可靠性工程之可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性.ppt

回顧復(fù)習(xí) 維修度M 對(duì)可修產(chǎn)品在發(fā)生故障或失效后 在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時(shí)間 0 內(nèi)完成修復(fù)的概率 修復(fù)率 修理時(shí)間已達(dá)到某個(gè)時(shí)刻但尚未修復(fù)的產(chǎn)品 在該時(shí)刻后的單位時(shí)間內(nèi)完成修復(fù)的概率 有效度A t 可維修產(chǎn)品在某時(shí)刻t具有或維持其功能的概率 第三章可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性 3 1馬爾可夫過(guò)程3 2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率3 4單部件可修系統(tǒng)3 5串聯(lián)可修系統(tǒng)3 6并聯(lián)可修系統(tǒng) 引言 可修復(fù)系統(tǒng)的組成單元發(fā)生故障后 經(jīng)過(guò)修理可以使系統(tǒng)恢復(fù)至正常工作狀態(tài) 如下圖所示 如果工作時(shí)間和修復(fù)時(shí)間都服從指數(shù)分布 就可以借助馬爾可夫過(guò)程來(lái)描述 3 1馬爾可夫過(guò)程 馬爾可夫過(guò)程定義馬爾可夫過(guò)程是一類 后效性 的隨機(jī)過(guò)程 簡(jiǎn)單地說(shuō) 在這種過(guò)程中系統(tǒng)將來(lái)的狀態(tài)只與現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān) 而與過(guò)去的狀態(tài)無(wú)關(guān) 或者說(shuō) 若已知系統(tǒng)在t0時(shí)刻所處的狀態(tài) 那么t t0時(shí)的狀態(tài)僅與時(shí)刻t0的狀態(tài)有關(guān) 3 1馬爾可夫過(guò)程 馬爾可夫過(guò)程的數(shù)學(xué)描述設(shè) x t t 0 是取值在E 0 1 2 或E 0 1 2 N 上的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 若對(duì)任意n個(gè)時(shí)刻點(diǎn)0 t1 t2 tn均有 P x tn in x t1 i1 x t2 i2 x tn 1 in 1 P x tn in x tn 1 in 1 i1 i2 in E則稱 x t t 0 為離散狀態(tài)空間E上連續(xù)時(shí)間馬爾可夫過(guò)程 3 1馬爾可夫過(guò)程 齊次馬爾可夫過(guò)程如果對(duì)任意t u 0 均有P x t u j x u i Pij t i j E與始點(diǎn)u無(wú)關(guān) 則稱該馬爾可夫過(guò)程是齊次的 或者 齊次馬爾可夫過(guò)程如果馬爾可夫過(guò)程的轉(zhuǎn)移概率函數(shù)或轉(zhuǎn)移概率密度 只與轉(zhuǎn)移前后的狀態(tài)及相應(yīng)的二個(gè)時(shí)刻的時(shí)間差有關(guān) 而與二個(gè)時(shí)刻無(wú)關(guān) 即F x2 t2 x1 t1 F x2 x1 t2 t1 f x2 t2 x1 t1 f x2 x1 t2 t1 稱具有這種特性的馬爾可夫過(guò)程為齊次馬爾可夫過(guò)程 3 1馬爾可夫過(guò)程 齊次馬氏過(guò)程的性質(zhì)可以證明 對(duì)系統(tǒng)壽命以及故障后的修復(fù)時(shí)間均服從指數(shù)分布時(shí) 則系統(tǒng)狀態(tài)變化的隨機(jī)過(guò)程 x t t 0 是一個(gè)齊次馬爾可夫過(guò)程 2 式中對(duì)j求和 是對(duì)狀態(tài)空間I的所有可能狀態(tài)進(jìn)行的 3 1馬爾可夫過(guò)程 3 1馬爾可夫過(guò)程 3 1馬爾可夫過(guò)程 轉(zhuǎn)移矩陣Pij t 稱為從狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移函數(shù) 由轉(zhuǎn)移函數(shù)的全體組成的矩陣稱為轉(zhuǎn)移矩陣 如對(duì)n個(gè)狀態(tài)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣為n n階方陣 可寫(xiě)為 性質(zhì) 2 說(shuō)明一步轉(zhuǎn)移概率矩陣中任一行元素之和為1 通常稱滿足 1 2 性質(zhì)的矩陣為隨機(jī)矩陣 3 1馬爾可夫過(guò)程 三條假設(shè) 為常數(shù) 即壽命和維修時(shí)間服從指數(shù)分布 部件和系統(tǒng)取正常和故障兩種狀態(tài) 在相當(dāng)小的 t內(nèi) 