二次根式的運(yùn)算.教師版.doc

學(xué)大教育廣東路校區(qū)教學(xué)部 XueDa Century Education Technology (BEIJING) Ltd. Co第1講二次根式運(yùn)算中考要求內(nèi)容基本要求略高要求較高要求二次根式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算理解二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則會(huì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，會(huì)進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算（不要求分母有理化）知識(shí)點(diǎn)睛一、二次根式概念及化簡(jiǎn)二次根式的概念：形如（）的式子叫做二次根式二次根式的基本性質(zhì)：（）雙重非負(fù)性；（）；二、 二次根式的乘除最簡(jiǎn)二次根式：二次根式（）中的稱為被開(kāi)方數(shù)滿足下面條件的二次根式我們稱為最簡(jiǎn)二次根式：被開(kāi)放數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（被開(kāi)方數(shù)不能存在小數(shù)、分?jǐn)?shù)形式）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式分母中不含二次根式二次根式的計(jì)算結(jié)果要寫成最簡(jiǎn)根式的形式二次根式的乘法法則：（，）二次根式的除法法則：（，）利用這兩個(gè)法則時(shí)注意、的取值范圍，對(duì)于，、都非負(fù)，否則不成立，如三、二次根式的加減同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式合并同類二次根式：同類二次根式才可加減合并四、分母有理化分母有理化：把分母中的根號(hào)化去叫做分母有理化互為有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式與互為有理化因式；分式有理化時(shí)，一定要保證有理化因式不為0重、難點(diǎn)1、從二次根式的定義看出，二次根式的被開(kāi)方數(shù)可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)式子，且被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)2、二次根式的性質(zhì)具有雙重非負(fù)性，即二次根式中被開(kāi)方數(shù)非負(fù),算術(shù)平方根非負(fù).3、利用得到成立，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或式寫成一個(gè)數(shù)或式的平方的形式如4、注意逆用二次根式的性質(zhì)，即，利用這兩個(gè)性質(zhì)可以對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)5、運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)時(shí)，最后結(jié)果中的二次根式要化為最簡(jiǎn)二次根式或整式最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：(1)被開(kāi)方式中不含分母；(2)被開(kāi)方式中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式例題精講一、二次根式概念及性質(zhì)【例1】 取何值時(shí)，下列各式有意義：【解析】 此題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：被開(kāi)方數(shù)大于或等于；分母不等于；且，即；且；且；取任意數(shù)【鞏固】 設(shè)，求使有意義的的取值范圍.【解析】 ，即.【鞏固】當(dāng)取何值時(shí)，式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義【解析】 利用分式的條件，把此題轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)不等式組的問(wèn)題由得或解得或當(dāng)或時(shí)，原式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)由意義點(diǎn)評(píng)：記住的條件為或，的條件為或【鞏固】 當(dāng) 時(shí)，有意義【解析】 通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)一定是一個(gè)正數(shù)，這樣就將原式有意義的條件且轉(zhuǎn)化為，解不等式得點(diǎn)評(píng)：判定是正數(shù)是關(guān)鍵，同理，是負(fù)數(shù)【例2】 若、為實(shí)數(shù)，且，求的值.【解析】 已知得，即，原式.【鞏固】 （2005年淄博中考題)若和互為相反數(shù)，求的值.【解析】 因?yàn)椋?【鞏固】 (2007年成都)已知，那么的值為 .【解析】【鞏固】 (第12屆希望杯邀請(qǐng)賽)求代數(shù)式的最小值.【解析】 根據(jù)題意可得：，即，當(dāng)時(shí)，有最小值.