北師大版選修22 第一章4　數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)案.doc

4數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1.能說出數(shù)學(xué)歸納法的原理，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式及研究數(shù)列問題2能用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式整除問題，會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法解決相關(guān)問題.重點(diǎn)：借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，證明簡(jiǎn)單的恒等式問題難點(diǎn)：對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解及第二步的運(yùn)用.1數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與_有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法2數(shù)學(xué)歸納法證明步驟(1)基本步驟：驗(yàn)證：_時(shí)，命題成立；在假設(shè)_時(shí)命題成立的前提下，推出_時(shí)，命題成立根據(jù)可以斷定命題對(duì)一切正整數(shù)n都成立(2)數(shù)學(xué)歸納法能保證命題對(duì)_都成立因?yàn)楦鶕?jù)，驗(yàn)證了當(dāng)_命題成立；根據(jù)可知，_命題成立由于_命題成立，再根據(jù)可知，_命題也成立，這樣遞推下去，就可以知道_命題成立，即命題對(duì)任意正整數(shù)n都成立預(yù)習(xí)交流議一議：為什么說數(shù)學(xué)歸納法步驟缺一不可，它的優(yōu)點(diǎn)是什么？答案：預(yù)習(xí)導(dǎo)引1正整數(shù)n2(1)n1nk(k1)nk1(2)所有的正整數(shù)n1n112n2n13n4,5，預(yù)習(xí)交流：提示：(1)數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)，這個(gè)基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有往后傳遞的保證，即只要命題對(duì)某個(gè)正整數(shù)成立，就能保證該命題對(duì)后面的正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數(shù)學(xué)歸納法，這兩步各司其職，缺一不可特別指出的是第二步不是判斷命題的真?zhèn)?，而是證明命題是否具有傳遞性，如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題(2)數(shù)學(xué)歸納法是不完全歸納法，它的優(yōu)點(diǎn)是克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，是一種科學(xué)的方法，使我們認(rèn)識(shí)到事物由特殊到一般，由有限到無限的規(guī)律在預(yù)習(xí)中還有哪些問題需要你在聽課時(shí)加以關(guān)注？請(qǐng)?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€(gè)備忘吧！我的學(xué)困點(diǎn)我的學(xué)疑點(diǎn)一、用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式用數(shù)學(xué)歸納法證明：1.思路分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)要注意等式兩邊的項(xiàng)數(shù)的變化，即由nk到nk1時(shí)，左右兩邊各添加了哪些項(xiàng)1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1aa2an1(a1)，在驗(yàn)證n1時(shí)，左邊計(jì)算所得的項(xiàng)為()a1 b1a c1aa2 d1aa2a32證明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)1.在利用數(shù)學(xué)歸納法由nk到nk1時(shí)，有時(shí)不只增加1項(xiàng)，并且等式的左邊和右邊可能增加的項(xiàng)數(shù)不一定相同2第二步中證明nk1成立時(shí)，一定要用上nk時(shí)的假設(shè)3在遞推步驟的證明過程中，突出兩個(gè)湊字：一“湊”假設(shè)；二“湊”結(jié)論關(guān)鍵是明確nk1時(shí)證明的目標(biāo)，充分考慮用由nk到nk1時(shí)，命題形式之間的區(qū)別與聯(lián)系二、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式求證：當(dāng)nn，n2時(shí)，.思路分析：本題為與正整數(shù)n有關(guān)的不等式，可結(jié)合不等式的性質(zhì)加以變形已知sn1(n1，nn)，求證：s2n1(n2，nn)1.