發(fā)生兩個(gè)或兩個(gè)以上部件同時(shí)進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率是 t的高階無(wú)窮小 此概率可以忽略不計(jì) 3 1馬爾可夫過(guò)程 3 2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 例1如一臺(tái)機(jī)器 運(yùn)行到某一時(shí)刻t時(shí) 可能的狀態(tài)為 e1 正常 e2 故障 如機(jī)器處于e1狀態(tài)的概率P11 4 5 則e1向e2轉(zhuǎn)移的概率P12 1 P11 1 5 反過(guò)程 如機(jī)器處于e2狀態(tài) 經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的修復(fù)返回e1狀態(tài)的概率是3 5 P21 3 5 維修度M 則修不好仍處于e2狀態(tài)的概率是P22 1 P21 2 5 3 2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 由此可寫(xiě)出系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣為 轉(zhuǎn)移矩陣Pij也表示事件ei發(fā)生的條件下 事件ej發(fā)生的條件概率 Pij P ej ei 矩陣P 行是起始狀態(tài) 由小到大 列是到達(dá)狀態(tài) 由小到大排列 建立P時(shí)應(yīng)與轉(zhuǎn)移圖聯(lián)系起來(lái) 3 2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 例2對(duì)于一可修系統(tǒng) 失效率和修復(fù)率 為常數(shù) 試畫(huà)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 e1 正常 e2 故障 3 2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 由此可寫(xiě)出 通常令 t 1 則有由此可知 狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖是求解 寫(xiě)出 轉(zhuǎn)移矩陣的基礎(chǔ) 此時(shí)轉(zhuǎn)移矩陣P也稱為微系數(shù)矩陣 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 例排隊(duì)模型設(shè)服務(wù)系統(tǒng) 由一個(gè)服務(wù)員和只可能容納兩個(gè)人的等候室組成 服務(wù)規(guī)則 先到先服務(wù) 后來(lái)者需在等候室依次排隊(duì) 假定需要服務(wù)的顧客到達(dá)系統(tǒng) 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)已有3個(gè)顧客 1個(gè)在接受服務(wù) 2個(gè)在等候室排隊(duì) 則該顧客即離去 設(shè)時(shí)間間隔 t內(nèi)有一個(gè)顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率為q 有一原來(lái)被服務(wù)的顧客離開(kāi)系統(tǒng) 即服務(wù)完畢 的概率為p 又設(shè)當(dāng) t充分小 在時(shí)間間隔內(nèi)多于一個(gè)顧客進(jìn)入或離開(kāi)系統(tǒng)實(shí)際上是不可能的 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 再設(shè)有無(wú)顧客來(lái)到與服務(wù)是否完畢是相互獨(dú)立的 如何用馬氏鏈描述這一服務(wù)系統(tǒng) 設(shè)Xn X n t 表示時(shí)間n t時(shí)系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù) 則 Xn n 0 1 2 是隨機(jī)過(guò)程 狀態(tài)空間I 0 1 2 3 由于當(dāng)Xn i i I已知時(shí) Xn 1所處的狀態(tài)概率分布只與Xn i有關(guān) 而與時(shí)間n t以前所處的狀態(tài)無(wú)關(guān) 所以該隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)齊次馬氏鏈 怎樣計(jì)算此馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率 記p00 在系統(tǒng)內(nèi)沒(méi)有顧客的條件下 經(jīng) t后仍無(wú)顧客的概率 p00 1 q 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 p01 在系統(tǒng)內(nèi)沒(méi)有顧客的條件下 