高等數(shù)學(xué)電子教案12.doc

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除第十二章 無窮級數(shù)教學(xué)目的： 1、理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念。2、了解無窮級數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。3、掌握幾何級數(shù)和p-級數(shù)的收斂性。4、掌握正項級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法。5、掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨定理，會估計交錯級數(shù)的截斷誤差。6、了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。 7、理解函數(shù)項級數(shù)的收斂性、收斂域及和函數(shù)的概念，了解函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性概念，了解函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)。8、掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法，了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。 9、會利用冪級數(shù)的性質(zhì)求和 10、了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。11、會利用基本初等函數(shù)的麥克勞林展開式將一些簡單的函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。12、理解函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷條件。13、掌握將定義在區(qū)間(，)上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的方法。14、會將定義在區(qū)間0，上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。15、會將定義在區(qū)間(l，l)上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)。教學(xué)重點 ： 1、級數(shù)收斂的定義及條件 2、判定正項級數(shù)的收斂與發(fā)散 3、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法； 4、泰勒級數(shù) 5、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)。教學(xué)難點：1、級數(shù)收斂的定義及條件2、判定正項級數(shù)的收斂與發(fā)散 3、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；4、泰勒級數(shù)；5、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)12. 1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項級數(shù)的概念 常數(shù)項無窮級數(shù): 一般地，給定一個數(shù)列 u1, u2, u3, , un, , 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1 + u2 + u3 + + un + 叫做（常數(shù)項)無窮級數(shù), 簡稱（常數(shù)項)級數(shù), 記為, 即 , 其中第n項u n 叫做級數(shù)的一般項. 級數(shù)的部分和: 作級數(shù)的前n項和 稱為級數(shù)的部分和. 級數(shù)斂散性定義: 如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限s, 即 , 則稱無窮級數(shù)收斂, 這時極限s叫做這級數(shù)的和, 并寫成 ; 如果沒有極限, 則稱無窮級數(shù)發(fā)散. 余項: 當(dāng)級數(shù)收斂時, 其部分和s n是級數(shù)的和s的近似值, 它們之間的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ 叫做級數(shù)的余項. 例1 討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)) 的斂散性, 其中a0, q叫做級數(shù)的公比. 解： 如果q1, 則部分和 . 當(dāng)|q|1時, 因為, 所以此時級數(shù)發(fā)散. 如果|q|=1, 則當(dāng)q=1時, sn =na, 因此級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)q=-1時, 級數(shù)成為 a-a+a-a+ , 時|q|=1時, 因為sn 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零, 所以sn的極限不存在, 從而這時級數(shù)也發(fā)散. 綜上所述, 如果|q|1, 則級數(shù)收斂, 其和為; 如果|q|1, 則級數(shù)發(fā)散. 僅當(dāng)|q|0)成立, 則級數(shù)收斂; 如果級數(shù)發(fā)散, 且當(dāng)nN時有unkvn(k0)成立, 則級數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級數(shù) 的收斂性, 其中常數(shù)p0. 解 設(shè)p1. 這時, 而調(diào)和級數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當(dāng)p1時級數(shù)發(fā)散. 設(shè)p1. 