蘇教版必修二 1.1.2 圓柱、圓錐、圓臺和球 課件（71張）.pptxVIP

8 1空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積 體積 基礎(chǔ)知識自主學習 課時作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學習 1 多面體的結(jié)構(gòu)特征 知識梳理 互相平行 全等 公共頂點 平行于底面 相似 2 旋轉(zhuǎn)體的形成 任一邊 任一直角邊 垂直于底邊的腰 直徑 3 空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用畫法來畫 其規(guī)則是 1 在空間圖形中取互相垂直的x軸和y軸 兩軸交于o點 再取z軸 使 xoz 且 yoz 2 畫直觀圖時把它們畫成對應的x 軸 y 軸和z 軸 它們相交于o 并使 x o y x o z x 軸和y 軸所確定的平面表示水平面 3 已知圖形中平行于x軸 y軸或z軸的線段 在直觀圖中分別畫成于x 軸 y 軸或z 軸的線段 4 已知圖形中平行于x軸或z軸的線段 在直觀圖中 平行于y軸的線段 斜二測 90 90 45 或135 90 平行 保持原長度不變 長度為原來的一半 4 柱 錐 臺和球的表面積和體積 sh 4 r2 5 常用結(jié)論 1 與體積有關(guān)的幾個結(jié)論 一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差 底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等 2 幾個與球有關(guān)的切 接常用結(jié)論a 正方體的棱長為a 球的半徑為r 若球為正方體的外接球 則2r 若球為正方體的內(nèi)切球 則2r a 若球與正方體的各棱相切 則2r b 若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a b c 外接球的半徑為r 則2r c 正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3 1 3 斜二測畫法中的 三變 與 三不變 三變 三不變 判斷下列結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 有兩個面平行 其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱 2 有一個面是多邊形 其余各面都是三角形的幾何體是棱錐 3 用斜二測畫法畫水平放置的 a時 若 a的兩邊分別平行于x軸和y軸 且 a 90 則在直觀圖中 a 45 4 圓柱的側(cè)面展開圖是矩形 5 臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差來計算 6 菱形的直觀圖仍是菱形 考點自測 1 教材改編 下列說法正確的是 相等的角在直觀圖中仍然相等 相等的線段在直觀圖中仍然相等 正方形的直觀圖是正方形 若兩條線段平行 則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行 答案 解析 由直觀圖的畫法規(guī)則知 角度 長度都有可能改變 而線段的平行性不變 故 正確 2 教材改編 已知圓錐的表面積等于12 cm2 其側(cè)面展開圖是一個半圓 則底面圓的半徑為 cm 答案 解析 2 s表 r2 rl r2 r 2r 3 r2 12 r2 4 r 2 cm 3 如圖 直觀圖所表示的平面圖形是 填序號 正三角形 銳角三角形 鈍角三角形 直角三角形 答案 解析 由直觀圖中 a c y 軸 b c x 軸 還原后原圖ac y軸 bc x軸 直觀圖還原為平面圖形是直角三角形 故 正確 4 2016 南通 揚州 泰州三模 已知一個空間幾何體的所有棱長均為1cm 其表面展開圖如圖所示 那么該空間幾何體的體積v cm3 答案 解析 由表面展開圖知該幾何體是一個正方體與一個正四棱錐的組合體 所有棱長均為1 則正四棱錐的高為 5 用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形 則原來的圖形是 答案 解析 平面圖形的直觀圖為正方形 且其邊長為1 對角線長為 所以原平面圖形為平行四邊形 且位于x軸上的邊長仍為1 位于y軸上的對角線長為 題型分類深度剖析 題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1給出下列命題 棱柱的側(cè)棱都相等 側(cè)面都是全等的平行四邊形 在四棱柱中 若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面 則該四棱柱為直四棱柱 存在每個面都是直角三角形的四面體 棱臺的側(cè)棱延長后交于一點 其中正確命題的序號是 答案 解析 不正確 根據(jù)棱柱的定義 棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形 但不一定全等 正確 因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱 又垂直于底面 正確 如圖 正方體abcd a1b1c1d1中的三棱錐c1 abc 四個面都是直角三角形 正確 由棱臺的概念可知 1 解決本類題目的關(guān)鍵是準確理解幾何體的定義 真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征 可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型 