蘇教版必修一 函數(shù)的基本性質(zhì) 學(xué)案.doc

第一章 集合與函數(shù)概念1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)一、函數(shù)的單調(diào)性1函數(shù)單調(diào)性的定義一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閕：如果對于定義域i內(nèi)某個(gè)區(qū)間d上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有_，那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間d上是增函數(shù)；如果對于定義域i內(nèi)某個(gè)區(qū)間d上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有_，那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間d上是減函數(shù)對函數(shù)單調(diào)性的理解（1）定義中的x1，x2有三個(gè)特征：任意性，即不能用特殊值代替；屬于同一個(gè)區(qū)間；有大小，一般令x1x2學(xué) （2）增、減函數(shù)的定義實(shí)現(xiàn)自變量的大小關(guān)系與函數(shù)值的大小關(guān)系的直接轉(zhuǎn)化：若是增函數(shù)，則；若是減函數(shù)，則2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間d上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）_，區(qū)間d叫做y=f（x）的_對函數(shù)單調(diào)區(qū)間的理解（1）一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“”連接，而應(yīng)該用“和”連接（2）函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，體現(xiàn)在函數(shù)的定義域或其子區(qū)間上，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集（3）函數(shù)的單調(diào)性是對某個(gè)區(qū)間而言的，在某一點(diǎn)上不存在單調(diào)性（4）并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性如函數(shù)就不具有單調(diào)性常見函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)類型單調(diào)性一次函數(shù)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減反比例函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是和單調(diào)增區(qū)間是和二次函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是二、函數(shù)的最大（?。┲?最大值一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閕，如果存在實(shí)數(shù)m滿足：（1）對于任意的，都有_；（2）存在，使得_那么，我們稱m是函數(shù)的最大值函數(shù)的最大值對應(yīng)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)2最小值一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閕，如果存在實(shí)數(shù)m滿足：（1）對于任意的，都有_；（2）存在，使得_那么，我們稱m是函數(shù)的最小值函數(shù)的最小值對應(yīng)圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)，在處有最大值如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)，在處有最小值如果函數(shù)在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，則在區(qū)間的左、右端點(diǎn)處分別取得最小（大）值和最大（?。┲等⒑瘮?shù)的奇偶性一般地，如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有_，那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有_，那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)函數(shù)具有奇偶性的條件（1）首先考慮定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，進(jìn)一步判定是否等于（2）分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段說明與的關(guān)系，只有當(dāng)對稱區(qū)間上的對應(yīng)關(guān)系滿足同樣的關(guān)系時(shí)，才能判定函數(shù)的奇偶性（3）若奇函數(shù)的定義域包括，則四、奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特征如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以_為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以_為對稱中心的中心對稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以_為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于_對稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)奇、偶函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)奇、偶函數(shù)的圖象特征，可以得到：（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性上述結(jié)論可簡記為“奇同偶異”（2）偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的最大（?。