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25.2 列舉法求概率惠和中學 袁寶網教學目標：知識與技能目標：學習用列表法、畫樹形圖法計算概率，并通過比較概率大小作出合理的決策。過程與方法目標：經歷實驗、列表、統(tǒng)計、運算、設計等活動，學生在具體情境中分析事件，計算其發(fā)生的概率。滲透數形結合，分類討論，由特殊到一般的思想，提高分析問題和解決問題的能力。情感與態(tài)度目標：通過豐富的數學活動，交流成功的經驗，體驗數學活動充滿著探索和創(chuàng)造，體會數學的應用價值，培養(yǎng)積極思維的學習習慣。教學重點：習運用列表法或樹形圖法計算事件的概率。教學難點：能根據不同情況選擇恰當的方法進行列舉，解決較復雜事件概率的計算問題。教學過程1.創(chuàng)設情景，發(fā)現新知 教材是通過P151P152的例5、例6來介紹列表法和樹形圖法的。例5（教材P151）：同時擲兩個質地均勻的骰子，計算下列事件的概率：(1) 兩個骰子的點數相同；(2) 兩個骰子的點數的和是9；(3) 至少有一個骰子的點數為2。這個例題難度較大，事件可能出現的結果有36種。若首先就拿這個例題給學生講解，大多數學生理解起來會比較困難。所以在這里，我將新課的引入方式改為了一個有實際背景的轉盤游戲（前一課已有例作基礎）。（1）創(chuàng)設情景引例：為活躍聯歡晚會的氣氛，組織者設計了以下轉盤游戲：A、B兩個帶指針的轉盤分別被分成三個面積相等的扇形，轉盤A上的數字分別是1，6，8，轉盤B上的數字分別是4，5，7（兩個轉盤除表面數字不同外，其他完全相同）。每次選擇2名同學分別撥動A、B兩個轉盤上的指針，使之產生旋轉，指針停止后所指數字較大的一方為獲勝者，負者則表演一個節(jié)目（若箭頭恰好停留在分界線上，則重轉一次）。作為游戲者，你會選擇哪個裝置呢？并請說明理由。168A457B圖2 聯歡晚會游戲轉盤 【設計意圖】 選用這個引例，是基于以下考慮：以貼近學生生活的聯歡晚會為背景，創(chuàng)設轉盤游戲引入，能在最短時間內激發(fā)學生的興趣，引起學生高度的注意力，進入情境。（2）學生分組討論，探索交流在這個環(huán)節(jié)里，首先要求學生分組討論，探索交流。然后引導學生將實際問題轉化為數學問題，即：“停止轉動后，哪個轉盤指針所指數字較大的可能性更大呢？”由于事件的隨機性，我們必須考慮事件發(fā)生概率的大小。此時我首先引導學生觀看轉盤動畫，同學們會發(fā)現這個游戲涉及A、B兩轉盤， 即涉及2個因素，與前一課所講授單轉盤概率問題（教材P148例2）相比，可能產生的結果數目增多了，列舉時很容易造成重復或遺漏。怎樣避免這個問題呢？實際上，可以將這個游戲分兩步進行。 于是，指導學生構造表格（3）指導學生構造表格A B457168首先考慮轉動A盤：指針可能指向1，6，8三個數字中的任意一個，可能出現的結果就會有3個。接著考慮轉動B盤：當A盤指針指向1時，B盤指針可能指向4、5、7三個數字中的任意一個，這是列舉法的簡單情況。當A盤指針指向6或8時，B盤指針同樣可能指向4、5、7三個數字中的任意一個。一共會產生9種不同的結果?！驹O計意圖】這樣既分散了難點，又激發(fā)了學生興趣，滲透了轉化的數學思想。（4）學生獨立填寫表格，通過觀察與計算，得出結論（即列表法）A B4571（1，4）（1，5）（1，7）6（6，4）（6，5）（6，7）8（8，4）（8，5）（8，7）從表中可以發(fā)現：A盤數字大于B盤數字的結果共有5種。P(A數較大)= , P(B數較大)=. P(A數較大) P(B數較大) 選擇A裝置的獲勝可能性較大。在學生填寫表格過程中，注意向學生強調數對的有序性。由于游戲是分兩步進行的，我們也可用其他的方法來列舉。即先轉動盤，可能出現1，6，8三種結果；第二步考慮轉動盤，可能出現4，5，7三種結果。168開始A裝置457457457B裝置（5）解法二： 由圖知：可能的結果為： （1，4），（1，5），（1，7），（6，4），（6，5），（6，7），（8，4），（8，5），（8，7）。共計9種。P(A數較大)= , P(B數較大)=. P(A數較大) P(B數較大) 選擇A裝置的獲勝可能性較大。然后，引導學生對所畫圖形進行觀察：若將圖形倒置，你會聯想到什么？這個圖形很像一棵樹，所以稱為樹形圖（在幻燈片上放映）。列表和樹形圖是列舉法求概率的兩種常用的方法。【設計意圖】自然地學生感染了分類計數和分步計數思想。2.自主分析，再探新知通過引例的分析，學生對列表法和樹形圖法求概率有了初步的了解，為了幫助學生熟練掌握這兩種方法，我選用了下列兩道例題（本節(jié)教材P151P152的例5和例6）。例1：同時擲兩個質地均勻的骰子，計算下列事件的概率：(1) 兩個骰子的點數相同；(2) 兩個骰子的點數的和是9；(3) 至少有一個骰子的點數為2。例1是教材上一道“擲骰子”的問題，有了引例作基礎，學生不難發(fā)現：引例涉及兩個轉盤，這里涉及兩個骰子，實質都是涉及兩個因素。于是，學生通過類比列出下列表。 