在幾何模型中進行判斷 2 解決本類題目的技巧 三棱柱 四棱柱 三棱錐 四棱錐是常用的幾何模型 有些問題可以利用它們舉特例解決或者學會利用反例對概念類的命題進行辨析 思維升華 跟蹤訓練1 1 以下命題 以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐 以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺 圓柱 圓錐 圓臺的底面都是圓面 一個平面截圓錐 得到一個圓錐和一個圓臺 其中正確命題的個數(shù)為 答案 解析 1 命題 錯 因為這條邊若是直角三角形的斜邊 則得不到圓錐 命題 錯 因為這條腰必須是垂直于兩底的腰 命題 對 命題 錯 必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以 故正確的命題個數(shù)為1 2 給出下列四個命題 有兩個側(cè)面是矩形的圖形是直棱柱 側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐 側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體 底面為正多邊形 且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱 其中不正確的命題為 答案 解析 對于 平行六面體的兩個相對側(cè)面也可能是矩形 故 錯 對于 對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明 如圖 故 錯 對于 若底面不是矩形 則 錯 由線面垂直的判定 側(cè)棱垂直于底面 故 正確 綜上 命題 不正確 題型二空間幾何體的直觀圖例2 1 已知正三角形abc的邊長為a 那么 abc的平面直觀圖 a b c 的面積為 答案 解析 如圖 所示的實際圖形和直觀圖 由 可知 a b ab a o c 在圖 中作c d a b 于d 則c d 2 如圖 矩形o a b c 是水平放置的一個平面圖形的直觀圖 其中o a 6cm o c 2cm 則原圖形是 正方形 矩形 菱形 一般的平行四邊形 答案 解析 如圖 在原圖形oabc中 應有od 2o d 2 cm cd c d 2cm oa oc 故四邊形oabc是菱形 用斜二測畫法畫直觀圖的技巧在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x 軸或y 軸平行 原圖中不與坐標軸平行的直線段可以先畫出線段的端點再連線 原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點 作出在直觀圖中的相應點后 用平滑的曲線連結(jié)而畫出 思維升華 跟蹤訓練2如圖是水平放置的某個三角形的直觀圖 d 是 a b c 中b c 邊的中點且a d y 軸 a b a d a c 三條線段對應原圖形中的線段ab ad ac 那么下列說法正確的有 填序號 最長的是ab 最短的是ac 最長的是ac 最短的是ab 最長的是ab 最短的是ad 最長的是ad 最短的是ac 答案 解析 a d y 軸 根據(jù)斜二測畫法規(guī)則 在原圖形中應有ad bc 又ad為bc邊上的中線 所以 abc為等腰三角形 ad為bc邊上的高 則有ab ac相等且最長 ad最短 題型三求空間幾何體的表面積例3 1 一個六棱錐的體積為 其底面是邊長為2的正六邊形 側(cè)棱長都相等 則該六棱錐的側(cè)面積為 答案 解析 12 由題意知該六棱錐為正六棱錐 設正六棱錐的高為h 側(cè)面的斜高為h h 1 斜高h 2 s側(cè) 6 2 2 12 2 2016 蘇州模擬 如圖 斜三棱柱abc a b c 中 底面是邊長為a的正三角形 側(cè)棱長為b 側(cè)棱aa 與底面相鄰兩邊ab與ac都成45 角 求此斜三棱柱的表面積 解答 如圖 過a 作a d 平面abc于d 過d作de ab于e df ac于f 連結(jié)a e a f ad 又由題意知a e ab a f ac 得rt a ae rt a af a e a f de df ad平分 bac bc ad bc aa 而aa bb bc bb 四邊形bcc b 是矩形 斜三棱柱的側(cè)面積為2 a bsin45 ab 1 ab 則由 a ae a af aa aa 又 ab ac 又 斜三棱柱的底面積為 斜三棱柱的表面積為 1 ab 1 解決組合體問題關(guān)鍵是分清該幾何體是由哪些簡單的幾何體組成的以及這些簡單的幾何體的組合情況 2 在求多面體的側(cè)面積時 應對每一側(cè)面分別求解后再相加 對于組合體的表面積應注意重合部分的處理 3 圓柱 圓錐 圓臺的側(cè)面是曲面 計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算 而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和 思維升華 跟蹤訓練3一個正三棱臺的上 下底面邊長分別是3cm和6cm 高是 1 求三棱臺的斜高 解答 設o1 o分別為正三棱臺abc a1b1c1的上 下底面正三角形的中心 如圖所示 則o1o 過o1作o1d1 b1c1 od bc 則d1d為三棱臺的斜高 過d1作d1e ad于e 則d1e o1o 則de od o1d1 在rt d1de中 故三棱臺的斜高為 2 求三棱臺的側(cè)面積和表面積 解答 設c c 分別為上 下底的周長 h 為斜高 故三棱臺的側(cè)面積為 表面積為 題型四求簡單幾何體的體積例4 2016 