高中數(shù)學(xué)1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例課件人教版選修二.ppt

1 4生活中的優(yōu)化問題舉例 問題提出 1 在什么條件下 函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上一定存在最大值和最小值 函數(shù)y f x 的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線 2 如果在閉區(qū)間 a b 上函數(shù)y f x 的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線 那么如何求出函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的最大值和最小值 將函數(shù)f x 在開區(qū)間 a b 上的所有極值與區(qū)間端點函數(shù)值進行比較 其中最大者為最大值 最小者為最小值 3 生活中經(jīng)常遇到求利潤最高 產(chǎn)量最大 成本最低 用料最省等實際問題 這些問題通常稱為優(yōu)化問題 解決優(yōu)化問題的本質(zhì)就是求函數(shù)的最值 因此 以函數(shù)為載體導(dǎo)數(shù)為工具 解決生活中的優(yōu)化問題 是數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域的一個重要課題 生活中的優(yōu)化問題舉例 探究 一 海報版面尺寸的設(shè)計 思考1 版心面積為定值128dm2 海報的面積是否也為定值 思考2 設(shè)版心的高為x 則海報的面積為多少 海報四周空白的面積為多少 思考3 設(shè)海報四周空白的面積為s x 則s x 的最簡表達式如何 其定義域是什么 思考4 海報四周空白的面積s x 是否存在最值 若存在 如何求其最值 思考5 如何設(shè)計海報的尺寸 才能使四周空白面積最小 版心高為16dm 寬為8dm時 探究 二 飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 背景材料 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料 瓶子的制造成本是0 8 r2分 其中r 單位 cm 是瓶子的半徑 已知每出售1ml的飲料 制造商可獲利0 2分 且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm 思考1 1ml飲料所占的體積是多少cm3 半徑為r的瓶子最多能裝多少ml的飲料 思考2 每瓶滿裝的飲料的利潤 單位 分 是多少 思考3 設(shè)每瓶滿裝飲料的利潤為f r 則函數(shù)f r 的定義域是什么 0 6 思考4 函數(shù)是否存在最值 若存在 如何求其最值 思考5 函數(shù)的大致圖象是什么 據(jù)圖象分析 瓶子半徑的大小對制造商的利潤產(chǎn)生什么影響 當(dāng)0 r 3時 利潤為負(fù)值 當(dāng)r 3時 利潤為零 當(dāng)r 3時 利潤為正值 并隨著瓶子半徑的增大利潤也相應(yīng)增大 思考6 市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些 如半斤裝的白酒比一斤裝的白酒平均價格要高 在數(shù)學(xué)上有什么道理 將包裝盒捏成球狀 因為小包裝的半徑小 其利潤低 生產(chǎn)商就提高銷售價格來平衡與大包裝的利潤 探究 三 磁盤的最大存儲量問題 背景材料 計算機把信息存儲在磁盤上 磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤 并由操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū) 磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心圓軌道 扇區(qū)是指被圓心角分割成的扇形區(qū)域 磁道上的定長的弧可作為基本存儲單元 根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1 這個基本單元通常稱為比特 磁盤的構(gòu)造如圖所示 為了保障磁盤的分辨率 磁道之間的寬度必須大于m 每比特所占用的磁道長度不得小于n 為了數(shù)據(jù)檢索的方便 磁盤格式化時要求所有磁道具有相同的比特數(shù) 思考1 現(xiàn)有一張半徑為r的磁盤 它的存儲區(qū)是半徑介于r與r的環(huán)形區(qū)域 且最外面的磁道不存儲任何信息 那么這張磁盤的磁道數(shù)最多可達多少 思考2 由于每條磁道上的比特數(shù)相同 那么這張磁盤存儲量的大小取決于哪條磁道上的比特數(shù) 最內(nèi)一條磁道 思考3 要使磁盤的存儲量達到最大 那么最內(nèi)一條磁道上的比特數(shù)為多少 思考4 這張磁盤的存儲量最大可達到多少比特 思考5 若r為定值 r為變量 那么這張磁盤的存儲量如何變化 有何最值 時 存儲量最大 思考6 如果每條磁道存儲的信息與磁道的長度成正比 那么如何計算磁盤的存儲量 此時 是不是r越小 磁盤的存儲量越大 時 存儲量最大 理論遷移 例某汽車制造廠有一條價值為60萬元的汽車生產(chǎn)線 現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高其生產(chǎn)能力 進而提高產(chǎn)品的增加值 已知投入x萬元用于技術(shù)改造 所獲得的產(chǎn)品的增加值為 60 x x2萬元 并且技改投入比率 求當(dāng)技改投入多少萬元時 所獲得的產(chǎn)品的增加值為最大 技改投入40萬元 小結(jié)作業(yè) 1 解決優(yōu)化問題的基本思路 優(yōu)化問題 2 解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是將實際問題化歸為函數(shù)的最值問題來處理 其探究過程是一個典型的數(shù)學(xué)建模過程 對目標(biāo)函數(shù)的最值 要根據(jù)函數(shù)式的特點 用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?有時用基本不等式或二次函數(shù)圖象求最值比用導(dǎo)數(shù)更方便 3 對優(yōu)化問題中的函數(shù)關(guān)系 要注意根據(jù)實際背景確定函數(shù)的定義域 如果目標(biāo)函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個極值點 則這個極值點一般就是最值點 例1一艘輪船在航行中每小時的燃料費和它的速度的立方成正比 已知在速度為每小時10km時 燃料費是每小時6元 其它與速度無關(guān)的費用是每小時96元 問此輪船以何種速度航行時 能使每行駛1km的總費用最小 20km h 例2用總長為14 8m的鋼條制作一個長方體容器的框架 如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長0 5m 那么當(dāng)容器的高為多少時 其容積最大 最大容積