對稱性在積分學(xué)中的應(yīng)用.doc

畢 業(yè) 論 文（理工類）題 目： 對稱性在積分中的應(yīng)用 學(xué)生姓名： 學(xué) 號： 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級： 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院 指導(dǎo)教師： 教務(wù)處制目錄第一章 對稱性在定積分中的應(yīng)用4第一節(jié) 對稱性與定積分的相關(guān)定義、定理4 第二節(jié) 定積分的基本定理4第三節(jié) 對稱性在定積分中的應(yīng)用舉例6第二章 對稱性在重積分中的應(yīng)用8第一節(jié) 重積分的幾何意義8第二節(jié) 對稱性在重積分中的重要定理8第三節(jié) 對稱性在二重積分中的應(yīng)用舉例13第三章 三重積分的對稱性應(yīng)用14第一節(jié) 空間對稱區(qū)域14第二節(jié) 空間對稱區(qū)域上的奇偶函數(shù)15第三節(jié) 奇偶函數(shù)在空間對稱區(qū)域上的積分15第四節(jié) 三重積分的應(yīng)用舉例16第四章 利用對稱性構(gòu)造積分18 第一節(jié) 對稱性在積分應(yīng)用中的其他重要結(jié)論18第二節(jié) 利用對稱性構(gòu)造積分的應(yīng)用舉例18參考文獻(xiàn)21對稱性在積分中的應(yīng)用 摘要：本文歸納了對稱性在積分計(jì)算中的一些重要結(jié)論，利用這些結(jié)論，使較復(fù)雜的計(jì)算變得簡單，并結(jié)合實(shí)例說明這些結(jié)論的應(yīng)用. 關(guān)鍵詞：奇偶函數(shù) 積分 對稱性在積分計(jì)算中，根據(jù)題目的條件，充分利用積分區(qū)域的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性，往往可以達(dá)到事半功倍的效果.下面我將從積分相關(guān)的定理和結(jié)論，再結(jié)合相關(guān)的實(shí)例進(jìn)行具體的探討.本文結(jié)合積分域關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線、平行于坐標(biāo)面的平面、平行于坐標(biāo)軸對角線的直線的對稱性定義，來討論積分的對稱性。第一章對稱性在定積分中的應(yīng)用第一節(jié).對稱性與定積分的相關(guān)定義、定理對稱性定義1： 設(shè)平面區(qū)域?yàn)?若點(diǎn) ,則關(guān)于直線對稱，則與是關(guān)于的對稱點(diǎn).若點(diǎn) ，則關(guān)于直線對稱，稱點(diǎn)與是關(guān)于的對稱點(diǎn)（顯然當(dāng),對關(guān)于,軸對稱）對稱性定義2: 設(shè)平面區(qū)域?yàn)?若點(diǎn)，則關(guān)于對稱，稱點(diǎn)與是關(guān)于的對稱點(diǎn).定積分定理1：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則在上可積.定積分定理2:設(shè)在區(qū)間上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積.第二節(jié)： 定積分的基本定理1.1定積分的意義 （1）若，定積分表示曲線與直線軸所圍成的曲邊梯形的面積； （2）若，曲線與直線軸所圍成的曲邊梯形的面積為； （3）若符號不定，則定積分表示曲線與直線軸所圍成的曲邊梯形位于。1.2對稱性在定積分應(yīng)用中的基本定理 推理 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則有 （1） 證 令，有 （2）令，則 （3）將（3）式代入（2）式，并將積分變量統(tǒng)一成,則 特別地，令，就得公式 由函數(shù)奇偶性的定義及上式，易得定理1 設(shè)在對稱區(qū)間上可積 （i）若是偶函數(shù)，則成立 （ii）若是奇函數(shù)，則成立 證明：由 ， 對積分作變量代換，得 例1： 計(jì)算 解： 很容易知道為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以有： 而為偶函數(shù)，所以有： 即： 例2： 計(jì)算積分 解：我們計(jì)算積分，一眼就看出了它的積分域是對稱的，我們可以直接聯(lián)想到對稱性得問題 令 而有：，即是偶函數(shù) 有：即是奇函數(shù)則有： 定理2 設(shè)函數(shù)連續(xù)， 1)若的圖形關(guān)于直線對稱，即，則對一切,有2)若的圖形關(guān)于點(diǎn)對稱，即，則對一切，有證 1)由（1）式及已知條件，有2)由（1）式及已知條件，有此結(jié)論有廣泛的應(yīng)用，如能恰當(dāng)?shù)厥褂?，對簡化定積分的計(jì)算有很大幫助.第三節(jié)：對稱性在定積分中的應(yīng)用舉例例 1 求 ，解：（i）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，在對稱區(qū)間上的積分是 0即： （ii）將看成，看成，則代入分部積分有：=0例2 求 解 一看這個(gè)被積函數(shù)是非奇即偶，但是可以把它分成兩部分來看和,前一部分是奇函數(shù)，后一部分是偶函數(shù)，可用定理1的結(jié)論簡化其計(jì)算.