人教A版必修二 4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系 4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用 學(xué)案.doc

4.2.2圓與圓的位置關(guān)系4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用1掌握圓與圓的位置關(guān)系及判定方法(重點(diǎn)、易錯點(diǎn))2能利用直線與圓的位置關(guān)系解決簡單的實(shí)際問題(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1圓與圓位置關(guān)系的判定閱讀教材p129至p130“練習(xí)”以上部分，完成下列問題1幾何法：若兩圓的半徑分別為r1、r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1、r2的關(guān)系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|0d|r1r2|2.代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進(jìn)行判斷一元二次方程兩圓x2y29和x2y28x6y90的位置關(guān)系是()a外離b相交c內(nèi)切d外切【解析】兩圓x2y29和x2y28x6y90的圓心分別為(0,0)和(4，3)，半徑分別為3和4.所以兩圓的圓心距d5.又43534，故兩圓相交【答案】b教材整理2直線與圓的方程的應(yīng)用閱讀教材p130“練習(xí)”以下至p132“練習(xí)”以上部分，完成下列問題用坐標(biāo)方法解決平面幾何問題的“三步曲”一輛卡車寬1.6米，要經(jīng)過一個半徑為3.6米的半圓形隧道，則這輛卡車的平頂車蓬蓬頂距地面的高度不得超過()a1.4米b3.5米c3.6米d2米【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)蓬頂距地面高度為h，則a(0.8，h3.6)半圓所在圓的方程為：x2(y3.6)23.62，把a(bǔ)(0.8，h3.6)代入得0.82h23.62，h43.5(米)【答案】b小組合作型圓與圓位置關(guān)系的判定當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時，兩圓c1：x2y24x6y120，c2：x2y22x14yk0相交、相切、相離？【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，c1：(x2)2(y3)21，c2：(x1)2(y7)250k.圓c1的圓心為c1(2,3)，半徑r11；圓c2的圓心為c2(1,7)，半徑r2(k50)從而|c1c2|5.當(dāng)15，k34時，兩圓外切當(dāng)|1|5，6，k14時，兩圓內(nèi)切當(dāng)|r2r1|c1c2|r2r1，即14k34時，兩圓相交當(dāng)15或|1|5，即0k14或34k50時，兩圓相離1判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個步驟：(1)化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出圓心和半徑；(2)計(jì)算兩圓圓心的距離d；(3)通過d，r1r2，|r1r2|的關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時可借助于圖形，數(shù)形結(jié)合2應(yīng)用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系或求字母參數(shù)的范圍是非常簡單清晰的，要理清圓心距與兩圓半徑的關(guān)系再練一題1已知圓c1：x2y22ax2ya2150，圓c2：x2y24ax2y4a20(a0)試求a為何值時，兩圓c1，c2的位置關(guān)系為：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含【解】圓c1，c2的方程，經(jīng)配方后可得c1：(xa)2(y1)216，c2：(x2a)2(y1)21，圓心c1(a,1)，c2(2a,1)，半徑r14，r21.|c1c2|a.(1)當(dāng)|c1c2|r1r25，即a5時，兩圓外切；當(dāng)|c1c2|r1r23，即a3時，兩圓內(nèi)切(2)當(dāng)3|c1c2|5，即3a5時，兩圓相交(3)當(dāng)|c1c2|5，即a5時，兩圓外離(4)當(dāng)|c1c2|3，即a3時，兩圓內(nèi)含兩圓相交有關(guān)問題求圓c1：x2y21與圓c2：x2y22x2y10的公共弦所在直線被圓c3：(x1)2(y1)2所截得的弦長【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】設(shè)兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a，b的坐標(biāo)是方程組的解，兩式相減得xy10.因?yàn)閍，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足 xy10，所以ab所在直線方程為xy10，即c1，c2的公共弦所在直線方程為xy10，圓c3的圓心為(1,1)，其到直線ab的距離d，由條件知r2d2，所以直線ab被圓c3截得弦長為2.1圓系方程一般地過圓c1：x2y2d1xe1yf10與圓c2：x2y2d2xe2yf20交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為：x2y2d1xe1yf1(x2y2d2xe2yf2)0(1)，然后再由其他條件求出，即可得圓的方程2兩圓相交時，公共弦所在的直線方程若圓c1：x2y2d1xe1yf10與圓c2：x2y2d2xe2yf20相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(d1d2)x(e1e2)yf1f20.3公共弦長的求法(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解再練一題2求兩圓x2y22x10y240和x2y22x2y80的公共弦所在直線的方程及公共弦長【解】聯(lián)立兩圓的方程得方程組兩式相減得x2y40，此為兩圓公共弦所在直線的方程法一：設(shè)兩圓相交于點(diǎn)a，b，則a，b兩點(diǎn)滿足方程組解得或所以|ab|2，即公共弦長為2.