北師大版必修四 3.3二倍角的三角函數(shù)1 教案.doc

3.3二倍角的三角函數(shù)1一、教學目標：知識與技能：通過讓學生探索、發(fā)現(xiàn)并推導二倍角公式,了解它們之間、以及它們與和角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系,并通過強化題目的訓練,加深對二倍角公式的理解，培養(yǎng)運算能力及邏輯推理能力,從而提高解決問題的能力.過程與方法：通過二倍角的正弦、余弦、正切公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恒等證明.體會化歸這一基本數(shù)學思想在發(fā)現(xiàn)中和求值、化簡、恒等證明中所起的作用.使學生進一步掌握聯(lián)系變化的觀點，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點來分析問題，提高學生分析問題、解決問題的能力.情感、態(tài)度與價值觀通過本節(jié)學習，引導學生領悟?qū)ふ覕?shù)學規(guī)律的方法，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，以及善于發(fā)現(xiàn)和勇于探索的 學精神.二重點難點重點：二倍角公式推導及其應用.難點：如何靈活應用和、差、倍角公式進行三角式化簡、求值、證明恒等式.三、教材與學情分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎上，進一步研究具有“二倍角”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的，它既是兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又為以后求三角函數(shù)值、化簡、證明提供了非常有用的理論工具、通過對二倍角的推導知道，二倍角的內(nèi)涵是：揭示具有倍數(shù)關(guān)系的兩個三角函數(shù)的運算規(guī)律、通過推導還讓學生加深理解了高中數(shù)學由一般到特殊的化歸思想、因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學生運算和邏輯推理能力的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義. 本節(jié)課通過教師提出問題、設置情境及對和角公式中、關(guān)系的特殊情形=時的簡化，讓學生在探究中既感到自然、易于接受，還可清晰知道和角的三角函數(shù)與倍角公式的聯(lián)系，同時也讓學生學會怎樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律及體會由一般到特殊的化歸思想.這一切教師要引導學生自己去做,因為，數(shù)學課程標準提出：“要讓學生在參與特定的數(shù)學活動，在具體情境中初步認識對象的特征，獲得一些體驗”.四、教學方法 問題引導，主動探究，啟發(fā)式教 五、教學過程（一）導入新課 思路1.(復習導入)請學生回憶上兩節(jié)共同探討的和角公式、差角公式，并回憶這組公式的來龍去脈，然后讓學生默寫這六個公式.教師引導學生：和角公式與差角公式是可以互相化歸的.當兩角相等時,兩角之和便為此角的二倍,那么是否可把和角公式化歸為二倍角公式呢?今天,我們進一步探討一下二倍角的問題，請同學們思考一下，應解決哪些問題呢？由此展開新課. 思路2.(問題導入)出示問題，讓學生計算，若sin=,(,),求sin2，cos2的值.學生會很容易看出：sin2=sin(+)=sincos+cossin=2sincos的，以此展開新課，并由此展開聯(lián)想推出其他公式.（二）新知探究、提出問題還記得和角的正弦、余弦、正切公式嗎？(請學生默寫出來，并由一名學生到黑板默寫)你寫的這三個公式中角、會有特殊關(guān)系=嗎？此時公式變成什么形式？在得到的c2公式中，還有其他表示形式嗎？細心觀察二倍角公式結(jié)構(gòu)，有什么特征呢？能看出公式中角的含義嗎？思考過公式成立的條件嗎？讓學生填空：老師隨機給出等號一邊括號內(nèi)的角，學生回答等號另一邊括號內(nèi)的角，稍后兩人為一組，做填數(shù)游戲：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos2( )-sin2( ).