可靠性工程之可修復系統(tǒng)的可靠性.ppt

回顧復習 維修度M 對可修產(chǎn)品在發(fā)生故障或失效后 在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時間 0 內(nèi)完成修復的概率 修復率 修理時間已達到某個時刻但尚未修復的產(chǎn)品 在該時刻后的單位時間內(nèi)完成修復的概率 有效度A t 可維修產(chǎn)品在某時刻t具有或維持其功能的概率 第三章可修復系統(tǒng)的可靠性 3 1馬爾可夫過程3 2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率3 4單部件可修系統(tǒng)3 5串聯(lián)可修系統(tǒng)3 6并聯(lián)可修系統(tǒng) 引言 可修復系統(tǒng)的組成單元發(fā)生故障后 經(jīng)過修理可以使系統(tǒng)恢復至正常工作狀態(tài) 如下圖所示 如果工作時間和修復時間都服從指數(shù)分布 就可以借助馬爾可夫過程來描述 3 1馬爾可夫過程 馬爾可夫過程定義馬爾可夫過程是一類 后效性 的隨機過程 簡單地說 在這種過程中系統(tǒng)將來的狀態(tài)只與現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān) 而與過去的狀態(tài)無關(guān) 或者說 若已知系統(tǒng)在t0時刻所處的狀態(tài) 那么t t0時的狀態(tài)僅與時刻t0的狀態(tài)有關(guān) 3 1馬爾可夫過程 馬爾可夫過程的數(shù)學描述設(shè) x t t 0 是取值在E 0 1 2 或E 0 1 2 N 上的一個隨機過程 若對任意n個時刻點0 t1 t2 tn均有 P x tn in x t1 i1 x t2 i2 x tn 1 in 1 P x tn in x tn 1 in 1 i1 i2 in E則稱 x t t 0 為離散狀態(tài)空間E上連續(xù)時間馬爾可夫過程 3 1馬爾可夫過程 齊次馬爾可夫過程如果對任意t u 0 均有P x t u j x u i Pij t i j E與始點u無關(guān) 則稱該馬爾可夫過程是齊次的 或者 齊次馬爾可夫過程如果馬爾可夫過程的轉(zhuǎn)移概率函數(shù)或轉(zhuǎn)移概率密度 只與轉(zhuǎn)移前后的狀態(tài)及相應(yīng)的二個時刻的時間差有關(guān) 而與二個時刻無關(guān) 即F x2 t2 x1 t1 F x2 x1 t2 t1 f x2 t2 x1 t1 f x2 x1 t2 t1 稱具有這種特性的馬爾可夫過程為齊次馬爾可夫過程 3 1馬爾可夫過程 齊次馬氏過程的性質(zhì)可以證明 對系統(tǒng)壽命以及故障后的修復時間均服從指數(shù)分布時 則系統(tǒng)狀態(tài)變化的隨機過程 x t t 0 是一個齊次馬爾可夫過程 2 式中對j求和 是對狀態(tài)空間I的所有可能狀態(tài)進行的 3 1馬爾可夫過程 3 1馬爾可夫過程 3 1馬爾可夫過程 轉(zhuǎn)移矩陣Pij t 稱為從狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移函數(shù) 由轉(zhuǎn)移函數(shù)的全體組成的矩陣稱為轉(zhuǎn)移矩陣 如對n個狀態(tài)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣為n n階方陣 可寫為 性質(zhì) 2 說明一步轉(zhuǎn)移概率矩陣中任一行元素之和為1 通常稱滿足 1 2 性質(zhì)的矩陣為隨機矩陣 3 1馬爾可夫過程 三條假設(shè) 為常數(shù) 即壽命和維修時間服從指數(shù)分布 部件和系統(tǒng)取正常和故障兩種狀態(tài) 在相當小的 t內(nèi) 發(fā)生兩個或兩個以上部件同時進行狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率是 t的高階無窮小 此概率可以忽略不計 3 1馬爾可夫過程 3 2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 例1如一臺機器 運行到某一時刻t時 可能的狀態(tài)為 e1 正常 e2 故障 如機器處于e1狀態(tài)的概率P11 4 5 則e1向e2轉(zhuǎn)移的概率P12 1 P11 1 5 反過程 如機器處于e2狀態(tài) 經(jīng)過一定時間的修復返回e1狀態(tài)的概率是3 5 P21 3 5 維修度M 則修不好仍處于e2狀態(tài)的概率是P22 1 P21 2 5 3 2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 由此可寫出系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣為 轉(zhuǎn)移矩陣Pij也表示事件ei發(fā)生的條件下 事件ej發(fā)生的條件概率 Pij P ej ei 矩陣P 行是起始狀態(tài) 由小到大 列是到達狀態(tài) 由小到大排列 建立P時應(yīng)與轉(zhuǎn)移圖聯(lián)系起來 3 2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 例2對于一可修系統(tǒng) 失效率和修復率 為常數(shù) 試畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 e1 正常 e2 故障 3 2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 由此可寫出 通常令 t 1 則有由此可知 狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖是求解 寫出 轉(zhuǎn)移矩陣的基礎(chǔ) 此時轉(zhuǎn)移矩陣P也稱為微系數(shù)矩陣 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 例排隊模型設(shè)服務(wù)系統(tǒng) 由一個服務(wù)員和只可能容納兩個人的等候室組成 服務(wù)規(guī)則 先到先服務(wù) 后來者需在等候室依次排隊 假定需要服務(wù)的顧客到達系統(tǒng) 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)已有3個顧客 1個在接受服務(wù) 2個在等候室排隊 則該顧客即離去 設(shè)時間間隔 t內(nèi)有一個顧客進入系統(tǒng)的概率為q 有一原來被服務(wù)的顧客離開系統(tǒng) 即服務(wù)完畢 的概率為p 又設(shè)當 t充分小 在時間間隔內(nèi)多于一個顧客進入或離開系統(tǒng)實際上是不可能的 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 再設(shè)有無顧客來到與服務(wù)是否完畢是相互獨立的 如何用馬氏鏈描述這一服務(wù)系統(tǒng) 設(shè)Xn X n t 表示時間n t時系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù) 則 Xn n 0 1 2 是隨機過程 狀態(tài)空間I 0 1 2 3 由于當Xn i i I已知時 Xn 1所處的狀態(tài)概率分布只與Xn i有關(guān) 而與時間n t以前所處的狀態(tài)無關(guān) 所以該隨機過程是一個齊次馬氏鏈 怎樣計算此馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率 記p00 在系統(tǒng)內(nèi)沒有顧客的條件下 經(jīng) t后仍無顧客的概率 p00 1 q 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 p01 在系統(tǒng)內(nèi)沒有顧客的條件下 經(jīng) t后有一顧客進入系統(tǒng)的概率 p01 q p10 系統(tǒng)內(nèi)恰有一顧客正在接受服務(wù)的條件下 經(jīng) t后系統(tǒng)內(nèi)無人進入的概率 等于在 t間隔內(nèi)顧客因服務(wù)完畢而離去 且無人進入系統(tǒng)的概率 p10 p 1 q p11 系統(tǒng)內(nèi)恰有一顧客的條件下 在 t間隔內(nèi) 因服務(wù)完畢而離去 而另一顧客進入系統(tǒng) 或者正在接受服務(wù)的顧客將繼續(xù)要求服務(wù) 且無人進入系統(tǒng)的概率 p11 pq 1 p 1 q 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 p12 正在接受服務(wù)的顧客將繼續(xù)要求服務(wù) 且另一顧客進入系統(tǒng)的概率 p12 q 1 p p13 正在接受服務(wù)的顧客繼續(xù)要求服務(wù) 且在 t間隔內(nèi)有兩個顧客進入系統(tǒng)的概率 由假設(shè)這種情況是不可能發(fā)生的 p13 0 系統(tǒng)內(nèi)有一顧客正在接受服務(wù) 有一顧客在排隊 在 t間隔內(nèi)顧客因服務(wù)完畢離去 無顧客進入 以及系統(tǒng)內(nèi)有一顧客正在接受服務(wù) 有兩顧客正在排隊 在 t間隔內(nèi)顧客因服務(wù)完畢離去 再無顧客進入的概率相等 故有p21 p32 p 1 q 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 系統(tǒng)內(nèi)有2顧客 其中一人接受服務(wù) 在 t間隔內(nèi) 因服務(wù)完畢而離去 而另一顧客進入系統(tǒng) 或者正在接受服務(wù)的顧客將繼續(xù)要求服務(wù) 且無人進入系統(tǒng)的概率為 p22 pq 1 p 1 q 系統(tǒng)內(nèi)有2顧客 正在接受服務(wù)的顧客繼續(xù)要求服務(wù) 且另一顧客進入系統(tǒng)的概率為 p23 q 1 p 且當 i j 2時 pij 0 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 p33 系統(tǒng)內(nèi)有三位顧客 或者一人將離去另一人將進入系統(tǒng) 或者無人離開的概率 p33 pq 1 p 于是得該馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 P 0123 1 q q00p 1 q pq 1 p 1 q q 1 p 00p 1 q pq 1 p 1 q q 1 p 00p 1 q pq 1 p 0123 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 p11p12 p1n p21p22 p2n pn1pn2 pnn P