數(shù)學(xué)中的極限思想及其應(yīng)用..doc

摘要：本文對數(shù)學(xué)極限思想在解題中的應(yīng)用進(jìn)行了詮釋，詳細(xì)介紹了數(shù)學(xué)極限思想在幾類數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，如在數(shù)列中的應(yīng)用、在立體幾何中的應(yīng)用、在函數(shù)中的應(yīng)用、在三角函數(shù)中的應(yīng)用、在不等式中的應(yīng)用和在平面幾何中的應(yīng)用，并在例題中比較了數(shù)學(xué)極限思想與一般解法在解題中的不同。靈活地運(yùn)用極限思想解題，可以避開抽象、復(fù)雜的運(yùn)算，優(yōu)化解題過程、降低解題難度。極限思想有利于培養(yǎng)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)看待并解決問題。關(guān)鍵詞：極限思想，應(yīng)用Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. Whats more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.Keywords: the limit idea，application 目 錄1 緒 論31.1 研究意義31.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀31.3 本文解決的主要問題32 數(shù)學(xué)極限思想的在解題中應(yīng)用52.1數(shù)學(xué)極限思想在數(shù)列中的應(yīng)用52.1.1利用極限思想處理無窮等比數(shù)列52.1.2利用極限思想簡化運(yùn)算過程，優(yōu)化解題方案62.2數(shù)學(xué)極限思想在函數(shù)中的應(yīng)用72.2.1利用極限思想確定函數(shù)圖像72.2.2利用極限思想確定函數(shù)定義域72.2.3利用極限思想求未知變量的取值范圍82.3數(shù)學(xué)極限思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用92.3.1通過求極端位置求三角函數(shù)的取值范圍92.3.2通過假設(shè)極端狀態(tài)推出角的取值范圍92.4數(shù)學(xué)極限思想在不等式中的應(yīng)用102.4.1通過假設(shè)變量的極限求得答案102.4.2利用極限思想解決不等式證明題102.4.3應(yīng)用極限思想并結(jié)合排除法解決不等式解集問題112.5數(shù)學(xué)極限思想在平面幾何圖形中的應(yīng)用112.5.1利用極限思想求某些平面圖形陰影部分面積112.5.2利用極限思想解決圓錐圖形的問題122.6數(shù)學(xué)極限思想在立體幾何中的應(yīng)用142.6.1數(shù)學(xué)極限思想在解決求立體圖形體積中的應(yīng)用142.6.2利用極限思想探索立體圖形的等量關(guān)系142.6.3利用極限思想解決探索動(dòng)點(diǎn)軌跡143 對一道數(shù)學(xué)題探索解題思路16 結(jié) 論17謝 辭18參考文獻(xiàn)19 1 緒 論極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助極限來定義的。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來得到這結(jié)果。隨著高中課程的改革，高考中將加強(qiáng)對極限思想的考查，通過一些創(chuàng)新題，讓學(xué)生感受其中蘊(yùn)含的極限思想。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，有些題目雖然和極限無關(guān)，但若運(yùn)用變化的觀點(diǎn)，靈活地用極限思想來思考，往往可以降低解題難度。本文就數(shù)學(xué)極限思想在解決幾類數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用進(jìn)行了探究，用無限逼近的方式從有限中認(rèn)識無限，從近似中認(rèn)識精確，從量變中認(rèn)識質(zhì)變。1.1研究意義極限思想作為一種重要思想，在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史上占有重要地位。極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系。用極限思想解決問題，往往能突破思維上的禁錮，化繁為簡，拓寬考慮問題的思路，為數(shù)學(xué)問題的順利解決提供較大的幫助。1.