思考過公式的逆用嗎？想一想c2還有哪些變形？請思考以下問題：sin2=2sin嗎？cos2=2cos嗎？tan2=2tan？ 活動：問題,學生默寫完后，教師打出課件，然后引導學生觀察正弦、余弦的和角公式，提醒學生注意公式中的,，既然可以是任意角，怎么任意的？你會有些什么樣的奇妙想法呢？并鼓勵學生大膽試一試.如果學生想到,會有相等這個特殊情況，教師就此進入下一個問題，如果學生沒想到這種特殊情況，教師適當點撥進入問題，然后找一名學生到黑板進行簡化，其他學生在自己的座位上簡化、教師再與學生一起集體訂正黑板的書寫，最后學生都不難得出以下式子，鼓勵學生嘗試一下，對得出的結(jié)論給出解釋.這個過程教師要舍得花時間，充分地讓學生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意義.同時開拓學生的思維空間，為學生將來遇到的3或3等角的探究附設類比聯(lián)想的源泉.sin(+)=sincos+cossinsin2=2sincos（s2）;cos(+)=coscos-sinsincos2=cos2-sin2(c2);tan(+)= 這時教師適時地向?qū)W生指出，我們把這三個公式分別叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指導學生閱讀教 書，確切明了二倍角的含義，以后的“倍角”專指“二倍角”、教師適時提出問題，點撥學生結(jié)合sin2+cos2=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示為以下右表中的公式. 這時教師點出，這些公式都叫做倍角公式（用多媒體演示）.倍角公式給出了的三角函數(shù)與2的三角函數(shù)之間的關(guān)系. 問題,教師指導學生，這組公式用途很廣，并與學生一起觀察公式的特征與記憶，首先公式左邊角是右邊角的2倍；左邊是2的三角函數(shù)的一次式，右邊是的三角函數(shù)的二次式，即左到右升冪縮角，右到左降冪擴角、二倍角的正弦是單項式，余弦是多項式，正切是分式. 問題,因為還沒有應用，對公式中的含義學生可能還理解不到位，教師要引導學生觀察思考并初步感性認識到：()這里的“倍角”專指“二倍角”,遇到“三倍角”等名詞時,“三”字等不可省去；()通過二倍角公式,可以用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函數(shù)；()二倍角公式是兩角和的三角函數(shù)公式的特殊情況；()公式(s2),(c2)中的角沒有限制，都是r.但公式(t2)需在 +和 +( )時才成立，這一條件限制要引起學生的注意.但是當= +, 時,雖然tan不存在,此時不能用此公式，但tan2是存在的,故可改用誘導公式.問題,填空是為了讓學生明了二倍角的相對性，即二倍角公式不僅限于2是的二倍的形式,其他如4是2的二倍,是的二倍,3是的二倍,是的二倍，-是-的二倍等,所有這些都可以應用二倍角公式.例如:sin=2sincos,cos=cos2-sin2等等. 問題,本組公式的靈活運用還在于它的逆用以及它的變形用，這點教師更要提醒學生引起足夠的注意.如:sin3cos3=sin6，4sincos=2(2sincos)=2sin,=tan80，cos22-sin22=cos4，tan2=2tan(1-tan2)等等. 問題,一般情況下:sin22sin,cos22cos,tan22tan.若sin2=2sin,則2sincos=2sin,即sin=0或cos=1,此時= ( ).若cos2=2cos,則2cos2-2cos-1=0,即cos=(cos=舍去).若tan2=2tan,則=2tan,tan=0,即= ( ).解答：（略）（三）應用示例例1 已知sin2=,求sin4,cos4,tan4的值. 活動：教師引導學生分析題目中角的關(guān)系，觀察所給條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)，注意二倍角公式的選用，領悟“倍角”是相對的這一換元思想.讓學生體會“倍”的深刻含義，它是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的.本題中的已知條件給出了2的正弦值.