而對于任意區(qū)間上的定積分問題，可以平移到對稱區(qū)間上求解. 就像這樣的例子很多,應(yīng)用定積分的性質(zhì)進(jìn)行拆項(xiàng)后,達(dá)到簡化計(jì)算的目的. 例3 求解 因?yàn)榧岸缄P(guān)于對稱（由圖像可知），且關(guān)于點(diǎn)中心對稱.所以關(guān)于點(diǎn)中心對稱，又區(qū)間關(guān)于對稱，故定理有于是利用函數(shù)關(guān)于直線對稱以及區(qū)間關(guān)于直線對稱,應(yīng)用定理得出積分為0，使上述復(fù)雜積分簡單化,易得出結(jié)論.例4：求橢圓所圍成的圖形的面積 解： 這橢圓關(guān)于兩坐標(biāo)軸都對稱（見圖），所以橢圓所圍成的圖形的面積為 其中為該橢圓在第一象限部分與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積， 因此 利用橢圓的參數(shù)方程 應(yīng)用定積分換元法，令，則 ， 當(dāng)由0變到時(shí)， 當(dāng)時(shí)，就得到大家所熟悉的圓面積的公式 第二章對稱性在重積分中的應(yīng)用第一節(jié)：重積分的幾何意義當(dāng)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，若，二重積分表示以區(qū)域?yàn)榈住⒁院瘮?shù)為頂?shù)那斨w的體積；若，二重積分表示以區(qū)域?yàn)榈?、以函?shù)為頂?shù)那斨w的體積的相反數(shù)，則，二重積分表示以區(qū)域?yàn)榈?、以函?shù)為頂?shù)那斨w的“有向體積”。其有向性為：若，則體積為正；若，則體積為負(fù)。二重積分為正負(fù)各部分體積的代數(shù)和。第二節(jié)： 對稱性在重積分中的重要定理定理1：設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，且有界閉區(qū)域,與關(guān)于（或）軸對稱.那么（i）若D關(guān)于x軸對稱，則其中是的上半部分：= 證明 （1）若區(qū)域?qū)ΨQ與軸（圖），對任意，其對稱點(diǎn)，令 ，則變換為坐標(biāo)面上的，且雅可比行列式 故： =于是，代入（1）式得： 例1 計(jì)算，其中區(qū)域 解： 是關(guān)于的奇函數(shù)且關(guān)于軸對稱，所以 = 0 例2 計(jì)算，其中區(qū)域 解： 是關(guān)于的偶函數(shù)，且關(guān)于軸對稱， 所以： =2 =2=（ii）若積分域關(guān)于軸對稱，為的奇偶函數(shù)，則二重積分其中是的右半部分： 證明：若區(qū)域?qū)ΨQ于軸（圖2）對任意，對稱點(diǎn)類似于（i）的證明可得 例3： 計(jì)算，其中： 解： ， 且區(qū)域關(guān)于軸對稱，所以 例4： 計(jì)算 ，其中區(qū)域： 解：是關(guān)于的偶函數(shù)，且區(qū)域關(guān)于軸對稱， 所以 定理2：設(shè)有界閉區(qū)域D關(guān)于x軸和y軸均對稱，函數(shù)在D上連續(xù)且 關(guān)和均為偶函數(shù)，則其中是的第一象限的部分：= 例5：計(jì)算二重積分，其中區(qū)域： 解：由于積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸均對稱，原點(diǎn)也全對稱，且函數(shù)在上連續(xù)且也關(guān)于均為偶函數(shù)， 所以由上述定理可知： =定理3設(shè)有界閉區(qū)域D關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)在上連續(xù)，則其中= 例6：計(jì)算 其中是由區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 解：有圖，但被積函數(shù)不滿足 ，也不滿足，故我們不能直接用定理來計(jì)算，但若記 ， 然后對分別用定理3，則： ， 故 定理4：設(shè)有界閉區(qū)域D關(guān)于對稱, 函數(shù)在上連續(xù)，則例7：設(shè)為恒正的連續(xù)函數(shù)，計(jì)算積分 解：由于積分區(qū)域，所以由定理4，可得： ， 于是 故： 當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于對稱時(shí)，被積分函數(shù)的兩個(gè)變量可以互換位置的特殊性質(zhì)可以使二重積分計(jì)算化簡。 類似的，若積分區(qū)域關(guān)于直線對稱且滿足，則 ，或滿足，則有 （其中的一半）第三節(jié)： 對稱性在二重積分中的應(yīng)用舉例例1.計(jì)算二重積分，其中是由，所圍成的區(qū)域. 解 積分區(qū)域關(guān)于軸對稱（見圖1），且為關(guān)于軸的奇函數(shù)，故例2：計(jì)算，其中D由下列雙紐線圍成：(1)(2) 解：（1）由于圍成的區(qū)域關(guān)于x軸y軸均對稱，而被積函數(shù)關(guān)于（或軸）為奇函數(shù)則有 （2）由圍成的區(qū)域?qū)ΨQ于原點(diǎn)，而被積函數(shù)是關(guān)于,的偶函數(shù)則有=由極坐標(biāo)知，代入得且由，知?jiǎng)t于是例3：設(shè)函數(shù)在上的正值連續(xù)函數(shù)證明：，其中為常數(shù)，證明：積分區(qū)域D關(guān)于對稱設(shè)，由定理得：，以上兩式相加,得，從而 第三章三重積分的對稱性應(yīng)用第一節(jié)： 空間對稱區(qū)域 （1）若對，則稱空間區(qū)域關(guān)于面對稱；運(yùn)用同樣的方法，可以定義關(guān)于另外兩個(gè)坐標(biāo)面的對稱性。 （2）若對，則稱空間區(qū)域關(guān)于軸對稱；運(yùn)用同樣的方法，可以定義關(guān)于另外兩個(gè)坐標(biāo)軸的對稱性。 （3）若對，則稱空間區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱。第二節(jié)： 空間對稱區(qū)域上的奇偶函數(shù) 設(shè)施定義在空間區(qū)域上的三元函數(shù) （1）若滿足關(guān)系式，則稱是關(guān)于的奇函數(shù)；滿足關(guān)系式，則稱是關(guān)于的偶函數(shù)。利用相同的方法，可以定義關(guān)于的奇偶函數(shù)的定義。 （2）若滿足關(guān)系式，則稱是關(guān)于的奇函數(shù)；若滿足關(guān)系式，則稱是關(guān)于的偶函數(shù)。利用相同的方法，可以定義關(guān)于的奇偶函數(shù)定義。 （3）若滿足關(guān)系式，則稱是關(guān)于的奇函數(shù)；若滿足關(guān)系式，則稱是關(guān)于的偶函數(shù)。第三節(jié)： 奇偶函數(shù)在空間對稱區(qū)域上的積分 （1）若空間區(qū)域關(guān)于面對稱，則當(dāng)在上是的奇函數(shù)時(shí)， ；則當(dāng)在上是的偶函數(shù)時(shí)， ，其中是在面上側(cè)的部分。 （2）若空間區(qū)域關(guān)于軸對稱，則當(dāng)在上是的奇函數(shù)時(shí)， ； 當(dāng)在上是的偶函數(shù)時(shí)， ，其中是位于過軸的平面一側(cè)的部分。 （3）若空間區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則當(dāng)在上是的奇函數(shù)時(shí)， 當(dāng)在上是的偶函數(shù)時(shí)， ，其中是位于過原點(diǎn)的平面一側(cè)的部分。 第四節(jié) 三重積分的應(yīng)用舉例例1：計(jì)算三重積分，其中是由平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體。 解： 積分區(qū)域關(guān)于面對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù)，所以 例2：計(jì)算，其中為 解：， 因：關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，分別為的奇函數(shù)，所以： 例3：計(jì)算，其中為 解：因?yàn)榧瓣P(guān)于變量均具有輪換對稱性，所以 而，（的奇函數(shù)，關(guān)于面對稱） 所以 第四章利用對稱性構(gòu)造積分第一節(jié) 對稱性在積分應(yīng)用中的其他重要結(jié)論 定理1 設(shè)在區(qū)間上可積，則有將上述定理進(jìn)一步推廣可得：定理2 若存在，則有第二節(jié) 利用對稱性構(gòu)造積分的應(yīng)用舉例例1 計(jì)算. 解 由于是以為對稱軸的奇對稱函數(shù)且點(diǎn)-5，-1關(guān)于點(diǎn)-3的對稱，作變換，把積分變成對稱區(qū)間上的奇、偶函數(shù)的積分.即作變換把對稱平移到點(diǎn)，故令，則 .例2 計(jì)算. 解 令有 即 所以 .由此可見，上述關(guān)于積分(定積分、重積分)對稱性的定理對于在特殊情況下簡化積分的計(jì)算是非常有效的，它可以避免很多的干擾，所以在解題中注意積分區(qū)域是否具有某種對稱性是簡化題目的關(guān)鍵.如果對稱性不明顯的，有時(shí)也可以通過一定的方法，根據(jù)問題的特點(diǎn)構(gòu)造對稱性，則可減少一些繁瑣的計(jì)算，提高解題效率，往往能收到事半功倍的效果.總之，應(yīng)用對稱性計(jì)算積分時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 必須兼顧被積函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面，只有當(dāng)兩個(gè)方面都具有某種對稱性時(shí)才能利用。如果只有積分區(qū)域具有某種對稱性，這時(shí)根據(jù)具體情況，我們可以把被積函數(shù)經(jīng)過恒等變形使之具有某種對稱性，再考慮利用上述結(jié)論。 對第二類曲線積分和第二類曲面積分，在利用對稱性時(shí)，尚需考慮積分路線的方向和曲面的側(cè)，確定投影元素的符號，需慎重。 有些問題利用輪換對稱性可得到簡便的解答。參考文獻(xiàn)：1 華東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,2001.2 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)M.北京: 高等教育出版社,2002.3 裴禮文.數(shù)學(xué)分析