經(jīng) t后有一顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率 p01 q p10 系統(tǒng)內(nèi)恰有一顧客正在接受服務(wù)的條件下 經(jīng) t后系統(tǒng)內(nèi)無(wú)人進(jìn)入的概率 等于在 t間隔內(nèi)顧客因服務(wù)完畢而離去 且無(wú)人進(jìn)入系統(tǒng)的概率 p10 p 1 q p11 系統(tǒng)內(nèi)恰有一顧客的條件下 在 t間隔內(nèi) 因服務(wù)完畢而離去 而另一顧客進(jìn)入系統(tǒng) 或者正在接受服務(wù)的顧客將繼續(xù)要求服務(wù) 且無(wú)人進(jìn)入系統(tǒng)的概率 p11 pq 1 p 1 q 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 p12 正在接受服務(wù)的顧客將繼續(xù)要求服務(wù) 且另一顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率 p12 q 1 p p13 正在接受服務(wù)的顧客繼續(xù)要求服務(wù) 且在 t間隔內(nèi)有兩個(gè)顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率 由假設(shè)這種情況是不可能發(fā)生的 p13 0 系統(tǒng)內(nèi)有一顧客正在接受服務(wù) 有一顧客在排隊(duì) 在 t間隔內(nèi)顧客因服務(wù)完畢離去 無(wú)顧客進(jìn)入 以及系統(tǒng)內(nèi)有一顧客正在接受服務(wù) 有兩顧客正在排隊(duì) 在 t間隔內(nèi)顧客因服務(wù)完畢離去 再無(wú)顧客進(jìn)入的概率相等 故有p21 p32 p 1 q 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 系統(tǒng)內(nèi)有2顧客 其中一人接受服務(wù) 在 t間隔內(nèi) 因服務(wù)完畢而離去 而另一顧客進(jìn)入系統(tǒng) 或者正在接受服務(wù)的顧客將繼續(xù)要求服務(wù) 且無(wú)人進(jìn)入系統(tǒng)的概率為 p22 pq 1 p 1 q 系統(tǒng)內(nèi)有2顧客 正在接受服務(wù)的顧客繼續(xù)要求服務(wù) 且另一顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率為 p23 q 1 p 且當(dāng) i j 2時(shí) pij 0 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 p33 系統(tǒng)內(nèi)有三位顧客 或者一人將離去另一人將進(jìn)入系統(tǒng) 或者無(wú)人離開(kāi)的概率 p33 pq 1 p 于是得該馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 P 0123 1 q q00p 1 q pq 1 p 1 q q 1 p 00p 1 q pq 1 p 1 q q 1 p 00p 1 q pq 1 p 0123 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 p11p12 p1n p21p22 p2n pn1pn2 pnn P Markov過(guò)程 C K方程 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)是的概率 由切普曼 柯?tīng)柲缏宸蚍匠?可表示為 式中n k l v E 狀態(tài)空間 此式為由狀態(tài)i經(jīng)n步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率 等于由狀態(tài)i先經(jīng)k步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)v 然后由狀態(tài)v經(jīng)l步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率 此處v也可理解為從i到j(luò)的通道 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 上式中 若令k 1 l 1 由可決定 即由全部一步轉(zhuǎn)移概率可確定全部?jī)刹睫D(zhuǎn)移概率 若重復(fù)上述方法 就可由全部一步轉(zhuǎn)移概率決定所有的轉(zhuǎn)移概率 若用矩陣表示n步轉(zhuǎn)移概率 即 則有 轉(zhuǎn)移矩陣 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 一般地 可利用轉(zhuǎn)移概率和系統(tǒng)的初始狀態(tài) 求出任意轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)的概率 