此時有 (n=2, 3, ). 對于級數(shù), 其部分和 . 因為. 所以級數(shù)收斂. 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知, 級數(shù)當(dāng)p1時收斂. 綜上所述, p-級數(shù)當(dāng)p1時收斂, 當(dāng)p1時發(fā)散. 提示: 級數(shù)的部分和為 . 因為, 所以級數(shù)收斂. p-級數(shù)的收斂性: p-級數(shù)當(dāng)p1時收斂, 當(dāng)p1時發(fā)散. 例2 證明級數(shù)是發(fā)散的. 證 因為, 而級數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的. 定理3 (比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項級數(shù), (1)如果(0lN時, 有不等式 , 即, 再根據(jù)比較審斂法的推論1, 即得所要證的結(jié)論. 例3 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 而級數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)發(fā)散. 例4 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 而級數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)收斂. 定理4 (比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項級數(shù)的后項與前項之比值的極限等于r: , 則 當(dāng)r1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r =1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例5 證明級數(shù)是收斂的. 解 因為, 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂. 例6 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散. 例7 判別級數(shù)的收斂性. 解 . 這時r=1, 比值審斂法失效, 必須用其它方法來判別級數(shù)的收斂性. 因為, 而級數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 定理5 (根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)是正項級數(shù), 如果它的一般項un的n次根的極限等于r: , 則當(dāng)r1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8 證明級數(shù)是收斂的. 并估計以級數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差. 解 因為, 所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂. 以這級數(shù)的部分和sn 近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為 + . 例9 判定級數(shù)的收斂性. 解 因為 , 所以, 根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂. 定理6 (極限審斂法) 設(shè)為正項級數(shù), (1)如果, 則級數(shù)發(fā)散; (2)如果p1, 而, 則級數(shù)收斂. 例7 判定級數(shù)的收斂性. 解 因為, 故 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 例8 判定級數(shù)的收斂性. 解 因為 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 二、交錯級數(shù)及其審斂法 交錯級數(shù): 交錯級數(shù)是這樣的級數(shù), 它的各項是正負(fù)交錯的. 交錯級數(shù)的一般形式為 , 或 其中. 例如, 是交錯級數(shù), 但不是交錯級數(shù). 定理7（萊布尼茨定理） 如果交錯級數(shù)滿足條件: (1)unun+1 (n=1, 2, 3, ); (2), 則級數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項rn的絕對值|rn|un+1. 證明: 設(shè)前2n項部分和為s2n. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ +(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出數(shù)列s2n單調(diào)增加且有界(s2nu1), 所以收斂. 設(shè)s2ns(n), 則也有s2n+1=s2n+u2n+1s(n), 所以sns(n). 從而級數(shù)是收斂的, 且snu1. 因為 |rn|=un+1-un+2+ 也是收斂的交錯級數(shù), 所以|rn|un+1. 例9 證明級數(shù)收斂, 并估計和及余項. 證 這是一個交錯級數(shù). 因為此級數(shù)滿足 (1)(n=1, 2, ), (2), 由萊布尼茨定理, 級數(shù)是收斂的, 且其和su1=1, 余項. 三、絕對收斂與條件收斂: 絕對收斂與條件收斂: 若級數(shù)收斂, 則稱級數(shù)絕對收斂; 若級數(shù)收斂, 而級數(shù)發(fā)散, 則稱級條件收斂. 例如 級數(shù)是絕對收斂的, 而級數(shù)是條件收斂的. 定理8 如果級數(shù)絕對收斂, 則級數(shù)必定收斂. 證明略 注意: 如果級數(shù)發(fā)散, 我們不能斷定級數(shù)也發(fā)散. 但是, 如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)發(fā)散, 則我們可以斷定級數(shù)必定發(fā)散. 