因為x1，y1，所以要證明xyxy，只需證明xy(xy)1yx(xy)2.將上式中的右式減左式，得yx(xy)2-xy(xy)1(xy)2-1-xy(xy)-(xy)(xy1)(xy-1)-(xy)(xy-1)(xy-1)(xy-x-y1)(xy-1)(x-1)(y-1).因為x1，y1，所以(xy-1)(x-1)(y-1)0，從而可得不等式xyxy成立.構(gòu)建體系1.已知x0，y0，且1，則xy的最大值為_.【解析】12.xy3，當(dāng)且僅當(dāng)x，y2時等號成立.【答案】32.如果ab，則實數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是_. 【導(dǎo)學(xué)號：97220018】【解析】要使ab，只需使a0，b0，(a)2(b)2，即ab0.【答案】ab03.將下面用分析法證明ab的步驟補充完整：要證ab，只需證a2b22ab，也就是證_，即證_.由于_顯然成立，因此原不等式成立.【解析】用分析法證明ab的步驟為：要證ab成立，只需證a2b22ab，也就是證a2b2-2ab0，即證(a-b)20.由于(a-b)20顯然成立，所以原不等式成立.【答案】a2b2-2ab0(a-b)20(a-b)204.設(shè)a0，b0，c0，若abc1，則的最小值為_.【解析】因為abc1，且a0，b0，c0，所以33222369.當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立.【答案】95.已