公式如下 式中P 1步轉(zhuǎn)移概率 n步轉(zhuǎn)移概率 n 轉(zhuǎn)移步數(shù) 次數(shù) P 0 系統(tǒng)初始狀態(tài)向量 P 0 P1 0 P2 0 Pi 0 初始t 0時(shí)刻系統(tǒng)處于i狀態(tài)的概率P n n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)所處狀態(tài)向量 P n P1 n P2 n Pi n n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)處于i狀態(tài)的概率 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 例 如下圖 已知P 0 P1 0 P2 0 1 0 求n 1 2 等各步 次 轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)的概率 圖中e1 正常 e2 故障 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 解 依次求得n 1 n 2 n 3 n 5時(shí)的狀態(tài)矩陣由此可知 隨著n的遞增 P1 n P2 n 逐漸趨于穩(wěn)定 穩(wěn)定狀態(tài)概率稱為極限概率 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 本例n 時(shí)的極限概率為P1 4 9 P2 5 9 即n 時(shí) 將收斂于一個(gè)定概率矩陣 即 本例為 在實(shí)踐中常會(huì)遇到這樣的情況 不管系統(tǒng)的初始狀態(tài)如何 在經(jīng)歷了一段工作時(shí)間后 便會(huì)處于相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài) 在數(shù)學(xué)上稱之為各態(tài)歷經(jīng)或遍歷性 所謂遍歷過(guò)程就是系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)的概率與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)的隨機(jī)過(guò)程 具有這種性質(zhì)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣稱為遍歷矩陣 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 如果轉(zhuǎn)移矩陣P經(jīng)過(guò)n次相乘后 所得矩陣的全部元素都大于0 即 i j E 注 常以此為判斷馬爾可夫鏈?zhǔn)欠駷楦鲬B(tài)歷經(jīng)的或是否存在極限概率 則這樣的轉(zhuǎn)移矩陣都是遍歷矩陣 遍歷矩陣一定存在極限概率 或穩(wěn)定狀態(tài) 經(jīng)過(guò)n步轉(zhuǎn)移后的極限狀態(tài) 就是過(guò)程的平穩(wěn)狀態(tài) 即使再多轉(zhuǎn)移一步 狀態(tài)概率也不會(huì)有變化 可以求出平穩(wěn)狀態(tài) 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 設(shè)平穩(wěn)狀態(tài)概率為P n P1 P2 Pn P為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 則求平穩(wěn)狀態(tài)概率 只需求解以下方程 或?qū)懗?3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 展開(kāi)后得 j 1 2 n n個(gè)方程只有n 1個(gè)是獨(dú)立的 因此必須再加另一個(gè)獨(dú)立方程 由此即可求出n個(gè)平穩(wěn)狀態(tài)概率 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 例 求如圖所示系統(tǒng)的平穩(wěn)狀態(tài)概率 3 3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率 解 一步轉(zhuǎn)移矩陣為 設(shè)P n P0P1 則 3 4單部件可修系統(tǒng) 單部件系統(tǒng)是指一個(gè)單元組成的系統(tǒng) 或把整個(gè)系統(tǒng)當(dāng)作一個(gè)單元來(lái)研究 部件故障 則系統(tǒng)故障 部件正常 則系統(tǒng)正常 3 4單部件可修系統(tǒng) 部件的失效率 修復(fù)率分別是常數(shù) 則 t時(shí)刻系統(tǒng)處于工作 正常工作 狀態(tài) 在t t t之間內(nèi)發(fā)生故障的條件概率為 t 即為 t時(shí)刻系統(tǒng)處于故障狀態(tài) 在t t t之間即 