由于4是2的二倍角,因此可以考慮用倍角公式.本例是直接應用二倍角公式解題，目的是為了讓學生初步熟悉二倍角的應用，理解二倍角的相對性，教師大膽放手，可讓學生自己獨立探究完成.解:由,得2.又sin2=,cos2=.于是sin4=sin2(2)=2sin2cos2=2()=;cos4=cos2(2)=1-2sin22=1-2()2=;tan4=(-)=. 點評：學生由問題中條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)不難想象出解法，但要提醒學生注意,在解題時注意優(yōu)化問題的解答過程，使問題的解答簡捷、巧妙、規(guī)范，并達到熟練掌握的程度.本節(jié)公式的基本應用是高考的熱點.變式訓練1.不查表,求值:sin15+cos15.解:原式= 點評：本題在兩角和與差的學習中已經(jīng)解決過，現(xiàn)用二倍角公式給出另外的解法，讓學生體會它們之間的聯(lián)系，體會數(shù)學變化的魅力.2. 若,則cos+sin的值為( )a. b. c. d.答案:c例2 證明=tan. 活動：先讓學生思考一會，鼓勵學生充分發(fā)揮聰明才智，戰(zhàn)勝它，并力爭一題多解.教師可點撥學生想一想，到現(xiàn)在為止，所學的證明三角恒等式的方法大致有幾種：從復雜一端化向簡單一端；兩邊化簡，中間碰頭；化切為弦；還可以利用分析綜合法解決，有時幾種方法會同時使用等.對找不到思考方向的學生，教師點出：可否再添加一種，化倍角為單角？這可否成為證明三角恒等式的一種方法？再適時引導，前面學習同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時曾用到“1”的代換，對“1”的妙用大家深有體會，這里可否在“1”上做做文章？ 待學生探究解決方法后，可找?guī)讉€學生到黑板書寫解答過程，以便對照點評及給學生以啟發(fā).點評時對能夠善于運用所學的新知識解決問題的學生給予贊揚；對暫時找不到思路的學生給予點撥、鼓勵.強調(diào)“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出現(xiàn)，在證明過程中就會起到至關(guān)重要的作用，在今后的證題中，萬萬不要忽視它.證明:方法一:左=tan=右.所以,原式成立.方法二:左=tan=右.方法三:左=tan=右. 點評：以上幾種方法大致遵循以下規(guī)律：首先從復雜端化向簡單端；第二，化倍角為單角，這是我們今天剛剛學習的；第三，證題中注意對數(shù)字的處理，尤其“1”的代換的妙用，請同學們在探究中仔細體會這點.在這道題中通常用的幾種方法都用到了，不論用哪一種方法，都要思路清晰，書寫規(guī)范才是.例3 在abc中,cosa=,tanb=2,求tan(2a+2b)的值. 活動：這是本節(jié)課本上最后一個例題，結(jié)合三角形，具有一定的綜合性,同時也是和與差公式的應用問題.教師可引導學生注意在三角形的背景下研究問題,會帶來一些隱含的條件,如a+b+c=,0a,0b,0c,就是其中的一個隱含條件.可先讓學生討論探究，教師適時點撥.學生探究解法時教師進一步啟發(fā)學生思考由條件到結(jié)果的函數(shù)及角的聯(lián)系.由于對2a+2b與a,b之間關(guān)系的看法不同會產(chǎn)生不同的解題思路,所以學生會產(chǎn)生不同的解法，不過它們都是對倍角公式、和角公式的聯(lián)合運用，本質(zhì)上沒有區(qū)別.不論學生的解答正確與否，教師都不要直接干預.在學生自己嘗試解決問題后,教師可與學生一起比較各種不同的解法，并引導學生進行解題方法的歸納總結(jié).基礎較好的班級還可以把求tan(2a+2b)的值改為求tan2c的值.解：方法一:在abc中,由cosa=,0a,得sina=所以tana=,tan2a=又tanb=2,所以tan2b=于是tan(2a+2b)=方法二:在abc中,由cosa=,0a,得sina=所以tana=.又tanb=2,所以tan(a+b)=于是tan(2a+2b)=tan2(a+b)= 點評：以上兩種方法都是對倍角公式、和角公式的聯(lián)合運用,本質(zhì)上沒有區(qū)別,其目的是為了鼓勵學生用不同的思路去思考,以拓展學生的視野.六、課堂小結(jié)1.先由學生回顧本節(jié)課都學到了什么？有哪些收獲？對前面學過的兩角和公