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀由于數(shù)學(xué)中的極限思想對學(xué)生數(shù)學(xué)思維方法培養(yǎng)的重要性，因此數(shù)學(xué)極限思想的相關(guān)問題一直受到國內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注。如為了引起廣大師生對極限思想廣泛關(guān)注和高度重視，茍玉德和董玉武在2006年給出了滲透極限思想，優(yōu)化解題過程，說明了利用極限思想，把問題放置于極限狀態(tài)，能提高解題能力；2007年劉明遠(yuǎn)給出了極限思想在解題中的應(yīng)用，通過列舉極限在函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式和解析幾何中的應(yīng)用說明極限思想對于優(yōu)化解題過程，降低解題難度的重要作用；孫道斌于2007年發(fā)表了利用極限思想巧解立幾問題，列舉了極限思想在解決一些立體幾何選擇題的范例；2005年黃加衛(wèi)給出了極限思想在數(shù)列中的幾個(gè)“閃光點(diǎn)”,認(rèn)為極限是微積分中最基本、最主要的概念，同時(shí)列舉了極限思想在解決等比數(shù)列問題和數(shù)列證明中的幾個(gè)范例；2007年徐素琳給出了極限思想的妙用，認(rèn)為極限思想即運(yùn)用“化整為零，又積零為整”的思想在圖形面積、周長、體積和函數(shù)等方面有重要作用； 2007年牛保華給出了極限思想在解題中的應(yīng)用，分析了極限思想在解題時(shí)簡化運(yùn)算過程、優(yōu)化解題方案、探索解題思路的作用。 1.3 本文解決的主要問題本文主要對數(shù)學(xué)極限思想在數(shù)列中、在立體幾何中、在函數(shù)中、在三角函數(shù)中、在不等式中和在平面幾何圖中的應(yīng)用進(jìn)行分析，然后具體比較了數(shù)學(xué)極限思想和一般解法在解決一道數(shù)學(xué)題的不同，進(jìn)而反映了極限思想的優(yōu)勢。2 數(shù)學(xué)極限思想的在解題中應(yīng)用2.1 數(shù)學(xué)極限思想在數(shù)列中的應(yīng)用2.1.1 利用極限思想處理無窮等比數(shù)列例1：（1）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)；（2）已知數(shù)列 、是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，證明: 數(shù)列不是等比數(shù)列。解：（1）設(shè) 的公比為，則有： 對上式兩端取極限，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即整理得，即，得故常數(shù) 或。（2） 假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)、 的公比分別為， ，兩邊取極限：若，此時(shí)左邊極限為，右邊極限不存在，矛盾；若，不妨設(shè),則此時(shí)表明數(shù)列 的公比，這與題設(shè)矛盾。故假設(shè)不成立，即數(shù)列 不是等比數(shù)列。注1:極限分析法是處理無窮等比數(shù)列的一個(gè)有效方法，設(shè)數(shù)列是公比為的無窮等比數(shù)列, 將兩邊取極限, 得，說明等比數(shù)列中的的極限存在, 且就是公比。2.1.2利用極限思想簡化運(yùn)算過程，優(yōu)化解題方案例2：已知數(shù)列中，且對于任意自然數(shù)，總有, 是否存在實(shí)數(shù)、, 使得 對于任意自然數(shù)恒成立? 若存在，給出證明；若不存在，說明理由。分析：解此題的一般思路是，按照“從一般到特殊, 再從特殊到一般”的思維原則。 先從具體、特定的實(shí)例入手, 從中探測出問題的結(jié)論, 再經(jīng)過嚴(yán)格的論證, 但這樣解題過程比較復(fù)雜，不如用極限思想優(yōu)越，因?yàn)楸绢}有它的特殊性，可利用極限考慮。解：如果這樣的，存在的話, 則由 可得，對兩邊取極限, 得，解得或若, 則數(shù)列應(yīng)該是以1為首項(xiàng), 以為公比的等比數(shù)列。顯然不可能對任意的正整數(shù)都滿足若，將代入 ,可求得, 此時(shí), 驗(yàn)證即得出矛盾。所以, 這樣的實(shí)數(shù)和 不存在。注2:靈活地運(yùn)用極限思想解題, 常可避開抽象、復(fù)雜的運(yùn)算, 優(yōu)化解題過程, 降低解題難度，這是減少運(yùn)算量的一條重要途徑。2.2 數(shù)學(xué)極限思想在函數(shù)中的應(yīng)用2.2.1利用極限思想確定函數(shù)圖像例3：函數(shù)的圖像是（ ） (A) (B) (C) (D)分析 當(dāng),且時(shí)，故選（B）2.2.2利用極限思想確定函數(shù)定義域例4：從盛滿純酒精的容器中倒出，然后用純水填滿，再倒出混合液后又用水填滿，這樣繼續(xù)下去。