┲?，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù) 性質(zhì)法判斷函數(shù)的奇偶性，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù) 知識參考答案：一、1 2單調(diào)性 單調(diào)區(qū)間 二、1（1） （2） 2（1） （2）三、 四、坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)原點(diǎn) 軸 軸 重點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；2函數(shù)的奇偶性及其判斷方法；3奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特征； 難點(diǎn)1利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大（?。┲担?函數(shù)奇偶性的判斷方法； 易錯(cuò)1寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或利用單調(diào)區(qū)間求解時(shí)，首先要關(guān)注函數(shù)的定義域，否則容易出錯(cuò)；2需注意單調(diào)區(qū)間與在區(qū)間上單調(diào)的區(qū)別；3在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，不僅要關(guān)注定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，而且要注意函數(shù)的奇偶性是針對定義域的任意一個(gè)而言的.另外，不要忽略奇函數(shù)若在原點(diǎn)處有定義，則1函數(shù)單調(diào)性的判斷或證明（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性常用定義法和圖象法，而證明函數(shù)的單調(diào)性則應(yīng)嚴(yán)格按照單調(diào)性的定義操作利用定義法判斷（或運(yùn)用）函數(shù)的單調(diào)性的步驟為：（2）若判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，則需將函數(shù)解析式分解為一些簡單的函數(shù)，然后判斷外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)，則復(fù)合函數(shù)單調(diào)遞增；外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性相反時(shí)，則復(fù)合函數(shù)單調(diào)遞減可簡記為“同增異減”，需要注意內(nèi)層函數(shù)的值域在外層函數(shù)的定義域內(nèi)（3）函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：若均為區(qū)間a上的增（減）函數(shù)，則也是區(qū)間a上的增（減）函數(shù)；若，則與的單調(diào)性相同；若，則與的單調(diào)性相反；函數(shù)在公共定義域內(nèi)與，的單調(diào)性相反；函數(shù)在公共定義域內(nèi)與的單調(diào)性相同【例1】證明：函數(shù)在區(qū)間（0，）上是增函數(shù)【答案】證明詳見解析【名師點(diǎn)睛】函數(shù)單調(diào)性判斷的等價(jià)變形：是增函數(shù)對任意，都有，或，或；是減函數(shù)對任意，都有，或，或2單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用主要有：（1）由的大小關(guān)系可以判斷與的大小關(guān)系，也可以由與的大小關(guān)系判斷出的大小關(guān)系比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最大值和最小值（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，此時(shí)應(yīng)將參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再與已知單調(diào)區(qū)間比較，即可求出參數(shù)的取值范圍若函數(shù)為分段函數(shù)，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)（4）利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”號，轉(zhuǎn)化為具體的不等式（組），此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)【例2】若函數(shù)在1，）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】0a1【名師點(diǎn)睛】本題中不一定是二次函數(shù)，所以要對a進(jìn)行討論另外，需熟練掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，并能靈活應(yīng)用3求函數(shù)的最大（?。┲登蠛瘮?shù)最大（小）值的常用方法有：（1）配方法，對于“二次函數(shù)類”的函數(shù)，一般通過配方法求最值；（2）圖象法，對于圖象較為容易畫出來的函數(shù)，可借助圖象直觀求出最值；（3）單調(diào)性法，對于較復(fù)雜的函數(shù)，分析單調(diào)性（需給出證明）后，可依據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值；（4）若函數(shù)存在最值，則最值一定是值域兩端處的值，所以求函數(shù)的最大（小）值可利用求值域的方法注意：（1）無論用哪種方法求最值，都要考查“等號”是否成立（2）函數(shù)的值域是一個(gè)集合，函數(shù)的最值是一個(gè)函數(shù)值，它是值域的一個(gè)元素，函數(shù)的值域一定存在，但函數(shù)并不一定有最大（?。