這是因為, 此時|un|不趨向于零, 從而un也不趨向于零, 因此級數(shù)也是發(fā)散的. 例11 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為|, 而級數(shù)是收斂的, 所以級數(shù)也收斂, 從而級數(shù)絕對收斂. 例12 判別級數(shù)的收斂性. 解: 由, 有, 可知, 因此級數(shù)發(fā)散. 12. 3 冪級數(shù) 一、函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù): 給定一個定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列： u1(x) ， u2(x) ，u3(x)， un(x) 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x)+ 稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項)級數(shù), 記為. 對于區(qū)間I內(nèi)的一定點x0, 若常數(shù)項級數(shù)收斂, 則稱點x0是級數(shù)的收斂點. 若常數(shù)項級數(shù)發(fā)散, 則稱點x0是級數(shù)的發(fā)散點.。函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點的全體稱為它的收斂域, 所有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域. 在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù), 并寫成. un(x)是的簡便記法, 以下不再重述. 在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)un(x)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)un(x)的和函數(shù), 并寫成s(x)=un(x). 這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域。 函數(shù)項級數(shù)un(x)的前n項的部分和記作sn(x), 即 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x). 在收斂域上有或sn(x)s(x)(n) . 函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函數(shù)項級數(shù)的余項. 函數(shù)項級數(shù)un(x)的余項記為rn (x), 它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x). 在收斂域上有. 二、冪級數(shù)及其收斂性 冪級數(shù): 函數(shù)項級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項都冪函數(shù)的函數(shù)項級數(shù), 這種形式的級數(shù)稱為冪級數(shù), 它的形式是 a0+a1x+a2x2+ +anxn+ , 其中常數(shù)a0, a1, a2, , an , 叫做冪級數(shù)的系數(shù). 例如一下級數(shù): 1+x+x2+x3+ +xn + , . 注: 冪級數(shù)的一般形式是 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ +an(x-x0)n+ , 經(jīng)變換t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ +antn+ . 冪級數(shù) 1+x+x2+x3+ +xn + 可以看成是公比為x的幾何級數(shù). 當(dāng)|x|1時它是收斂的; 當(dāng)|x|1時, 它是發(fā)散的. 因此它的收斂域為(-1, 1), 在收斂域內(nèi)有. 由此例可得： 定理1 (阿貝爾定理) 如果級數(shù)當(dāng)x=x0 (x00)時收斂, 則適合不等式|x|x0|的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散. 證 先設(shè)x0是冪級數(shù)的收斂點, 即級數(shù)收斂. 根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件, 有, 于是存在一個常數(shù)M, 使| anx0n |M(n=0, 1, 2, ). 這樣級數(shù)的的一般項的絕對值. 因為當(dāng)|x|x0|使級數(shù)收斂, 則根據(jù)本定理的第一部分, 級數(shù)當(dāng)x=x0時應(yīng)收斂, 這與所設(shè)矛盾. 定理得證. 推論 如果級數(shù)不是僅在點x=0一點收斂, 也不是在整個數(shù)軸上都收斂, 則必有一個完全確定的正數(shù)R存在, 使得 當(dāng)|x|R時, 冪級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)x=R與x=-R時, 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 收斂半徑與收斂區(qū)間: 正數(shù)通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑. 開區(qū)間(-R, R)叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級數(shù)在x=R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級數(shù)的收斂域是(-R, R)(或-R, R)、(-R, R、-R, R之一. 規(guī)定: 若冪級數(shù)只在x=0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=0 , 若冪級數(shù)對一切x都收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=+, 這時收斂域為(-, +). 