Markov過程 C K方程 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)是的概率 由切普曼 柯爾莫哥洛夫方程 可表示為 式中n k l v E 狀態(tài)空間 此式為由狀態(tài)i經(jīng)n步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率 等于由狀態(tài)i先經(jīng)k步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)v 然后由狀態(tài)v經(jīng)l步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率 此處v也可理解為從i到j(luò)的通道 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 上式中 若令k 1 l 1 由可決定 即由全部一步轉(zhuǎn)移概率可確定全部兩步轉(zhuǎn)移概率 若重復上述方法 就可由全部一步轉(zhuǎn)移概率決定所有的轉(zhuǎn)移概率 若用矩陣表示n步轉(zhuǎn)移概率 即 則有 轉(zhuǎn)移矩陣 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 一般地 可利用轉(zhuǎn)移概率和系統(tǒng)的初始狀態(tài) 求出任意轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)的概率 公式如下 式中P 1步轉(zhuǎn)移概率 n步轉(zhuǎn)移概率 n 轉(zhuǎn)移步數(shù) 次數(shù) P 0 系統(tǒng)初始狀態(tài)向量 P 0 P1 0 P2 0 Pi 0 初始t 0時刻系統(tǒng)處于i狀態(tài)的概率P n n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)所處狀態(tài)向量 P n P1 n P2 n Pi n n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)處于i狀態(tài)的概率 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 例 如下圖 已知P 0 P1 0 P2 0 1 0 求n 1 2 等各步 次 轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)的概率 圖中e1 正常 e2 故障 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 解 依次求得n 1 n 2 n 3 n 5時的狀態(tài)矩陣由此可知 隨著n的遞增 P1 n P2 n 逐漸趨于穩(wěn)定 穩(wěn)定狀態(tài)概率稱為極限概率 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 本例n 時的極限概率為P1 4 9 P2 5 9 即n 時 將收斂于一個定概率矩陣 即 本例為 在實踐中常會遇到這樣的情況 不管系統(tǒng)的初始狀態(tài)如何 在經(jīng)歷了一段工作時間后 便會處于相對穩(wěn)定狀態(tài) 在數(shù)學上稱之為各態(tài)歷經(jīng)或遍歷性 所謂遍歷過程就是系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)的概率與初始狀態(tài)無關(guān)的隨機過程 具有這種性質(zhì)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣稱為遍歷矩陣 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 如果轉(zhuǎn)移矩陣P經(jīng)過n次相乘后 所得矩陣的全部元素都大于0 即 i j E 注 常以此為判斷馬爾可夫鏈是否為各態(tài)歷經(jīng)的或是否存在極限概率 則這樣的轉(zhuǎn)移矩陣都是遍歷矩陣 遍歷矩陣一定存在極限概率 或穩(wěn)定狀態(tài) 經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移后的極限狀態(tài) 就是過程的平穩(wěn)狀態(tài) 即使再多轉(zhuǎn)移一步 狀態(tài)概率也不會有變化 可以求出平穩(wěn)狀態(tài) 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 設(shè)平穩(wěn)狀態(tài)概率為P n P1 P2 Pn P為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 則求平穩(wěn)狀態(tài)概率 只需求解以下方程 或?qū)懗?3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 展開后得 j 1 2 n n個方程只有n 1個是獨立的 因此必須再加另一個獨立方程 由此即可求出n個平穩(wěn)狀態(tài)概率 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 例 求如圖所示系統(tǒng)的平穩(wěn)狀態(tài)概率 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 