┲怠纠?】已知函數(shù)，若xt，t2，求函數(shù)f（x）的最值【答案】答案詳見解析【解析】易知函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x1，（1）當(dāng)1t2，即t1時(shí)，f（x）maxf（t）t22t3，f（x）minf（t2）t22t3（2）當(dāng)1t2，即1t0時(shí)，f（x）maxf（t）t22t3，f（x）minf（1）4（3）當(dāng)t1，即0t1時(shí)，f（x）maxf（t2）t22t3，f（x）minf（1）4（4）當(dāng)11時(shí)，f（x）maxf（t2）t22t3，f（x）minf（t）t22t3設(shè)函數(shù)f（x）的最大值為g（t），最小值為（t），則有 ，【名師點(diǎn)睛】求二次函數(shù)的最大（?。┲涤袃煞N類型：一是函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，這時(shí)只要根據(jù)拋物線的開口方向，應(yīng)用配方法即可求出最大（小）值；二是函數(shù)定義域?yàn)槟骋粎^(qū)間，這時(shí)二次函數(shù)的最大（?。┲涤伤膯握{(diào)性確定，而它的單調(diào)性又由拋物線的開口方向和對稱軸的位置（在區(qū)間上，在區(qū)間左側(cè)，還是在區(qū)間右側(cè)）來決定，若含有參數(shù)，則要根據(jù)對稱軸與軸的交點(diǎn)與區(qū)間的位置關(guān)系對參數(shù)進(jìn)行分類討論，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合4判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)奇偶性的方法：（1）定義法：（2）圖象法：（3）性質(zhì)法：利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的和、差、積、商的奇偶性和復(fù)合函數(shù)的奇偶性來判斷判斷與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)【例4】下列判斷正確的是a函數(shù)是奇函數(shù)b函數(shù)是非奇非偶函數(shù)c函數(shù)是偶函數(shù)d函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】b【解析】對于a，的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù)對于b，不滿足奇偶性的定義，是非奇非偶函數(shù)對于c，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上可知，函數(shù)是奇函數(shù)對于d，的圖象為平行于軸的直線，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù)【名師點(diǎn)睛】對于c，判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，應(yīng)分段說明與的關(guān)系，只有當(dāng)對稱的兩段上都滿足相同的關(guān)系時(shí)，才能判斷其奇偶性若d項(xiàng)中的函數(shù)是，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)5奇偶函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，因此可以借助函數(shù)一部分的圖象得出函數(shù)另一部分的圖象，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì)【例5】設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)槿舢?dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，則不等式的解集是abcd【答案】d【名師點(diǎn)睛】利用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)，要準(zhǔn)確畫出草圖，并注意特殊點(diǎn)的位置，且求解時(shí)不要忽略定義域的限制6函數(shù)奇偶性的應(yīng)用（1）利用奇偶性的定義求函數(shù)的值或參數(shù)的值，這是奇偶性定義的逆用，注意利用常見函數(shù)（如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)）具有奇偶性的條件求解（2）利用奇偶性求函數(shù)的解析式，已知函數(shù)奇偶性及其在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個(gè)定義域上的解析式的方法是：首先設(shè)出未知區(qū)間上的自變量，利用奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的特點(diǎn)，把它轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，代入已知的解析式，然后再次利用函數(shù)的奇偶性求解即可（3）利用奇偶性比較大小，通過奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較大小【例6】設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)閞，當(dāng)x時(shí)是增函數(shù)，則，的大小關(guān)系是ab cd，從而學(xué) + 