【鞏固】已知實(shí)數(shù)與非零實(shí)數(shù)滿足等式：.求.【解析】 根據(jù)已知條件可知：，故，【例3】 (人大附單元測(cè)試)已知為實(shí)數(shù)，且滿足，求的值.【解析】 由題意可知，所以原式可變形為，所以，即【鞏固】(人大附中初一第2學(xué)期期末考試)已知：，求的平方根. 【解析】 由根式的性質(zhì)得：，的平方根是：.【鞏固】 若，求的值.【解析】 根據(jù)題意可得：，解得，【鞏固】 在實(shí)數(shù)范圍成立，那么的值是多少？【解析】 此題運(yùn)用是一個(gè)非負(fù)數(shù)解題，由，從而.這時(shí)等式變?yōu)?，【?】 (北京市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)若適合關(guān)系式，試確定的值.【解析】 且，即，.，(為；為)：，【例5】 (四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)已知為實(shí)數(shù)，求.【解析】 由已知得：，即，由、得：，.【鞏固】 ，求，的值.【解析】 ，【鞏固】化簡(jiǎn)：【解析】 ，又有意義，原式二、關(guān)于二次根式的化簡(jiǎn)【例6】 已知：，求的取值范圍【解析】 ，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以的取值范圍是【鞏固】 化簡(jiǎn)：【解析】 原式當(dāng)時(shí)，原式當(dāng)時(shí)，原式當(dāng)時(shí)，原式【例7】 數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)【解析】【鞏固】 化簡(jiǎn)：（）【解析】 ，原式【例8】 若，則化簡(jiǎn)【解析】【鞏固】 化簡(jiǎn)：，其中【解析】 由二次根式的性質(zhì)可知，化簡(jiǎn)二次根式的一個(gè)有效方法是配方去掉根號(hào)，所以原式因?yàn)椋栽健眷柟獭?已知，化簡(jiǎn)=_【解析】 ，原式【鞏固】 化簡(jiǎn)下列各式：（）【解析】，原式【鞏固】 化簡(jiǎn)下列各式：（）【解析】，原式，點(diǎn)評(píng)：解此題時(shí)，應(yīng)注意這一步驟不要省略，并要對(duì)每一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的部分的正負(fù)進(jìn)行判斷，去掉絕對(duì)值符號(hào)【鞏固】 化簡(jiǎn)下列各式（，）（，）【解析】 解答這一類化簡(jiǎn)題就是利用二次根式的性質(zhì)把二次根式化成最簡(jiǎn)形式，化簡(jiǎn)時(shí)遇到小數(shù)要化成分?jǐn)?shù)，遇到帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)，遇到多項(xiàng)式和整數(shù)要分解因式或因數(shù)原式，原式點(diǎn)評(píng)：化簡(jiǎn)時(shí)要靈活運(yùn)用性質(zhì)和公式，有時(shí)也會(huì)用到分母有理化，另外要注意對(duì)化簡(jiǎn)結(jié)果格式的要求以及在利用時(shí)要注意條件是否滿足【補(bǔ)充】(第14屆“希望杯”試題)設(shè)，則=_.【解析】 ， 原式.【例9】 （湖北省黃風(fēng)地區(qū)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）設(shè)都是實(shí)數(shù)，且，那么化簡(jiǎn)為（ ）A B C D.【解析】 ，又，.,原式，選（D）【鞏固】 （天津市第三屆“新蕾杯”初二數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題）如果，與都成立，尋么，的最簡(jiǎn)結(jié)果是 【解析】 ，且，故?！眷柟獭?如果，化簡(jiǎn)【解析】 分析可得，原式.【例10】 （江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已知實(shí)數(shù)滿足，那么，的值是（ ）A BCD.【解析】 已知條件即為，故，選（B）【例11】 已知，確定的取值范圍【解析】 此題同樣是的化簡(jiǎn)問(wèn)題，但沒(méi)有給出字母的取值，反過(guò)來(lái)給出化簡(jiǎn)的結(jié)果讓我們判斷的取值所以需要分情況討論，找出化簡(jiǎn)結(jié)果等于的所有情況當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，原式成立點(diǎn)評(píng)：注意的化簡(jiǎn)方法注意體會(huì)本題中借助數(shù)軸的取值進(jìn)行分類的方法【例12】 化簡(jiǎn)，得（ ）ABCD【解析】 要使式子有意義，則解得，原式【鞏固】 化簡(jiǎn)：【解析】 原式注意分析隱含條件【例13】 化簡(jiǎn)：【解析】 根據(jù)題意可得：，即，所以，原式.【鞏固】 化簡(jiǎn)：【解析】 要使有意義，必須，所以，原式點(diǎn)評(píng)：若根式中的字母給出了取值范圍，則應(yīng)在這個(gè)范圍內(nèi)進(jìn)行化簡(jiǎn)；若沒(méi)有給出取值范圍，則應(yīng)在字母允許取值的范圍內(nèi)進(jìn)行化簡(jiǎn)【補(bǔ)充】化簡(jiǎn)：【解析】，、同號(hào)或與同號(hào)，原式【例14】 為實(shí)數(shù)，且，求的值.【解析】 由題目條件中，可知有隱含條件，即，于是可解.