解 一步轉(zhuǎn)移矩陣為 設(shè)P n P0P1 則 3 4單部件可修系統(tǒng) 單部件系統(tǒng)是指一個單元組成的系統(tǒng) 或把整個系統(tǒng)當作一個單元來研究 部件故障 則系統(tǒng)故障 部件正常 則系統(tǒng)正常 3 4單部件可修系統(tǒng) 部件的失效率 修復率分別是常數(shù) 則 t時刻系統(tǒng)處于工作 正常工作 狀態(tài) 在t t t之間內(nèi)發(fā)生故障的條件概率為 t 即為 t時刻系統(tǒng)處于故障狀態(tài) 在t t t之間即 t時間內(nèi)修復好的條件概率為 t 即為 3 4單部件可修系統(tǒng) 單部件可修系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 3 4單部件可修系統(tǒng) 上圖中 同理 條件概率 3 4單部件可修系統(tǒng) 上圖的轉(zhuǎn)移概率矩陣為 3 4單部件可修系統(tǒng) 令下面研究如何求解和首先 利用全概率公式可求出和的表達式 3 4單部件可修系統(tǒng) 此即為的計算公式 3 4單部件可修系統(tǒng) 由上式展開 移項 兩邊除以若令取極限有 1 3 4單部件可修系統(tǒng) 同理可得 2 1 2 聯(lián)立即可求出和 1 2 的聯(lián)立方程稱為狀態(tài)方程 3 4單部件可修系統(tǒng) 下邊求解狀態(tài)方程對上述 1 2 兩邊取拉氏變換 3 4單部件可修系統(tǒng) 假設(shè)t 0時系統(tǒng)為正常狀態(tài) 即 代入上式 3 4單部件可修系統(tǒng) 拉氏反變換 3 4單部件可修系統(tǒng) 由此瞬態(tài)有效度 可用度 穩(wěn)態(tài)有效度 平均有效度 0 t 3 4單部件可修系統(tǒng) 由上述可歸納出解可修系統(tǒng)有效度的方法步驟如下 1 畫出系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 2 寫出轉(zhuǎn)移矩陣 3 令 求出P 也稱為轉(zhuǎn)移矩陣 4 求狀態(tài)方程系數(shù)矩陣AA P I I為與P同階的單位矩陣 A又稱為轉(zhuǎn)移率矩陣 3 4單部件可修系統(tǒng) 5 寫出狀態(tài)方程式式中為各狀態(tài)概率向量為各狀態(tài)概率導數(shù)向量 6 求解狀態(tài)方程通常要給定初始狀態(tài) 且常用拉氏變換及反變換求解法 3 4單部件可修系統(tǒng) 如上例 3 4單部件可修系統(tǒng) 得狀態(tài)方程與前述一致以下即可用拉氏變換法等求解方程 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) n個相同單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)每個單元 為常數(shù)兩種狀態(tài) 狀態(tài)0 n個單元全正常 系統(tǒng)正常狀態(tài)狀態(tài)1 任一單元故障 系統(tǒng)故障狀態(tài)因為任一單元故障 系統(tǒng)即停止工作 不會出現(xiàn)兩個及以上單元同時故障的情況 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) n個相同單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) 用前述方法 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) 狀態(tài)方程 初始條件 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) 用拉氏變換與反變換可解出 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) n個不同單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)系統(tǒng)有n 1個狀態(tài) 狀態(tài)0 n個單元均正常 系統(tǒng)正常狀態(tài)狀態(tài)1 單元1故障 其余正常 系統(tǒng)故障狀態(tài)2 單元2故障 其余正常 系統(tǒng)故障 狀態(tài)n 單元n故障 其余正常 系統(tǒng)故障 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) A P I 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) 給定初始條件 用拉氏正 反變換 解此方程組即可求得 瞬態(tài) 有效度 穩(wěn)態(tài)有效度 3 6并聯(lián)可修系統(tǒng) 兩個相同單元的并聯(lián)系統(tǒng) 一組維修人員 系統(tǒng)有3種狀態(tài) 0狀態(tài) 兩個單元都正常 系統(tǒng)正常1狀態(tài) 任意一個單元故障 系統(tǒng)正常2狀態(tài) 兩個單元都故障 系統(tǒng)故障 3 6并聯(lián)可修系統(tǒng) 1 3 6并聯(lián)可修系統(tǒng) 3 6并聯(lián)可修系統(tǒng) 狀態(tài)方程為 假定t 0時系統(tǒng)為0態(tài) 則有初始條件P0 0 1 P1 0 0 P2 0 0 用拉普拉斯變換得方程