關(guān)于冪級數(shù)的收斂半徑求法，有下列定理：定理2 如果, 其中an、an+1是冪級數(shù)的相鄰兩項的系數(shù), 則這冪級數(shù)的收斂半徑 . 簡要證明: . (1)如果0r+, 則只當(dāng)r|x|1時冪級數(shù)收斂, 故. (2)如果r=0, 則冪級數(shù)總是收斂的, 故R=+. (3)如果r=+, 則只當(dāng)x=0時冪級數(shù)收斂, 故R=0. 例1 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域. 解 因為, 所以收斂半徑為. 當(dāng)x=1時, 冪級數(shù)成為, 是收斂的; 當(dāng)x=-1時, 冪級數(shù)成為, 是發(fā)散的. 因此, 收斂域為(-1, 1. 例2 求冪級數(shù) 的收斂域. 解 因為, 所以收斂半徑為R=+, 從而收斂域為(-, +). 例3 求冪級數(shù)的收斂半徑. 解 因為 , 所以收斂半徑為R=0, 即級數(shù)僅在x=0處收斂. 例4 求冪級數(shù)的收斂半徑. 解 級數(shù)缺少奇次冪的項, 定理2不能應(yīng)用. 可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑: 冪級數(shù)的一般項記為. 因為 , 當(dāng)4|x|21即時級數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為.提示: . 例5 求冪級數(shù)的收斂域. 解 令t=x-1, 上述級數(shù)變?yōu)? 因為 , 所以收斂半徑R=2. 當(dāng)t=2時, 級數(shù)成為, 此級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)t=-2時, 級數(shù)成為, 此級數(shù)收斂. 因此級數(shù)的收斂域為-2t2. 因為-2x-12, 即-1x3, 所以原級數(shù)的收斂域為-1, 3). 三、冪級數(shù)的運算 設(shè)冪級數(shù)anxn及bnxn分別在區(qū)間(-R, R)及(-R, R)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R, R)中較小的區(qū)間內(nèi)有加法: anxn+bnxn =(an+bn)xn , 減法: anxn-bnxn =(an-bn)xn . 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ +(a0bn+a1bn-1+ +anb0)xn+ 除法： 這里假定。為了決定系數(shù)，可以將 與相乘，然后比較與的同次冪項系數(shù)得出。關(guān)于冪級數(shù)，有以下的重要性質(zhì)性質(zhì)1 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù). 如果冪級數(shù)在x=R (或x=-R)也收斂, 則和函數(shù)s(x)在(-R, R(或-R, R)連續(xù). 性質(zhì)2 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項積分公式 (xI ), 逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑. 性質(zhì)3 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R, R)內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項求導(dǎo)公式 (|x|R), 逐項求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑. 例6 求冪級數(shù)的和函數(shù). 解 求得冪級數(shù)的收斂域為-1, 1). 設(shè)和函數(shù)為s(x), 即, x-1, 1). 顯然s(0)=1. 在的兩邊求導(dǎo)得 . 對上式從0到x積分, 得 . 于是, 當(dāng)x 0時, 有. 從而. 因為 , 所以, 當(dāng)x0時, 有, 從而 . 提示: 應(yīng)用公式, 即. . 例7 求級數(shù)的和. 解 考慮冪級數(shù), 此級數(shù)在-1, 1)上收斂, 設(shè)其和函數(shù)為s(x), 則. 在例6中已得到xs(x)=ln(1-x), 于是-s(-1)=ln2, , 即. 12. 4 函數(shù)展開成冪級數(shù) 一、泰勒級數(shù) 問題: 給定函數(shù)f(x), 要考慮它是否能在某個區(qū)間內(nèi)“展開成冪級數(shù)”, 就是說, 是否能找到這樣一個冪級數(shù), 它在某區(qū)間內(nèi)收斂, 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x). 如果能找到這樣的冪級數(shù), 我們就說, 函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù), 或簡單地說函數(shù)f(x)能展開成冪級數(shù), 而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x). 以前學(xué)過泰勒多項式: 如果f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于 , 其中(x介于x與x0之間). 泰勒級數(shù): 如果f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f(x), f(x), , f (n)(x), , 則當(dāng)n時, f(x)在點x0的泰勒多項式 成為冪級數(shù) 這一冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù). 顯然, 當(dāng)x=x0時, f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(x0). 