法二：由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圓心坐標(biāo)為(1，5)，半徑長r5，圓心到直線x2y40的距離為d3.設(shè)公共弦長為2l，由勾股定理得r2d2l2，即50(3)2l2，解得l，故公共弦長2l2.探究共研型直線與圓的方程的應(yīng)用探究1設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用(x2)2(y3)24表示，村外一小路方程可用xy20表示，你能求出從村莊外圍到小路的最短距離嗎？【提示】從村莊外圍到小路的最短距離為圓心(2，3)到直線xy20的距離減去圓的半徑2，即22.探究2已知臺風(fēng)中心從a地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市b在a的正東40千米處，請建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)法求b城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間【提示】如圖，以a為原點(diǎn)，以ab所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系射線ac為xay的平分線，則臺風(fēng)中心在射線ac上移動則點(diǎn)b到ac的距離為20千米，則射線ac被以b為圓心，以30千米為半徑的圓截得的弦長為220(千米)所以b城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為t1(小時)為了適應(yīng)市場需要，某地準(zhǔn)備建一個圓形生豬儲備基地(如圖421)，它的附近有一條公路，從基地中心o處向東走1 km是儲備基地的邊界上的點(diǎn)a，接著向東再走7 km到達(dá)公路上的點(diǎn)b；從基地中心o向正北走8 km到達(dá)公路的另一點(diǎn)c.現(xiàn)準(zhǔn)備在儲備基地的邊界上選一點(diǎn)d，修建一條由d通往公路bc的專用線de，求de的最短距離圖421【精彩點(diǎn)撥】建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求出圓o的方程和直線bc的方程，再利用直線與圓的位置關(guān)系求解【自主解答】以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，過ob，oc的直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則圓o的方程為x2y21，因?yàn)辄c(diǎn)b(8,0)，c(0,8)，所以直線bc的方程為1，即xy8.當(dāng)點(diǎn)d選在與直線bc平行的直線(距bc較近的一條)與圓的切點(diǎn)處時，de為最短距離此時de長的最小值為1(41) km.解決關(guān)于直線與圓方程實(shí)際應(yīng)用問題的步驟再練一題3一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報(bào)，臺風(fēng)中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑為30 km的圓形區(qū)域，已知港口位于臺風(fēng)中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風(fēng)的影響？【解】以臺風(fēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以東西方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系(如圖)，其中取10 km為單位長度，則受臺風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對應(yīng)的圓的方程為x2y29，港口所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4)，輪船的初始位置所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(7,0)，則輪船航線所在直線l的方程為1，即4x7y280.圓心(0,0)到航線4x7y280的距離d，而半徑r3，dr，直線與圓外離，所以輪船不會受到臺風(fēng)的影響1圓o1：x2y22x0和圓o2：x2y24y0的位置關(guān)系為()a外離b相交c外切d內(nèi)切【解析】圓o1的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑長r11；圓o2的圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑長r22；1r2r1|o1o2|r1r23，即兩圓相交【答案】b2圓x2y22x50和圓x2y22x4y40的交點(diǎn)為a、b，則線段ab的垂直平分線方程為()axy10b2xy10cx2y10dxy10【解析】所求直線即兩圓圓心(1,0)、(1,2)連線所在直線，故由，得xy10.【答案】a3圓c1：(xm)2(y2)29與圓c2：(x1)2(ym)24外切，則m的值為_. 【解析】c1(m，2)，r13，c2(1，m)，r22，由題意得|c1c2|5，即(m1)2(m2)225，解得m2或m5.【答案】2或54已知兩圓x2y210和(x1)2(y3)220相交于a、b兩點(diǎn)，則直線ab的方程是_【解析】過兩圓交點(diǎn)的直線就是兩圓公共弦所在直線，因此該直線方程為：x2y210(x1)2(y3)2200，即x3y0.【答案】x3y05求經(jīng)過兩圓x2y26x40和x2y26y280的交點(diǎn)且圓心在直線xy40上的圓的方程【解】法一：解方程組得兩圓的交點(diǎn)a(