數(shù)學(xué)歸納法僅適用于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明2應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，關(guān)鍵是利用歸納假設(shè)證明nk1時(shí)的命題，要證好這一步，須明確以下兩點(diǎn)：一是明確要證明的結(jié)論，二是明確nk1時(shí)命題與歸納假設(shè)的區(qū)別(即nk1時(shí)比nk時(shí)增加了哪些項(xiàng))明確了這兩點(diǎn)也就明確了這一步的證明方向三、用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題及整除性問題平面上有n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)求證：這n個(gè)圓把平面分成f(n)n2n2個(gè)部分思路分析：假設(shè)nk時(shí)，k個(gè)圓把平面分成f(k)k2k2個(gè)部分，那么當(dāng)nk1時(shí)，平面上第k1個(gè)圓與前面k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)交點(diǎn)將第k1個(gè)圓分成2k段，分別將各自所在區(qū)域一分為二，故增加了2k個(gè)部分求證：當(dāng)nn時(shí)，an1(a1)2n1能被a2a1整除用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題或整除性問題，均是實(shí)際問題的證明，這時(shí)要根據(jù)實(shí)際分析出從“nk”轉(zhuǎn)化到“nk1”時(shí)的變化規(guī)律答案：活動(dòng)與探究1：證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)等式成立，即1，那么當(dāng)nk1時(shí)，左邊1.即當(dāng)nk1時(shí)，等式成立根據(jù)(1)(2)可知，對(duì)任意的nn，等式都成立遷移與應(yīng)用：1b解析：當(dāng)n1時(shí)，左邊1aa2，即從1到a11的和2證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊12223，右邊(1)(211)3，左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)則當(dāng)nk1時(shí)，左邊12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2(2k1)(k1)4(k1)2(k1)2k14(k1)(k1)(2k3)(k1)2(k1)1右邊當(dāng)nk1時(shí)，等式成立由(1)(2)可知對(duì)任意的正整數(shù)n，等式都成立活動(dòng)與探究2：證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，不等式成立(2)假設(shè)nk(k2)時(shí)不等式成立，即.那么當(dāng)nk1時(shí)，.當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立根據(jù)(1)(2)可知，nn，n2時(shí)不等式成立遷移與應(yīng)用：證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，s2ns411，即當(dāng)n2時(shí)，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2)時(shí)，命題成立，即s2k11.當(dāng)nk1時(shí)，s2k111111.故當(dāng)nk1時(shí)，命題成立根據(jù)(1)(2)知，對(duì)nn，n2，不等式s2n1成立活動(dòng)與探究3：證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，即一個(gè)圓把平面分成2個(gè)部分，又n1時(shí)，n2n22，命題成立(2)假設(shè)nk時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成f(k)k2k2個(gè)部分，那么設(shè)第k1個(gè)圓記作o，由題意，它與k個(gè)圓中每個(gè)圓交于兩點(diǎn)，又無三圓交于同一點(diǎn)，于是它與其他k個(gè)圓相交于2k個(gè)點(diǎn)把o分成2k條弧，而每條弧把原區(qū)域分成2塊，因此這個(gè)平面的總區(qū)域增加2k塊，即f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.即nk1時(shí)命題成立由(1)(2)可知，對(duì)任何nn命題均成立遷移與應(yīng)用：證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，a11(a1)211a2a1，命題成立(2)假設(shè)nk(k1)時(shí)，ak1(a1)2k1能被a2a1整除當(dāng)nk1時(shí)，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由歸納假設(shè)，上式中的兩項(xiàng)均能被a2a1整除故當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由(1)(2)知，對(duì)nn，命題成立1用數(shù)學(xué)歸納法證明“2nn21對(duì)于nn0的自然數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的初始值n0應(yīng)取()a2 b3 c5 d62用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nn)，從“k”到“k1”左端需增乘的代數(shù)式為()a2k1 b2(2k1) c. d.3若f(n)1(nn)，則當(dāng)n1時(shí)，f(n)是()a1 b. c1 d以上都不對(duì)4用數(shù)學(xué)歸納法證明1n(nn且n1)第一步要證明的不等式是_，從nk到nk1時(shí)，左端增加了_項(xiàng)5用數(shù)學(xué)歸納法證明(nn)答案：1b解析：要逐一驗(yàn)證當(dāng)n5時(shí)，25521，n05.2b解析：當(dāng)nk時(shí)，代數(shù)式為(k1)(k2)(kk)當(dāng)nk1時(shí)，代數(shù)式為(k2)(k3)(kk1)(k1)(k2)(kk).3b解析：當(dāng)n1時(shí)，f(1)應(yīng)是從1到的和，即1.4122k解析：當(dāng)n2時(shí)，12.當(dāng)nk時(shí)到第2k1項(xiàng)，而nk1時(shí)到