江蘇改編 現(xiàn)需要設計一個倉庫 它由上下兩部分組成 上部的形狀是正四棱錐p a1b1c1d1 下部的形狀是正四棱柱abcd a1b1c1d1 如圖所示 并要求正四棱柱的高o1o是正四棱錐的高po1的4倍 若ab 6m po1 2m 則倉庫的容積為 m3 答案 解析 312 由po1 2m 知o1o 4po1 8m 因為a1b1 ab 6m 所以正四棱錐p a1b1c1d1的體積 正四棱柱abcd a1b1c1d1的體積v柱 ab2 o1o 62 8 288 m3 所以倉庫的容積v v錐 v柱 24 288 312 m3 空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略 1 若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體 錐體或臺體 則可直接利用公式進行求解 2 若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出 則常用轉(zhuǎn)換法 分割法 補形法等方法進行求解 思維升華 跟蹤訓練4正三棱柱abc a1b1c1的底面邊長為2 側(cè)棱長為 d為bc的中點 則三棱錐a b1dc1的體積為 答案 解析 在正 abc中 d為bc的中點 1 又 平面bb1c1c 平面abc 平面bb1c1c 平面abc bc ad bc ad 平面abc ad 平面bb1c1c 即ad為三棱錐a b1dc1底面上的高 題型五與球有關(guān)的切 接問題例5 2016 揚州模擬 已知直三棱柱abc a1b1c1的6個頂點都在球o的球面上 若ab 3 ac 4 ab ac aa1 12 則球o的半徑為 答案 解析 如圖所示 由球心作平面abc的垂線 則垂足為bc的中點m 又am bc om aa1 6 所以球o的半徑r oa 引申探究1 已知棱長為4的正方體 則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少 解答 由題意可知 此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑 正方體的棱長即為其內(nèi)切球的直徑 設該正方體外接球的半徑為r 內(nèi)切球的半徑為r 又正方體的棱長為4 故其體對角線長為 2 已知棱長為a的正四面體 則此正四面體的表面積s1與其內(nèi)切球的表面積s2的比值為多少 解答 正四面體的表面積為s1 其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的 因此內(nèi)切球表面積為s2 4 r2 3 已知側(cè)棱和底面邊長都是的正四棱錐 則其外接球的半徑是多少 解答 依題意得 該正四棱錐的底面對角線的長為 6 高為 3 因此底面中心到各頂點的距離均等于3 所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心 其外接球的半徑為3 空間幾何體與球接 切問題的求解方法 1 求解球與棱柱 棱錐的接 切問題時 一般過球心及接 切點作截面 把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接 切問題 再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解 2 若球面上四點p a b c構(gòu)成的三條線段pa pb pc兩兩互相垂直 且pa a pb b pc c 一般把有關(guān)元素 補形 成為一個球內(nèi)接長方體 利用4r2 a2 b2 c2求解 思維升華 跟蹤訓練5正四棱錐的頂點都在同一球面上 若該棱錐的高為4 底面邊長為2 則該球的表面積為 答案 解析 如圖 設球心為o 半徑為r 則在rt aof中 4 r 2 2 r2 解得r 該球的表面積為4 r2 4 典例 2016 鹽城模擬 如圖 在 abc中 ab 8 bc 10 ac 6 db 平面abc 且ae fc bd bd 3 fc 4 ae 5 則此幾何體的體積為 巧用補形法解決立體幾何問題 思想與方法系列15 解答本題時可用 補形法 完成 補形法 是立體幾何中一種常見的重要方法 在解題時 把幾何體通過 補形 補成一個完整的幾何體或置于一個更熟悉的幾何體中 巧妙地破解空間幾何體的體積等問題 常見的補形法有對稱補形 聯(lián)系補形與還原補形 對于還原補形 主要涉及臺體中 還臺為錐 將不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體等 思想方法指導 答案 解析 96 幾何畫板展示 用 補形法 把原幾何體補成一個直三棱柱 使aa bb cc 8 所以v幾何體 v三棱柱 s abc aa 24 8 96 課時作業(yè) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 給出下列命題 在正方體上任意選擇4個不共面的頂點 它們可能是正四面體的4個頂點 底面是等邊三角形 側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐 若有兩個側(cè)面垂直于底面 則該四棱柱為直四棱柱 其中正確命題的序號是 答案 12 13 2 2016 連云港模擬 五棱柱中 不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線 那么一個五棱柱對角線的條數(shù)為 答案 解析 10 如圖 在五棱柱abcde a1b1c1d1e1中 從頂點a出發(fā)的對角線有兩條 ac1 ad1 同理從b c d e點出發(fā)的對角線均有兩條 共2 