人教B版選修41 1.2.2　圓周角定理 學(xué)案.docVIP

12.2圓周角定理對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p19讀教材填要點(diǎn)1圓周角的定義從o上任一點(diǎn)p引兩條分別與該圓相交于a和b的射線pa，pb，叫做apb所對(duì)的弧，apb叫做所對(duì)的圓周角2圓周角定理圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半3圓周角定理的推論(1)推論1：直徑(或半圓)所對(duì)的圓周角都是直角(2)推論2：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等(3)推論3：等于直角的圓周角的所對(duì)弦是圓的直徑小問(wèn)題大思維1圓心角的大小與圓的半徑有關(guān)系嗎？提示：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)，與圓的半徑?jīng)]有關(guān)系2相等的圓周角所對(duì)的弧也相等嗎？提示：不一定只有在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧才相等對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p19圓周角與圓心角問(wèn)題例1銳角三角形abc內(nèi)接于o，abc60，bac40，作oeab交劣弧于點(diǎn)e，連接ec，求oec.思路點(diǎn)撥本題考查圓周角定理與圓心角定理的應(yīng)用解決本題需要先求oec所對(duì)的弧的度數(shù)，然后根據(jù)圓心角定理得oec的度數(shù)精解詳析連接oc.abc60，bac40，acb80.oeab，e為的中點(diǎn)和的度數(shù)均為80.eoc8080160.oec10.圓周角定理可以理解成一條弧所對(duì)的圓心角是它所對(duì)的圓周角的二倍；圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)圓心角的一半1在半徑為5 cm的圓內(nèi)有長(zhǎng)為5 cm的弦，求此弦所對(duì)的圓周角解：如圖所示，ab5 cm，過(guò)點(diǎn)o作odab于點(diǎn)d.odab，od經(jīng)過(guò)圓心o，adbd cm.在rtaod中，od cm，oad30，aod60.aob2aod120.acbaob60.aob120，劣弧的度數(shù)為120，優(yōu)弧的度數(shù)為240.aeb240120，此弦所對(duì)的圓周角為60或120.利用圓周角定理證明線段相等例2如圖所示，已知o中，的中點(diǎn)分別是e，f，直線ef交ac于p，交ab于q.求證：apq是等腰三角形思路點(diǎn)撥要證等腰三角形，可分別用弧的度數(shù)表示apq與aqp，然后根據(jù)等腰三角形的定義作出判斷精解詳析連接ce，bf，e，f分別是o中與的中點(diǎn)，.又fpcacepec()的度數(shù)，fpcapq，apq的度數(shù)()的度數(shù)，同理aqp的度數(shù)()的度數(shù)，apqaqp.apq是等腰三角形(1)在圓中，只要有弧，就存在著所對(duì)的圓周角同弧所對(duì)的圓周角相等，而相等的角為幾何命題的推理提供了條件，要注意此種意識(shí)的應(yīng)用(2)證明一條線段等于兩條線段之和，可將其分為兩段，其中一段等于已知線段，再去證明另一段也等于已知線段2.如圖，ab是o的一條弦，acb的平分線交ab于點(diǎn)e，交o于點(diǎn)d.求證：accbdcce.證明：連接bd.在ace與dcb中，eac與bdc是同弧所對(duì)的圓周角，eacbdc.又ce為acb的平分線，acedcb，acedcb.accbdcce.利用圓周(心)角定理及其推論求線段長(zhǎng)例3如圖，ab是o的直徑，ab2 cm，點(diǎn)c在圓周上，且bac30，abd120，cdbd于d.求bd的長(zhǎng)思路點(diǎn)撥本題考查“直徑所對(duì)的圓周角為直角”的應(yīng)用解答本題可連接bc，然后利用直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決精解詳析連接bc，ab為o的直徑，acb90.bac30，ab2 cm，bc1 (cm)abd120，dbc1206060.cdbd，bcd906030.bd0.5 (cm)在圓中，直徑是一條特殊的弦，其所對(duì)的圓周角是直角，所對(duì)的弧是半圓，利用此性質(zhì)既可以計(jì)算角、線段又可以證明線線垂直、平行等位置關(guān)系，還可以證明比例式相等3如圖，abc中，c90，ab10，ac6，以ac為直徑的圓與斜邊交于點(diǎn)p，求bp長(zhǎng)解：連接cp，ac為圓的直徑，cpa90，即cpab.又acb90，由射影定理可知ac2apab.ap3.6.bpabap103.66.4.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p21一、選擇題1在o中，aob84，則弦ab所對(duì)的圓周角是()a42b138c84 d42或138解析：借助圓形和圓周角定理可知，弦ab所對(duì)的圓周角有兩種情況，即為42或138.答案：d2如圖，ac是o的直徑，ab、cd是o的兩條弦，且abcd，如果bac32，那么aod()a16 b32c48 d64解析：abcd，.又bac32，的度數(shù)為64.aod64.答案：d3.如圖，abc內(nèi)接于o，c30，ab2，則o的半徑為()a. b2c2 d4解析：連接ao并延長(zhǎng)交o于d，連接bd.dc30，在rtabd中，ad2ab4，半徑為2.答案：b4如圖，已知ab是半圓o的直徑，弦ad、bc相交于點(diǎn)p，那么等()asinbpdbcosbpdctanbpdd以上答案都不對(duì)解析：連接bd，由ba是直徑，知adb是直角三角形由dcbdab，cdacba，cpdbpa，得cpdapb.cosbpd.答案：b二、填空題5如圖，a，e是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑bc4，adbc，垂足為d，be與ad相交于點(diǎn)f，則af的長(zhǎng)為_(kāi)解析：如圖，連接ab，ac，ce，由a，e為半圓周上的三等分點(diǎn)，得fbd30，abd60，acb30.又bc4，ab2，ad，bd1.則df，故af.答案：6如圖所示，已知ab是o的直徑，cd與ab相交于e，acd60，adc45，則aec_.解析：如圖，連接bc.根據(jù)圓周角定理的推論1，可知acb90.acd60，dcb30，的度數(shù)60.adc45，的度數(shù)90.aecdcbcbe()的度數(shù)75.答案：757.如圖，在o中，已知acbcdb60，ac3，則abc的周長(zhǎng)是_解析：由圓周角定理，得adacb60.abbc.abc為等邊三角形周長(zhǎng)等于9.答案：98如圖，在圓的內(nèi)接四邊形abcd中，abc90，abd30，bdc45，ad1，則bc_.解析：連接ac.因?yàn)閍bc90，所以ac為圓的直徑又acdabd30，所以ac2ad2.又bacbdc45，故bc .答案：三、解答題9.如圖，已知在o中，直徑ab為10 cm，弦ac為6 cm，acb的平分線交o于d，求bc、ad和bd的長(zhǎng)解：因?yàn)閍b為直徑所以acbadb90.在rtabc中，bc8(cm)因?yàn)閏d平分acb，所以，所以adb為等腰直角三角形所以adbdab105(cm)10(江蘇高考)如圖，ab是圓o的直徑，c，d是圓o上位于ab異側(cè)的兩點(diǎn)證明：ocbd.證明：因?yàn)閎，c是圓o上的兩點(diǎn)，所以oboc.故ocbb.又因?yàn)閏，d是圓o上位于ab異側(cè)的兩點(diǎn)，故b，d為同弧所對(duì)的兩個(gè)圓周角，所以bd.因此ocbd.11如圖所示，在圓內(nèi)接abc中，abac，d是bc邊上的一點(diǎn)，e是直線ad和abc外接圓的交點(diǎn)(1)求證：ab2adae；(