但是 除了x=x0外, f(x)的泰勒級數(shù)是否收斂? 如果收斂, 它是否一定收斂于f(x)? 對此，有以下定理： 定理 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項Rn(x)當(dāng)n0時的極限為零, 即 . 證明 先證必要性. 設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù), 即 , 又設(shè)sn+1(x)是f(x)的泰勒級數(shù)的前n+1項的和, 則在U(x0)內(nèi)sn+1(x) f(x)(n). 而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+Rn(x), 于是R n(x)=f(x)-sn+1(x)0(n). 再證充分性. 設(shè)Rn(x)0(n)對一切xU(x0)成立. 因為f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+R n(x), 于是sn+1(x)=f(x)-R n(x)f(x), 即f(x)的泰勒級數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂, 并且收斂于f(x). 在泰勒級數(shù)中取x0=0, 得 , 此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù). 展開式的唯一性: 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù), 那么這種展式是唯一的, 它一定與f(x)的麥克勞林級數(shù)一致. 這是因為, 如果f(x)在點x0=0的某鄰域(-R, R)內(nèi)能展開成x的冪級數(shù), 即 f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn + , 那么根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo), 有f (x)=a1+2a2x+3a3x2+ +nanxn-1+ , f (x)=2!a2+32a3x+ + n(n-1)anxn-2 + , f (x)=3!a3+ +n(n-1)(n-2)anxn-3 + , f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) 2an+1x + , 于是得 a0=f(0), a1=f (0), , , , . 注意: 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù), 那么這個冪級數(shù)就是f(x)的麥克勞林級數(shù). 但是, 反過來如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點x0=0的某鄰域內(nèi)收斂, 它卻不一定收斂于f(x). 因此, 如果f(x)在點x0=0處具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)的麥克勞林級數(shù)雖然能作出來, 但這個級數(shù)是否在某個區(qū)間內(nèi)收斂, 以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察. 二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 展開步驟: 第一步 求出f (x)的各階導(dǎo)數(shù): f (x), f (x), , f (n)(x), . 第二步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0 處的值: f(0), f (0), f (0), , f (n)( 0), . 第三步 寫出冪級數(shù) , 并求出收斂半徑R. 第四步 考察在區(qū)間(-R, R)內(nèi)時是否Rn(x)0(n). 是否為零. 如果Rn(x)0(n), 則f(x)在(-R, R)內(nèi)有展開式 (-RxR). 例1 將函數(shù)f(x)=ex展開成x的冪級數(shù). 解 所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f (n)(x)=ex(n=1, 2, ), 因此f (n)(0)=1(n=1, 2, ). 于是得級數(shù) , 它的收斂半徑R=+. 對于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間), 有 , 而, 所以, 從而有展開式 . 例2 將函數(shù)f(x)=sin x 展開成x的冪級數(shù). 解 因為(n=1, 2, ), 所以f (n)(0)順序循環(huán)地取0, 1, 0, -1, (n=0, 1, 2, 3, ), 于是得級數(shù) , 它的收斂半徑為R=+. 對于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間), 有 0 (n ). 因此得展開式 . . 例3 將函數(shù)f(x)=(1+ x)m展開成x的冪級數(shù), 其中m為任意常數(shù). 解: f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為 f (x)=m(1+x)m-1, f (x)=m(m-1)(1+x)m-2, , f (n)(x)=m(m-1)(m-2) (m-n+1)(1+x)m-n, , 所以 f(0)=1, f (0)=m, f (0)=m(m-1), , f (n)(0)=m(m-1)(m-2) (m-n+1), 于是得冪級數(shù) . 可以證明 . 間接展開法: 例4 將函數(shù)f(x)=cos x展開成x的冪級數(shù). 解 已知 (-x+). 對上式兩邊求導(dǎo)得 . 例5 將函數(shù)展開成x的冪級數(shù). 解 因為, 把x換成-x2, 得 (-1x1).注: 收斂半徑的確定: 由-1-x21得-1x1. 例6 將函數(shù)f(x)=ln(1+x) 展開成x的冪級數(shù). 分析 因為, 而是收斂的等比級數(shù)(-1x1)的和函數(shù): . 