設(shè)倒完第次時(shí)前后一共倒出純酒精，倒完第次時(shí)前后一共倒出純酒精，求函數(shù)的表達(dá)式。分析：混合溶液問題是我們經(jīng)常遇到的應(yīng)用題，根據(jù)混合前后濃度的變化即可寫出其函數(shù)表達(dá)式.由操作的重復(fù)性知，操作的次數(shù)越多，溶液的濃度越小，但是不可能是濃度為零，故。解：根據(jù)題意，第次倒出的混合液中純酒精的體積分?jǐn)?shù)為,下面確定定義域,由于第一次就倒出純酒精，故；又經(jīng)過有限次(無論n有多大)操作，總不可能將全部的純酒精倒出，只能無限趨近于，即，故定義域?yàn)椤?.2.3利用極限思想求未知變量的取值范圍例5： 已知有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別是和,若直線與線段的延長線相交,求的取值范圍。圖一解：若,則直線與線段相交,不合題意，故,此時(shí)的方程為如圖 易知直線恒過定點(diǎn),不妨先考慮直線的極限情形:由于直線必須與有向線段的延長線相交,的斜率必須小于，兩點(diǎn)所在直線的斜率；當(dāng)離開的位置繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí), 與的延長線的交點(diǎn)逐漸遠(yuǎn)離點(diǎn),當(dāng)交點(diǎn)與的距離趨向無窮大時(shí), 逐漸趨向 ,這時(shí)的斜率趨向的斜率，故應(yīng)夾在與之間,則，即 ，故為所求。2.3數(shù)學(xué)極限思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用2.3.1通過求極端位置求三角函數(shù)的取值范圍例6：已知長方形的四個(gè)頂點(diǎn),和，一質(zhì)點(diǎn)從的中點(diǎn)沿與夾角為的方向射到上的點(diǎn)后，依次反射到,和上的點(diǎn) ，和（入射角等于反射角），設(shè)坐標(biāo)為,若,則的取值范圍是圖二 分析：本題可以充分利用幾何關(guān)系通過“極端位置”找出的取值范圍，根據(jù)極限的觀點(diǎn)，令，不妨 令與重合，依據(jù)入射角等于反射角，即知，均為各邊中點(diǎn)，此時(shí)，而四個(gè)選項(xiàng)中僅有選項(xiàng)與此數(shù)據(jù)有關(guān)，故選注3：將精算與估算相結(jié)合， 是一種重要的數(shù)學(xué)能力。運(yùn)用極限的思想，化繁為簡，為解題提供思路。此類數(shù)學(xué)試題給高中數(shù)學(xué)教學(xué)變革教與學(xué)的方向以啟示，注重多元聯(lián)系表示，拓寬思維，提高思維質(zhì)量。2.3.2通過假設(shè)極端狀態(tài)推出角的取值范圍例7：若，則 分析：本題中角顯然不是熟知的特珠角，如果我們將方程的兩邊看作是兩個(gè)連續(xù)的函數(shù)的話，利用極限思想，借助函數(shù)的大小關(guān)系即可得出答案。解 當(dāng)時(shí)，此時(shí)有 當(dāng)時(shí)，此時(shí)有 當(dāng)時(shí)，此時(shí)有 當(dāng)時(shí)，此時(shí)有 因此，由和兩式值的特點(diǎn)和；兩式在區(qū)間上連續(xù)可得 ，故答案為C注4：由本例可見，在解決有關(guān)三角函數(shù)中的范圍問題時(shí)，因?yàn)榇鸢付际遣坏汝P(guān)系，所以可應(yīng)用極限思想來確定正確選項(xiàng)。2.4數(shù)學(xué)極限思想在不等式中的應(yīng)用2.4.1通過假設(shè)變量的極限求得答案例8：已知，則有（ ）(A) (B) (C) (D) 分析：當(dāng)時(shí)，由題意，此時(shí)，故可排除和,當(dāng)時(shí)，由題意，此時(shí)，又，則，故可排除，從而選2.4.2利用極限思想解決不等式證明題例9：已知，求證分析：本題屬于不等式證明，可用作差比較法、三角換元法，分析法等，但用極限思想尤為簡單 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故原不等式成立。2.4.3應(yīng)用極限思想并結(jié)合排除法解決不等式解集問題 例10：不等式組 的解集是（ ） A B C D 分析：此不等式組中關(guān)健是解絕對值不等式，但是過程相當(dāng)復(fù)雜，如果應(yīng)用極限思想并結(jié)合排除法，此題便可輕松獲解。解：當(dāng)時(shí)，顯然原絕對值不等式不成立，故排除選項(xiàng)當(dāng)時(shí)，顯然故排除選項(xiàng)而當(dāng)時(shí)，顯然原絕對值不等式不成立，故又排除選項(xiàng)。故正確選項(xiàng)為。