【名師點(diǎn)睛】由于偶函數(shù)在軸兩側(cè)的單調(diào)性相反，故不可直接由得出7對單調(diào)區(qū)間和在區(qū)間上單調(diào)兩個(gè)概念的理解【例7】已知二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍【錯(cuò)解】易知函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，由題意知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中把在區(qū)間上單調(diào)誤認(rèn)為是單調(diào)區(qū)間，若把本題改為二次函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則錯(cuò)解中的解法是正確的【正解】易知函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，由題意知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得【名師點(diǎn)睛】單調(diào)區(qū)間是一個(gè)整體概念，比如說函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是i，指的是函數(shù)遞減的最大范圍為區(qū)間i而函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，則指此區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間，一定要區(qū)分開8判斷函數(shù)奇偶性時(shí)，注意定義域【例8】判斷函數(shù)的奇偶性【錯(cuò)解】因?yàn)椋院瘮?shù)是偶函數(shù)【錯(cuò)因分析】判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，需先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱【正解】函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)【名師點(diǎn)睛】由函數(shù)奇偶性的定義可知，具有奇偶性的函數(shù)的定義域必是關(guān)于原點(diǎn)對稱的1集合x|x2表示成區(qū)間是a（2，+）b2，+）c（，2）d（，22集合x|x0且x2用區(qū)間表示出來a（0，2）b（0，+）c（0，2）（2，+）d（2，+）3函數(shù)f（x）=（x1）2的單調(diào)遞增區(qū)間是a0，+）b1，+）c（，0d（，14已知函數(shù)f（x）=1+（x1），則f（x）a在（1，+）上是增函數(shù)b在（1，+）上是增函數(shù)c在（1，+）上是減函數(shù)d在（1，+）上是減函數(shù)5函數(shù)y=f（x），x4，4的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的所有單調(diào)遞減區(qū)間為a4，2b1，4c4，2和1，4d4，21，46函數(shù)g（x）=|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是a0，+）b（，0c（，2d2，+）7已知f（x）是定義在0，+）上單調(diào)遞增的函數(shù)，則滿足的x取值范圍是abcd8函數(shù)f（x）=|x2|的單調(diào)遞減區(qū)間為a（，2b2，+）c0，2d0，+）9函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是abc4，+）d10已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)閞的奇函數(shù)，且f（1）=2，那么f（1）+f（0）=a2b0c1d211函數(shù)f（x）=x的圖象關(guān)于a坐標(biāo)原點(diǎn)對稱bx軸對稱cy軸對稱d直線y=x對稱12函數(shù)f（x）=x3+x的圖象關(guān)于ay軸對稱b直線y=x對稱c坐標(biāo)原點(diǎn)對稱d直線y=x對稱13用區(qū)間表示數(shù)集x|20時(shí)f（x）=x（1x），則當(dāng)x0）的單調(diào)減區(qū)間是a（2，+）b（0，2）c（，+）d（0，）17函數(shù)f（x）=x+（b0）的單調(diào)減區(qū)間為a（，）b（，），（，+）c（，）d（，0），（0，）18函數(shù)f（x）=x+3|x1|的單調(diào)遞增區(qū)間是a（，+）b（1，+）c（，1）d（0，+）19函數(shù)y=，x（m，n最小值為0，則m的取值范圍是a（1，2）b（1，2）.c1，2）d1，2）20已知f（x）=ax2+bx是定義在a1，2a上的偶函數(shù)，那么a+b的值是abcd21已知函數(shù)y=f（x）在r上為奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f（x）=x22x，則當(dāng)x0f（4）bf（2）0f（4）0df（2）f（4）0且x2用區(qū)間表示為：（0，2）（2，+）故選c5【答案】c【解析】由如圖可得，f（x）在4，2遞減，在2，1遞增，在1，4遞減，可得f（x）的減區(qū)間為4，2，1，4故選c6【答案】a【解析】x0，時(shí)，g（x）=x，x0時(shí)，g（x）=x，故函數(shù)在0，+）遞增，故選a7【答案】c【解析】f（x）是定義在0，+）上單調(diào)遞增的函數(shù)，不等式等價(jià)為02x1，即x，即不等式的解集為，故選c8【答案】b【解析】y=|x2|=，函數(shù)y=|x2|的單調(diào)遞減區(qū)間是（，2，f（x）=|x2|的單調(diào)遞減區(qū)間是2，+），故選b11【答案】a【解析】函數(shù)f（x）=x，定義域?yàn)閤|x0關(guān)于原點(diǎn)對稱，f（x）=+x=f（x），則f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱故選a12【答案】c【解析】f（x）=x3x=f（x），函數(shù)f（x）=x3+x為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選c13【答案】（2，4【解析】數(shù)集x|20時(shí)，f（x）=x（1x），當(dāng)x0，f（x）=f（x）=（x（1+x）=x（1+x），即x0），根據(jù)對勾函數(shù)圖象及性質(zhì)可知，函數(shù)f（x）=x+（x0）在（，+）單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）在（0，）單調(diào)遞減故選d17【答案】d【解析】函數(shù)f（x）=x+（b0），的導(dǎo)數(shù)為f（x）=1，由f（x）0，即為x2b，解得x0或0x，則f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（，0），（0，）故選d18【答案】b【解析】函數(shù)