所以將上式從0到x逐項積分, 得 . 解: f(x)=ln(1+x) (-1x1). 上述展開式對x=1也成立, 這是因為上式右端的冪級數(shù)當(dāng)x=1時收斂, 而ln(1+x)在x=1處有定義且連續(xù). 例7 將函數(shù)f(x)=sin x展開成的冪級數(shù). 解 因為 , 并且有 , , 所以 . 例8 將函數(shù)展開成(x-1)的冪級數(shù). 解 因為 . 提示: ,. , , 收斂域: 由和得. 小結(jié)：常用的展開式 , , , , .12. 5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用 一、近似計算 例1 計算的近似值, 要求誤差不超過0.0001. 解 因為, 所以在二項展開式中取, , 即得 . 這個級數(shù)收斂很快. 取前兩項的和作為的近似值, 其誤差(也叫做截斷誤差)為 . 于是取近似式為, 為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與截斷誤差之和不超過10-4, 計算時應(yīng)取五位小數(shù), 然后四舍五入. 因此最后得： . 例2 計算ln 2的近似值, 要求誤差不超過0.0001. 解 在上節(jié)例5中, 令 x=1可得 . 如果取這級數(shù)前n項和作為ln2的近似值, 其誤差為 .為了保證誤差不超過, 就需要取級數(shù)的前10000項進(jìn)行計算. 這樣做計算量太大了, 我們必需用收斂較快的級數(shù)來代替它.把展開式 中的x換成-x , 得 ,兩式相減, 得到不含有偶次冪的展開式: .令, 解出. 以代入最后一個展開式, 得 .如果取前四項作為ln2的近似值, 則誤差為 .于是取 .同樣地, 考慮到舍入誤差, 計算時應(yīng)取五位小數(shù): , , , .因此得 ln 20.6931. 例3 利用 求sin9的近似值, 并估計誤差. 解 首先把角度化成弧度, (弧度)(弧度),從而 .其次, 估計這個近似值的精確度. 在sin x 的冪級數(shù)展開式中令, 得 .等式右端是一個收斂的交錯級數(shù), 且各項的絕對值單調(diào)減少. 取它的前兩項之和作為的近似值, 起誤差為 .因此取 , 于是得 sin90.15643.這時誤差不超過10-5.例4 計算定積分 的近似值, 要求誤差不超過0.0001（?。? 解： 將ex的冪級數(shù)展開式中的x換成-x2, 得到被積函數(shù)的冪級數(shù)展開式 .于是, 根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項可積, 得 .前四項的和作為近似值, 其誤差為 ,所以 . 例5 計算積分 的近似值, 要求誤差不超過0.0001. 解 由于, 因此所給積分不是反常積分. 如果定義被積函數(shù)在x=0處的值為1, 則它在積分區(qū)間0, 1上連續(xù)，展開被積函數(shù), 有 . 在區(qū)間0, 1上逐項積分, 得 . 因為第四項 , 所以取前三項的和作為積分的近似值: . 二、歐拉公式 復(fù)數(shù)項級數(shù): 設(shè)有復(fù)數(shù)項級數(shù) (u1+iv1)+(u2+iv2)+ +(un+ivn)+ 其中un , vn (n=1, 2, 3, )為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù). 如果實部所成的級數(shù) u1+u2 + +un+ 收斂于和u, 并且虛部所成的級數(shù). v1+v2+ +vn+ 收斂于和v, 就說復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂且和為u+iv. 絕對收斂: 如果級的各項的模所構(gòu)成的級數(shù)收斂, 則稱級數(shù)絕對收斂. 復(fù)變量指數(shù)函數(shù): 考察復(fù)數(shù)項級數(shù) . 可以證明此級數(shù)在復(fù)平面上是絕對收斂的, 在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)ex , 在復(fù)平面上我們用它來定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù), 記為ez . 即 . 歐拉公式: 當(dāng)x=0時, z=iy , 于是 =cos y+isin y. 把y定成x得 eix=cos x+i sin x, 這就是歐拉公式. 復(fù)數(shù)的指數(shù)形式: 復(fù)數(shù)z可以表示為 z=r(cosq +isinq)=reiq , 其中r=|z|是z的模, q =arg z是z的輻角. 三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系: 因為eix=cos x+i sin x, e-ix=cos x-i sin x, 所以 eix+e-ix=2cos x, ex-e-ix=2isin x. , . 這兩個式子也叫做歐拉公式. 復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì): .特殊地, 有ex+iy =ex ei y =ex (cos y+ isin y). 也就是說，復(fù)變量指數(shù)函數(shù)在處的值的模為，輻角為的復(fù)數(shù)。12.7 傅里葉級數(shù) 一、三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性 三角級數(shù): 級數(shù) 稱為三角級數(shù), 其中a0, an, bn (n = 1, 2, )都是常數(shù). 三角函數(shù)系: 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, , cos nx, sin nx, 三角函數(shù)系的正交性: 三角函數(shù)系中任何兩個不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間-p, p上的積分等于零, 即 (n=1, 2, ), (n=1, 2, ), (k, n=1, 2, ), (k, n=1, 2, , kn), (k, n=1, 2, , kn). 