人教A版必修二 4.2.1 直線與圓的位置關(guān)系 學(xué)案.doc

4.2直線、圓的位置關(guān)系4.2.1直線與圓的位置關(guān)系1理解直線與圓的三種位置關(guān)系(重點)2會用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系(重點)3能解決直線與圓位置關(guān)系的綜合問題(易錯點、難點)基礎(chǔ)初探教材整理直線與圓的位置關(guān)系的判定閱讀教材p126p128“練習(xí)”以上部分，完成下列問題直線與圓的位置關(guān)系的判定位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離ddrdrdr代數(shù)法：由消元得到一元二次方程的判別式000圖形直線3x4y50與圓x2y21的位置關(guān)系是()a相交b相切c相離d無法判斷【解析】圓心(0,0)到直線3x4y50的距離d1，又圓x2y21的半徑r1，dr，故直線與圓相切【答案】b 小組合作型直線與圓的位置關(guān)系的判定已知直線方程mxym10，圓的方程x2y24x2y10.當(dāng)m為何值時，直線與圓：(1)有兩個公共點；(2)只有一個公共點；(3)沒有公共點【精彩點撥】可聯(lián)立方程組，由方程組解的個數(shù)判斷，也可求出圓心到直線的距離，通過與半徑比較判斷【自主解答】法一：將直線mxym10代入圓的方程，化簡、整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.4m(3m4)，當(dāng)0，即m0或m時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；當(dāng)0，即m0或m時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；當(dāng)0，即m0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點法二：已知圓的方程可化為(x2)2(y1)24，即圓心為(2,1)，半徑r2.圓心(2,1)到直線mxym10的距離d.當(dāng)d2，即m0或m時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；當(dāng)d2，即m0或m時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；當(dāng)d2，即m0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法1幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷2代數(shù)法：根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷3直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷點與圓的位置關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系，但有一定的局限性，必須是過定點的直線系再練一題1已知圓c的方程是(x1)2(y1)24，直線l的方程為yxm，求：當(dāng)m為何值時，(1)直線平分圓；(2)直線與圓相切；(3)直線與圓有兩個公共點【解】(1)因為直線平分圓，所以圓心(1,1)在直線yxm上，故有m0.(2)因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，所以d2，m2，即m2時，直線l與圓相切(3)直線與圓有兩公共點，dr，即2，所以2m2時有兩個公共點直線與圓相切的有關(guān)問題過點a(4，3)作圓c：(x3)2(y1)21的切線，求此切線的方程. 【精彩點撥】利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線斜率，進而求出切線方程【自主解答】因為(43)2(31)2171，所以點a在圓外(1)若所求切線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y3k(x4)因為圓心c(3,1)到切線的距離等于半徑，半徑為1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k.所以切線方程為y3(x4)，即15x8y360.(2)若直線斜率不存在，圓心c(3,1)到直線x4的距離也為1，這時直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x4.綜上，所求切線方程為15x8y360或x4.過一點的圓的切線方程的求法1當(dāng)點在圓上時，圓心與該點的連線與切線垂直，從而求得切線的斜率，用直線的點斜式方程可求得圓的切線方程2若點在圓外時，過這點的切線有兩條，但在用設(shè)斜率來解題時可能求出的切線只有一條，這是因為有一條過這點的切線的斜率不存在再練一題2求過點(1，7)且與圓x2y225相切的直線方程【解】由題意知切線斜率存在，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y7k(x1)，即kxyk70.5，解得k或k.所求切線方程為y7(x1)或y7(x1)，即4x3y250或3x4y250.探究共研型圓的弦長問題探究1已知直線l與圓相交，如何利用通過求交點坐標的方法求弦長？【提示】將直線方程與圓的方程聯(lián)立解出交點坐標，再利用|ab|求弦長探究2若直線與圓相交、圓的半徑為r、圓心到直線的距離為d，如何求弦長？【提示】通過半弦長、弦心距、半徑構(gòu)成的直角三角形，如圖所示，求得弦長l2.求直線l：3xy60被圓c：x2y22y40截得的弦長【精彩點撥】本題可以考慮利用弦心距，半弦長和半徑構(gòu)成的直角三角形求解若交點坐標易求，則可以聯(lián)立解方程組，求出交點坐標，利用兩點間的距離公式求解【自主解答】法一圓c：x2y22y40可化為x2(y1)25，其圓心坐標為(0,1)，半徑r.點(0,1)到直線l的距離為d，l2，所以截得的弦長為.法二設(shè)直線l與圓c交于a、b兩點由得交點a(1,3)，b(2,0)，所以弦ab的長為|ab|.求弦長常用的三種方法1利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，弦長l之間的關(guān)系r2d22解題2利用交點坐標若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間距離公式計算弦長3利用弦長公式設(shè)直線l：ykxb，與圓的兩交點(x1，y1)，(x2，y2)，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長l|x1x2|.再練一題3直線x2y50被圓x2y22x4y0截得的弦長為()a1b2c4d4【解析】圓的方程可化為c：(x1)2(y2)25，其圓心為c(1,2)，半徑r.如圖所示，取弦ab的中點p，連接cp，則cpab，圓心c到直線ab的距離d|cp|1.在rtacp中，|ap|2，故直線被圓截得的弦長|ab|4.【答案】c1直線3x4y120與圓(x1)2(y1)29的位置關(guān)系是()a過圓心b相切c相離d相交但不過圓心【解析】圓心(1，1)到直線3x4y120的距離dr.【答案】d2已知直線axbyc0(ab0)與圓x2y21相切，則三邊長分別為|a|，|b|，|c|的三角形是()a銳角三角形b直角三角形c鈍角三角形d不存在【解析】由題意知，1，a2b2c2，因此三角形為直角三角形【答案】b3已知圓c的圓心是直線xy10與x軸的交點，且圓c與直線xy30相切，則圓c的方程為_【解析】令y0得x1，所以直線xy10與x軸的交點為(1,0)因為直線xy30與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即r，所以圓c的方程為(x1)2y22.【答案】(x1)2y224過點p(1,2)且與圓c：x2y25相切的直線方程是_. 【解析】點p(1,2)是圓x2y25上的點，圓心為c(0,0)，則kpc2，所以k，y2(x1)故所求切線方程是x2y50.【答案】x2y505過點(1，2)的直線l被圓x2y22x2y10截得的弦長為，求