2.5數(shù)學(xué)極限思想在平面幾何圖形中的應(yīng)用2.5.1利用極限思想求某些平面圖形陰影部分面積例11 求拋物線與直線及軸圍城的陰影部分面積圖三解：在軸上將線段等分為份，每份長度為，以每份線段為底，以此線段端點(diǎn)坐標(biāo)對應(yīng)拋物線的值為高分別作個(gè)矩形，由此可見，這個(gè)矩形的面積之和近似等于圖中陰影部分面，當(dāng)時(shí)，2.5.2利用極限思想解決圓錐圖形的問題例12：已知拋物線，試問：在軸正方向上是否必存在一點(diǎn)，使得對于拋物線上任意一點(diǎn)過 的弦均有為定值。 圖四分析：假設(shè)符合條件的點(diǎn)存在，考慮過點(diǎn)的一條特殊的弦（垂直與軸的弦的情形），設(shè)、,則但是僅憑此式還是看不出點(diǎn)的位置，再考慮過點(diǎn)的弦的極限情形一弦與的正半軸重合，此時(shí)過點(diǎn)的弦的一個(gè)端點(diǎn)是原點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)，則可看成是一個(gè)在無窮遠(yuǎn)的點(diǎn)，即,則，于是，解得。于是可猜得頂點(diǎn)下面證明過點(diǎn)的任意一條弦均有為定值。設(shè)過點(diǎn)M的直線方程為代入拋物線方程得設(shè)方程的兩根為、，它們的幾何意義分別為、的長，則，故點(diǎn)是符合條件的點(diǎn)。2.6 數(shù)學(xué)極限思想在立體幾何中的應(yīng)用2.6.1數(shù)學(xué)極限思想在解決求立體圖形體積中的應(yīng)用例13：如圖，直三棱柱的體積為，、分別是側(cè)棱 、上的點(diǎn)，且，則四棱錐的體積為( )圖五（A). (B) （C） (D) 解：由于上、下底三角形形狀未定，、可移動(dòng)，直接找與之間的關(guān)系不太方便，在此可考慮、的極端位置:令、 , 則有，故選()。2.6.2利用極限思想探索立體圖形的等量關(guān)系例14：一個(gè)正四棱臺上、下底面邊長分別為a、b，高為h，且側(cè)面積等于兩底面積之和，則下列關(guān)系中正確的是( )。（A） (B) (C) (D) 解析考慮極限情況:令，則由側(cè)面積等于兩底面積之和得，即對照選項(xiàng)可知(A)符合，故選(A)。2.6.3利用極限思想解決探索動(dòng)點(diǎn)軌跡例15：如圖，正方體，且點(diǎn)在側(cè)面及邊界上運(yùn)動(dòng)，且總保持,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ）圖六 (A)線段 (B)線段 (C) 中點(diǎn)與中點(diǎn)連成的線段(D) 中點(diǎn)與中點(diǎn)連成的線段解：直接求符合條件的點(diǎn)的軌跡不容易，因此，可以考察各選擇支點(diǎn)的極端位置。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的端點(diǎn) (即點(diǎn)與端點(diǎn)重合)時(shí)，易證；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的端點(diǎn)時(shí)，也易證。而選擇支、中，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到各線段的端點(diǎn)時(shí)都不滿足。故選(A)。3對一道數(shù)學(xué)題探索解題思路例16：求離心率，過點(diǎn)且與直線相切于點(diǎn)，長軸平行于軸的橢圓方程。分析：一般解法是設(shè)橢圓中心為，可得橢圓方程，并列出過已知點(diǎn)的切線方程，聯(lián)立消參可求橢圓 。解：設(shè)橢圓中心為，由離心率，可得又由長軸平行于軸，可設(shè)橢圓方程為聯(lián)立方程只有唯一解，且此解為又橢圓過點(diǎn)代入 可求得橢圓方程為探索思考：計(jì)算過程中，明顯發(fā)現(xiàn)這種解法運(yùn)算過程繁瑣。如果把“點(diǎn)橢圓”看作橢圓的退化情況，考慮極端元素，則可簡化運(yùn)算過程。解：把點(diǎn) 看作離心率 的橢圓系 的極限狀態(tài)（“點(diǎn)橢圓”），則與直線相切于該點(diǎn)的橢圓系即為過直線與“點(diǎn)橢圓”的公共點(diǎn)的橢圓系，其方程為 又由于所求的橢圓過點(diǎn)，代入上式，得。因此，所求橢圓方程為結(jié) 論 數(shù)學(xué)極限思想因?yàn)楸旧砟軌蚧睘楹啠哂休^強(qiáng)的應(yīng)用性，深受人們的喜愛。極限思想可以用在我們高中數(shù)學(xué)的每一個(gè)角落。在解題過程中，它能化無限為有限，節(jié)省大量運(yùn)算，提高解題速度和準(zhǔn)確性。靈活巧妙、正確的運(yùn)用數(shù)學(xué)極限思想能提高人們解題的正確率和策略意識，從而加深知識的理解和掌握。 能否熟練地應(yīng)用就要看我們是否有去用它的意識，而且能否掌握其中的技巧，如果我們具備了就會(huì)使復(fù)雜問題簡化，解題更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。根據(jù)問題的不同條件和特點(diǎn)，合理選擇運(yùn)算途徑是關(guān)鍵，而極限思想的靈活