三角函數(shù)系中任何兩個相同的函數(shù)的乘積在區(qū)間-p,p上的積分不等于零, 即 , (n =1, 2, ), (n =1, 2, ). 二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 問題: 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 且能展開成三角級數(shù): . 那么系數(shù)a0, a1, b1, 與函數(shù)f(x)之間存在著怎樣的關(guān)系? 假定三角級數(shù)可逐項積分, 則 . 類似地. 傅里葉系數(shù): , , (n =1, 2, ), , (n =1, 2, ). 系數(shù)a0, a1, b1, 叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù). 傅里葉級數(shù): 三角級數(shù) 稱為傅里葉級數(shù), 其中a0, a1, b1, 是傅里葉系數(shù). 問題: 一個定義在(-, +)上周期為2p的函數(shù)f(x), 如果它在一個周期上可積, 則一定可以作出f(x)的傅里葉級數(shù). 然而, 函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)是否一定收斂? 如果它收斂, 它是否一定收斂于函數(shù)f(x)? 一般來說, 這兩個問題的答案都不是肯定的. 定理(收斂定理, 狄利克雷充分條件) 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 如果它滿足: 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點, 在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點, 則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂, 并且 當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點時, 級數(shù)收斂于f(x); 當(dāng)x是f(x)的間斷點時, 級數(shù)收斂于. 例1 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 它在-p, p)上的表達(dá)式為 將f(x)展開成傅里葉級數(shù). 解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件, 它在點x=kp (k=0, 1, 2, )處不連續(xù), 在其它點處連續(xù), 從而由收斂定理知道f(x)的傅里葉級數(shù)收斂, 并且當(dāng)x=kp時收斂于 , 當(dāng)xkp時級數(shù)收斂于f(x). 傅里葉系數(shù)計算如下: (n =0, 1, 2, ); 1-(-1)n 于是f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為 (-x+; x 0, p, 2p, ). 例2 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 它在-p,p)上的表達(dá)式為 將f(x)展開成傅里葉級數(shù). 解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件, 它在點x=(2k+1)p (k=0, 1, 2, )處不連續(xù), 因此, f(x)的傅里葉級數(shù)在x=(2k+1) p處收斂于 . 在連續(xù)點x (x(2k+1)p)處級數(shù)收斂于f(x). 傅里葉系數(shù)計算如下: ; (n =1, 2, ). f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為 (-x+ ; x p, 3p, ). 周期延拓: 設(shè)f(x)只在-p,p上有定義, 我們可以在-p, p)或(-p, p外補充函數(shù)f(x)的定義, 使它拓廣成周期為2p的周期函數(shù)F(x), 在(-p, p)內(nèi), F(x)=f(x). 例3 將函數(shù) 展開成傅里葉級數(shù). 解 所給函數(shù)在區(qū)間-p, p上滿足收斂定理的條件, 并且拓廣為周期函數(shù)時, 它在每一點x處都連續(xù), 因此拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)在-p, p上收斂于f(x). 傅里葉系數(shù)為: ; (n =1, 2, ). 于是f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為 (-pxp). 三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時, f(x)cos nx是奇函數(shù), f(x)sin nx是偶函數(shù), 故傅里葉系數(shù)為 an=0 (n=0, 1, 2, ), (n=1, 2, 3, ). 因此奇數(shù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)是只含有正弦項的正弦級數(shù) . 當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時, f(x)cos nx是偶函數(shù), f(x)sin nx是奇函數(shù), 故傅里葉系數(shù)為 (n=0, 1, 2, 3, ), bn=0 (n=1, 2, ). 因此偶數(shù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)是只含有余弦項的余弦級數(shù) . 例4 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 它在-p, p)上的表達(dá)式為f(x)=x. 將f(x)展開成傅里葉級數(shù). 解 首先, 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件,