第2個第1個1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）由上表可以看出，同時擲兩個骰子，可能出現的結果有36個，它們出現的可能性相等。由所列表格可以發(fā)現：（1）滿足兩個骰子的點數相同（記為事件A）的結果有6個，即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P(A)=。滿足條件的結果在表格的對角線上（2）滿足兩個骰子的點數的和是9（記為事件B）的結果有4個，即（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以P(B)=。滿足條件的結果在（3，6）和（6，3）所在的斜線上（3）至少有一個骰子的點數為2（記為事件C）的結果有11個，所以P(C)=。滿足條件的結果在數字2所在行和2所在的列上接著，引導學生進行題后小結：當一個事件要涉及兩個因素并且可能出現的結果數目較多時，通常采用列表法。運用列表法求概率的步驟如下：列表 ； 通過表格計數，確定公式P(A)=中m和n的值；利用公式P(A)=計算事件的概率。分析到這里，我會問學生：“例1題目中的“擲兩個骰子”改為“擲三個骰子”，還可以使用列表法來做嗎？”由此引出下一個例題。例2： 甲口袋中裝有2個相同的球，它們分別寫有字母A和B；乙口袋中3個相同的球，它們分別寫有字母C、D和E；丙口袋中2個相同的球，它們分別寫有字母H和I。從三個口袋中各隨機地取出1個球。（1）取出的三個球上恰好有1個、2個和3個元音字母的概率分別為多少？（2）取出的三個球上全是輔音字母的概率是多少？例2與前面兩題比較，有所不同：要從三個袋子里摸球，即涉及到3個因素。此時同學們會發(fā)現用列表法就不太方便，可以嘗試樹形圖法。本游戲可分三步進行。分步畫圖和分類排列相關的結論是解題的關鍵。ACDEHIHIHIBCDEHIHIHI甲乙丙從圖形上可以看出所有可能出現的結果共有12個，即：ACHACIADHADIAEHAEIBCHBDHBDIBEHBEIBCI（幻燈片上用顏色區(qū)分）這些結果出現的可能性相等。（1）只有一個元音字母的結果（黃色）有5個，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以；有兩個元音的結果（白色）有4個，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以；全部為元音字母的結果（綠色）只有1個，即AEI ，所以。（2）全是輔音字母的結果（紅色）共有2個，即BCH，BDH，所以。通過例2的解答，很容易得出題后小結：當一次試驗要涉及3個或更多的因素時，通常采用“畫樹形圖”。運用樹形圖法求概率的步驟如下：（幻燈片）畫樹形圖 ； 列出結果，確定公式P(A)=中m和n的值；利用公式P(A)=計算事件概率。接著我向學生提問：到現在為止，我們所學過的用列舉法求概率分為哪幾種情況？ 列表法和畫樹形圖法求概率有什么優(yōu)越性？什么時候使用“列表法”方便，什么時候使用“樹形圖法”更好呢？【設計意圖】 通過對上述問題的思考，可以加深學生對新方法的理解，更好的認識到列表法和畫樹形圖法求概率的優(yōu)越性在于能夠直觀、快捷、準確地獲取所需信息，有利于學生根據實際情況選擇正確的方法。3.應用新知，深化拓展為了檢驗學生對列表法和畫樹形圖法的掌握情況，提高應用所學知識解決問題的能力，在此我選擇了教材P154課后練習作為隨堂練習。（1）經過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)前行，也可能向左或向右，如果這三種可能性大小相同。三輛汽車經過這個十字路口，求下列事件的概率：三輛車全部繼續(xù)前行；兩輛車向右轉，一輛車向左轉；至少有兩輛車向左轉。隨堂練習（1）是一道與實際生活相關的交通問題，可用樹形圖法來解決。（2）在6張卡片上分別寫有16的整數，隨機地抽取一張后放回，再隨機地抽取一張，那么第二次取出的數字能夠整除第一次取出的數字的概率是多少？通過解答隨堂練習（2），學生會發(fā)現列出的表格和例1的表格完全一樣。不同的是：變換了實際背景，設置的問題也不一樣。這時，我提出：我們是否可以根據這個表格再編一道用列舉法求概率的題目來呢？為了進一步拓展思維，我向學生提出了這樣一個問題，供學生課后思考：在前面的引例中，轉盤的游戲規(guī)則是不公平的，你能把它改成一個公平的游戲嗎？【設計意圖】 以上問題的提出和解決有利于學生發(fā)現數學問題的本質，做到舉一反三，融會貫通。4.歸納總結，形成能力我將引導學生從知識、方法、情感三方面來談一談這節(jié)課的收獲。要求每個學生在組內交流，派小組代表發(fā)言?！驹O計意圖】 通過這個環(huán)節(jié)，可以提高學生概括能力、表達能力，有助于學生全面地了解自己的學習過程，感受自己的成長與進步，增強自信，也為教師全面了解學生的學習狀況、因材施教提供了重要依據。5.布置作業(yè)，鞏固提高考慮到學生的個體差異，為促使每一個學生得到不同的發(fā)