t時(shí)間內(nèi)修復(fù)好的條件概率為 t 即為 3 4單部件可修系統(tǒng) 單部件可修系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 3 4單部件可修系統(tǒng) 上圖中 同理 條件概率 3 4單部件可修系統(tǒng) 上圖的轉(zhuǎn)移概率矩陣為 3 4單部件可修系統(tǒng) 令下面研究如何求解和首先 利用全概率公式可求出和的表達(dá)式 3 4單部件可修系統(tǒng) 此即為的計(jì)算公式 3 4單部件可修系統(tǒng) 由上式展開(kāi) 移項(xiàng) 兩邊除以若令取極限有 1 3 4單部件可修系統(tǒng) 同理可得 2 1 2 聯(lián)立即可求出和 1 2 的聯(lián)立方程稱為狀態(tài)方程 3 4單部件可修系統(tǒng) 下邊求解狀態(tài)方程對(duì)上述 1 2 兩邊取拉氏變換 3 4單部件可修系統(tǒng) 假設(shè)t 0時(shí)系統(tǒng)為正常狀態(tài) 即 代入上式 3 4單部件可修系統(tǒng) 拉氏反變換 3 4單部件可修系統(tǒng) 由此瞬態(tài)有效度 可用度 穩(wěn)態(tài)有效度 平均有效度 0 t 3 4單部件可修系統(tǒng) 由上述可歸納出解可修系統(tǒng)有效度的方法步驟如下 1 畫(huà)出系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 2 寫(xiě)出轉(zhuǎn)移矩陣 3 令 求出P 也稱為轉(zhuǎn)移矩陣 4 求狀態(tài)方程系數(shù)矩陣AA P I I為與P同階的單位矩陣 A又稱為轉(zhuǎn)移率矩陣 3 4單部件可修系統(tǒng) 5 寫(xiě)出狀態(tài)方程式式中為各狀態(tài)概率向量為各狀態(tài)概率導(dǎo)數(shù)向量 6 求解狀態(tài)方程通常要給定初始狀態(tài) 且常用拉氏變換及反變換求解法 3 4單部件可修系統(tǒng) 如上例 3 4單部件可修系統(tǒng) 得狀態(tài)方程與前述一致以下即可用拉氏變換法等求解方程 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) n個(gè)相同單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)每個(gè)單元 為常數(shù)兩種狀態(tài) 狀態(tài)0 n個(gè)單元全正常 系統(tǒng)正常狀態(tài)狀態(tài)1 任一單元故障 系統(tǒng)故障狀態(tài)因?yàn)槿我粏卧收?系統(tǒng)即停止工作 不會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)及以上單元同時(shí)故障的情況 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) n個(gè)相同單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) 用前述方法 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) 狀態(tài)方程 初始條件 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) 用拉氏變換與反變換可解出 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) n個(gè)不同單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)系統(tǒng)有n 1個(gè)狀態(tài) 狀態(tài)0 n個(gè)單元均正常 系統(tǒng)正常狀態(tài)狀態(tài)1 單元1故障 其余正常 系統(tǒng)故障狀態(tài)2 單元2故障 其余正常 系統(tǒng)故障 狀態(tài)n 單元n故障 其余正常 系統(tǒng)故障 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) A P I 3 5串聯(lián)可修系統(tǒng) 給定初始條件 用拉氏正 反變換 解此方程組即可求得 瞬態(tài) 有效度 穩(wěn)態(tài)有效度 3 6并聯(lián)可修系統(tǒng) 兩個(gè)相同單元的并聯(lián)系統(tǒng) 一組維修人員 系統(tǒng)有3種狀態(tài) 0狀態(tài) 兩個(gè)單元都正常 系統(tǒng)正常1狀態(tài) 任意一個(gè)單元故障 系統(tǒng)正常2狀態(tài) 兩個(gè)單元都故障 系統(tǒng)故障 3 6并聯(lián)可修系統(tǒng) 1 3 6并聯(lián)可修系統(tǒng) 3 6并聯(lián)可修系統(tǒng) 狀態(tài)方程為 假定t 0時(shí)系統(tǒng)為0態(tài) 則有初始條件P0 0 1 P1 0 0 P2 0 0 用拉普拉斯變換得方程