多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用歸納總結(jié).docVIP

第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、多元函數(shù)的基本概念1、平面點(diǎn)集，平面點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、聚點(diǎn)，多元函數(shù)的定義等概念2、多元函數(shù)的極限 （或）的定義 掌握判定多元函數(shù)極限不存在的方法：（1）令沿趨向，若極限值與k有關(guān)，則可斷言函數(shù)極限不存在；（2）找兩種不同趨近方式，若存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言極限不存在。 多元函數(shù)的極限的運(yùn)算法則（包括和差積商，連續(xù)函數(shù)的和差積商，等價(jià)無(wú)窮小替換，夾逼法則等）與一元類似：例1用定義證明例2（03年期末考試 三、1，5分）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限是否存在？證明你的結(jié)論。例3 設(shè)，討論是否存在？例4（07年期末考試 一、2，3分）設(shè)，討論是否存在？例5求3、多元函數(shù)的連續(xù)性 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的，定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域。 在定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)求極限可用“代入法”例1 討論函數(shù)在（0，0）處的連續(xù)性。例2 （06年期末考試 十一，4分）試證在點(diǎn)(0,0)不連續(xù)，但存在一階偏導(dǎo)數(shù)。例3求 例44、了解閉區(qū)域上商連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性，最值定理，介值定理二、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1、 二元函數(shù)關(guān)于的一階偏導(dǎo)數(shù)的定義（二元以上類似定義）如果極限存在，則有（相當(dāng)于把y看成常數(shù)！所以求偏導(dǎo)數(shù)本質(zhì)是求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。）如果極限存在，則有對(duì)于分段函數(shù)，在分界點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求。例1（08年期末考試 一、3，4分）已知，則 例2 （06年期末考試 十一，4分）試證在點(diǎn)(0,0)不連續(xù)，但存在一階偏導(dǎo)數(shù)。例3 設(shè)，求。例4 設(shè)，求。 例5（03年期末考試，一、2，3分） 設(shè)，則在(1,2)的值為（ ）。2、 二元函數(shù)關(guān)于的高階偏導(dǎo)數(shù)（二元以上類似定義）, 定理：若兩個(gè)混合二階偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則有。例1設(shè)，其中為常數(shù)，求：。例2設(shè)，求。3、在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在在點(diǎn)連續(xù)（07年，04年，02年等）4、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：表示曲線在點(diǎn)處的切線與x軸正向的夾角。三、全微分1、在點(diǎn)可微分的判定方法若，則可判定在點(diǎn)可微分。其中例1（08年期末考試 十二、6分）證明函數(shù)在（0，0）處可微，但偏導(dǎo)數(shù)在（0，0）處不連續(xù)。例2 （07年期末考試 七、6分），證明：（1）函數(shù)在（0，0）處偏導(dǎo)數(shù)存在；（2）函數(shù)在（0，0）處不可微。2、全微分的計(jì)算方法若在可微，則有其中的求法可以結(jié)合復(fù)合函數(shù)或者隱函數(shù)求導(dǎo)。例1（08年期末考試，一，1，4分） 設(shè)，則 例2（07，04年期末考試，二，1，3分）設(shè)求。例3 （06年期末考試，二、2，3分）設(shè)，則 例4 （03年期末考試，二、2，3分）函數(shù)在點(diǎn)(1,0,1)處的全微分為 例5設(shè)，求函數(shù)：對(duì)變量的全微分。3、多元函數(shù)的全微分與連續(xù)，可偏導(dǎo)之間的關(guān)系（07年，04年，02年等） 一階偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)在可微 在連續(xù)在有極限 在可微在的一階偏導(dǎo)數(shù)存在 在可微在的方向?qū)?shù)存在四、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則1、鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則：變量樹(shù)狀圖 法則(1) (2) zuxyxy(3) 例1 （08年期末考試，七，7分）設(shè)，具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求。例2 （08年期末考試，十一，6分）設(shè)是由方程所確定的函數(shù)，其中可導(dǎo)，求。例3 （07年期末考試，八，7分）設(shè)，具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求。例4 （06年期末考試，一、1，3分）設(shè)，可導(dǎo)，則（ ）。例5 （04年期末考試，三、1，8分）設(shè)可微，方程，其中確定了是的二元可微隱函數(shù)，試證明。