，所以，所以或，由于，所以.【鞏固】已知，是實(shí)數(shù)，且.化簡(jiǎn).【解析】 要使和有意義，則，且.所以.所以，即，原式.三、二次根式的乘除【例15】 下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)是（ ）,A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【解析】 此題的關(guān)鍵是看二次根式的被開(kāi)方數(shù)是否滿足最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件中是分式，中是小數(shù)中的是分?jǐn)?shù)，它們都不滿足條件； 中有能開(kāi)得盡方的因式，中有能開(kāi)得盡方的因數(shù)，中含有能開(kāi)得盡方的因式，它們都不滿足條件2；只有滿足最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件答：點(diǎn)評(píng)：要牢記最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件，判斷時(shí)只須看被開(kāi)方數(shù)，注意當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)要先分解因式，找一找有沒(méi)有能開(kāi)得盡方得因式和因數(shù)，特別要分清中雖有和，但和不是的因式【例16】 化簡(jiǎn)下列各式（字母均取正數(shù)）：；【解析】 【鞏固】若，且，化簡(jiǎn)【解析】 根據(jù)和可得，或，又，所以，即，則【鞏固】 化簡(jiǎn)：【解析】，、同號(hào)或與同號(hào)，原式【例17】 計(jì)算：；【解析】 ；，從題目易分析得，；，從題目易分析得，.【鞏固】 (第12屆希望杯試題)已知?jiǎng)t【解析】 由已知得，.四、分母有理化【例18】 把下列各式分母有理化：.【解析】 ； 注：本題幫助學(xué)生練習(xí)最簡(jiǎn)單的“分母有理化”及性質(zhì)當(dāng)分母中有根號(hào)時(shí)，要在分子和分母上同時(shí)乘以一個(gè)式子，使相乘后的分母不再含根式、主要運(yùn)用“”，進(jìn)行分母有理化【鞏固】 把下列各式分母有理化：【補(bǔ)充】若，求的最大值.【解析】 ，當(dāng)時(shí)，原式可取得最大值當(dāng)，原式當(dāng)時(shí)，原式有最大值【例19】 化簡(jiǎn)：【解析】 (法1)：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，原式(法2)：【鞏固】 (2005年上海市初三數(shù)學(xué)競(jìng)賽宇振杯)計(jì)算：_【解析】 根據(jù)題目，所以且如果，則，原式 當(dāng)時(shí)，原式所以原式另解：【例20】 化簡(jiǎn)：（）ABCD不同于的答案【解析】五、二次根式的加減【例21】 在，這個(gè)式子中，與是同類二次根式的共有多少個(gè)？【解析】 ，所以，與同類，共個(gè)【鞏固】 下列二次根式中，哪些是同類二次根式？（字母均為正數(shù)）；【解析】 ；與、與、與是同類二次根式，、的值有四組，即，故原方程的整數(shù)解有4組.【例22】 如果最簡(jiǎn)根式與是同類二次根式，求的值.【解析】 根據(jù)題意可得，解得，解得【鞏固】 已知最簡(jiǎn)根式是同類二次根式，則滿足條件的,的值（ ）A不存在B有一組C有二組D多于二組【解析】 根據(jù)同類二次根式定義可知：，解之得【鞏固】 若與最簡(jiǎn)二次根式為同類二次根式，其中，為整數(shù)，則_，_；【解析】 由題意可知，故，又，；【鞏固】 (第十屆“五羊杯”競(jìng)賽題)方程的整數(shù)解有 組.【解析】 為同類二次根式，原方程為：.設(shè)，【例23】 計(jì)算：【解析】 【鞏固】 化簡(jiǎn)計(jì)算：()【解析】 原式；原式；【例24】 計(jì)算：【解析】 【鞏固】 計(jì)算：【解析】 【鞏固】 計(jì)算：【解析】【鞏固】 計(jì)算：_.【解析】 原式【例25】 計(jì)算：.【解析】 原式.【鞏固】 (第18屆希望杯培訓(xùn)試題)計(jì)算：=_.【解析】 原式家庭作業(yè)【習(xí)題1】 計(jì)算： 【解析】 【習(xí)題2】 判斷下列各組二次根式是不是同類二次根式： 【解析】 不是同類二次根式是同類二次根式不是同類二次根式和不是同類二次根式點(diǎn)評(píng)：判斷兩個(gè)二次根式是不是同類二次根式，要嚴(yán)格按照定義，先化簡(jiǎn)，然后再看被開(kāi)方數(shù)是否相同即可解此題必須要把所給二次根式化成最簡(jiǎn)形式化成最簡(jiǎn)二次根式后只須看被開(kāi)方數(shù)是否相同【習(xí)題3】 若最簡(jiǎn)二次根式是同類根式，求的值【解析】 根據(jù)同類二次根式的定義可知，通過(guò)解方程組即可求出、，再代如求的值解：由已知得，解得點(diǎn)評(píng)：二次根式隱含由根指數(shù)這一條件另外注意若沒(méi)有最簡(jiǎn)二次根式這一條件，不能得出【習(xí)題4】 (2007年江西省)在數(shù)軸上與表示的點(diǎn)的距離最近的整數(shù)點(diǎn)所表示的數(shù)是 (2007年河南省)已知為整數(shù)，且滿足，則 (2007淄博市)估計(jì)的大小應(yīng)( )A.在9.19.2之間 B.在9.29.3之間 C.在9.39.4之間 D.在9.