5 10 條 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 用平面 截球o所得截面圓的半徑為3 球心o到平面 的距離為4 則此球的表面積為 答案 解析 100 依題意 設球半徑為r 滿足r2 32 42 25 s球 4 r2 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 常州模擬 如圖所示 四邊形a b c d 是一水平放置的平面圖形的斜二測畫法的直觀圖 在斜二測直觀圖中 四邊形a b c d 是一直角梯形 a b c d a d c d 且b c 與y 軸平行 若a b 6 d c 4 a d 2 則原平面圖形的面積為 答案 解析 由題意得 直觀圖的面積s直 4 6 2 10 則原平面圖形的面積s原 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2016 鹽城三模 若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為4 的半圓面 則該圓錐的體積為 答案 解析 由側(cè)面展開圖是面積為4 的半圓面 知圓錐的底面半徑為 高為 從而圓錐的體積為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 南京模擬 直三棱柱abc a1b1c1的各條棱長均為2 e為棱cc1的中點 則三棱錐a1 b1c1e的體積為 答案 解析 由題意得 又因為e為棱cc1的中點 所以ec1 1 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 已知四面體abcd滿足ab cd ac ad bc bd 2 則四面體abcd的外接球的表面積是 答案 解析 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 圖略 在四面體abcd中 取線段cd的中點為e 連結(jié)ae be ac ad bc bd 2 ae cd be cd 在rt aed中 cd ae 同理be 取ab的中點為f 連結(jié)ef 由ae be 得ef ab 在rt efa中 af ab ae ef 1 取ef的中點為o 連結(jié)oa 則of 在rt ofa中 oa 同理得oa ob oc od 該四面體的外接球的半徑是 外接球的表面積是7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 如圖所示 ab是圓o的直徑 點c是圓o上異于a b的點 po垂直于圓o所在的平面 且po ob 1 則三棱錐p abc體積的最大值為 答案 解析 vp abc po s abc 當 abc的面積最大時 三棱錐p abc體積達到最大值 當co ab時 abc的面積最大 最大值為 2 1 1 此時vp abc po s abc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 2016 徐州 連云港 宿遷聯(lián)考 如圖 在三棱柱abc a1b1c1中 側(cè)棱aa1 平面ab1c1 aa1 1 底面 abc是邊長為2的正三角形 則此三棱柱的體積為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因為aa1 平面ab1c1 ab1 平面ab1c1 所以aa1 ab1 又知aa1 1 a1b1 2 所以ab1 同理可得ac1 又知在 ab1c1中 b1c1 2 所以 ab1c1的b1c1上的高為h 于是三棱錐a a1b1c1的體積 進而可得此三棱柱abc a1b1c1的體積 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2015 課標全國 改編 已知a b是球o的球面上兩點 aob 90 c為該球面上的動點 若三棱錐o abc體積的最大值為36 則球o的表面積為 答案 解析 144 如圖 要使三棱錐o abc即c oab的體積最大 當且僅當點c到平面oab的距離 即三棱錐c oab底面oab上的高最大 其最大值為球o的半徑r 則vo abc最大 vc oab最大所以r 6 得s球o 4 r2 4 62 144 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 如圖是一個以a1b1c1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體 截面為abc 已知a1b1 b1c1 2 a1b1c1 90 aa1 4 bb1 3 cc1 2 求 1 該幾何體的體積 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 過c作平行于a1b1c1的截面a2b2c 交aa1 bb1分別于a2 b2 由直三棱柱性質(zhì)及 a1b1c1 90 可知b2c 平面abb2a2 則 2 2 2 1 2 2 2 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 截面abc的面積 解答 在 abc中 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 全國丙卷 如圖 四棱錐p abcd中 pa 底面abcd ad bc ab ad ac 3 pa bc 4 m為線段ad上一點 am 2md n為pc的中點 1 證明 mn 平面pab 證明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由已知得am