例6 （03年期末考試，三、2，5分）設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明方程所確定的函數(shù)滿足。例7 記，具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求，。例8 設(shè)，而，求和。例9 設(shè)，而，則。例10 設(shè)，又具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求。2一階全微分形式不變性：設(shè)，則不管是自變量還是中間變量，都有 通過(guò)全微分求所有的一階偏導(dǎo)數(shù)，有時(shí)比鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則顯得靈活。 當(dāng)復(fù)合函數(shù)中復(fù)合的層次較多，結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜時(shí)，用一階全微分形式不變性求出一階偏導(dǎo)數(shù)或者全導(dǎo)數(shù)比較方便。例1設(shè)其中都可微，求。五、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則1、，求 方法1（直接代公式）：，其中：，相當(dāng)于把F看成自變量x，y的函數(shù)而對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)。 方法2：直接對(duì)方程兩邊同時(shí)關(guān)于x求偏導(dǎo)（記?。?，求方法1（直接代公式）：方法2：直接對(duì)方程兩邊同時(shí)關(guān)于x（y）求偏導(dǎo)（記?。?，3建議采用直接推導(dǎo)法：即方程兩邊同時(shí)關(guān)于x求偏導(dǎo)，通過(guò)解關(guān)于未知數(shù)的二元方程組，得到。同理可求得。例1設(shè)，其中是由確定的隱函數(shù)，求。例2設(shè)有隱函數(shù)，其中F的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求。例3（04年期末考試，三、1，8分）設(shè)可微，方程，其中確定了是的二元可微隱函數(shù)，試證明六、多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用1、空間曲線的切線與法平面方程（三種形式）參數(shù)形式，兩柱面交線，兩曲面交線切線向量切線向量 切線向量3、 曲面的切平面與法線方程（兩種形式）隱函數(shù)，顯示函數(shù)法線向量法線向量，規(guī)定法向量的方向是向上的，即使得它與z軸的正向所成的角是銳角，在法向量的方向余弦為：例1（08年期末考試，一、2，4分）曲線在點(diǎn)(a,0,0)的切線方程 例2（08年期末考試，十、7分）在曲面上求出切平面，使得切平面與平面平行。例3（07年期末考試，二、5，3分）曲面在點(diǎn)(1,2,0)處的法線方程。例4（07年期末考試，十、8分）在第一卦限內(nèi)作橢圓的切平面，使該切平面與三個(gè)坐標(biāo)平面圍成的四面體的體積最小，求切點(diǎn)的坐標(biāo)。例5（06年期末考試，二、3，3分）曲面在點(diǎn)(0,a,-a)處的切平面方程。例6（04年期末考試，三、3，7分）在球面上求一點(diǎn)，使得過(guò)該點(diǎn)的切平面與已知平面平行。例7. 在曲線，上求點(diǎn)，使該點(diǎn)處曲線的切線平行平面。例8設(shè)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，對(duì)任意實(shí)數(shù)有，試證明曲面上任意一點(diǎn)處的法線與直線相垂直。例9 由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)（0，）處指向外側(cè)的單位法向量，七、方向?qū)?shù)與梯度1、方向?qū)?shù)的概念和計(jì)算公式在沿方向的方向?qū)?shù)為： 設(shè)為上一點(diǎn)，則 設(shè)的方向余弦為：，則可微方向?qū)?shù)存在，但方向?qū)?shù)存在與偏導(dǎo)數(shù)存在之間沒(méi)有確定的關(guān)系2、梯度的概念和計(jì)算公式 在沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，最大值為梯度的模例1求函數(shù)在點(diǎn)沿曲線在點(diǎn) 處的切線方向的方向?qū)?shù)。例2求函數(shù)在點(diǎn)（2，1）沿方向的方向?qū)?shù)例3設(shè)函數(shù)，（1）求出f在點(diǎn)P（2，0）處沿P到Q（1/2，2）方向的變化率；（2）f在P（2，0）沿什么方向具有最大的增長(zhǎng)率，最大增長(zhǎng)率為多少？ 例4 （08年期末考試，一、4，4分）函數(shù)在點(diǎn)處沿從到點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)。例5（07年期末考試，二、4，3分）函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)。例6（06年期末考試，四、7分）函數(shù)在點(diǎn)處的梯度及沿梯度方向的方向?qū)?shù)。八、多元函數(shù)的極值及其求法1、掌握極值的必要條件、充分條件2、掌握求極值的一般步驟3、掌握求條件極值的一般方法拉格朗日乘數(shù)法例1求函數(shù)的極值。例2（04年期末考試，三、3，6分）設(shè)長(zhǎng)方體過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)之和為3a，問(wèn)這三條棱長(zhǎng)各取什么值時(shí)，長(zhǎng)方體的表面積最大？例3 求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短距離。例4 （08年期末考試，六、7分）求在約束