高中數(shù)學(xué)2.3圓的方程2.3.2圓的一般方程教案.docx

2.3.2 圓的一般方程示范教案教學(xué)分析教材利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)出了圓的一般方程，并討論了二元二次方程與圓的關(guān)系，值得注意的是在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析圓的兩種方程形式的特點(diǎn)和各自適用的范圍三維目標(biāo)1掌握?qǐng)A的一般方程的特點(diǎn)，培養(yǎng)分類討論的數(shù)學(xué)思想2會(huì)求圓的方程，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：圓的一般方程及其與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)條件“D2E24F0”的理解課時(shí)安排1課時(shí)導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)1.寫出圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2.將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開并整理，得x2y22ax2bya2b2r20.如果設(shè)D2a，E2b，F(xiàn)a2b2r2，得到方程x2y2DxEyF0，這說(shuō)明圓的方程還可以表示成另外一種非標(biāo)準(zhǔn)方程形式能不能說(shuō)方程x2y2DxEyF0所表示的曲線一定是圓呢？這就是我們本堂課學(xué)習(xí)的內(nèi)容設(shè)計(jì)2.問(wèn)題：求過(guò)三點(diǎn)A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圓的方程利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問(wèn)題顯然有些麻煩，用直線的知識(shí)解決又有其簡(jiǎn)單的局限性，那么這個(gè)問(wèn)題有沒(méi)有其他解決方法呢？帶著這個(gè)問(wèn)題我們來(lái)共同研究圓的方程的另一種形式推進(jìn)新課(1)前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法？,(2)這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢？,(3)給出式子x2y2DxEyF0，請(qǐng)你利用配方法化成不含x和y的一次項(xiàng)的式子.,(4)把式子(xa)2(yb)2r2與x2y2DxEyF0配方后的式子比較，得出x2y2DxEyF0表示圓的條件.,(5)對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程作一比較，看各自有什么特點(diǎn)？討論結(jié)果：(1)以前學(xué)習(xí)過(guò)直線，我們首先學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式，最后學(xué)習(xí)一般式大家知道，我們認(rèn)識(shí)一般的東西，總是從特殊入手如探求直線方程的一般形式就是通過(guò)把特殊的公式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、)展開整理而得到的(2)我們想求圓的一般方程，可仿照直線方程試一試！我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，把標(biāo)準(zhǔn)形式展開，整理得到，也是從特殊到一般(3)把式子x2y2DxEyF0配方得(x)2(y)2.(4)(xa)2(yb)2r2中，r0時(shí)表示圓，r0時(shí)表示點(diǎn)(a，b)，r0時(shí)，表示以(，)為圓心，為半徑的圓；當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程僅有一組實(shí)數(shù)解x，y，即只表示一個(gè)點(diǎn)(，)；當(dāng)D2E24F0時(shí)，它表示的曲線才是圓因此x2y2DxEyF0表示圓的條件是D2E24F0.我們把形如x2y2DxEyF0表示圓的方程稱為圓的一般方程(5)圓的一般方程形式上的特點(diǎn)x2和y2的系數(shù)相同，不等于0.沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng)圓的一般方程中有三個(gè)待定的系數(shù)D、E、F，因此只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯思路1例1將下列圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出圓的圓心坐標(biāo)和半徑：(1)x2y24x6y120；(2)4x24y28y4y150.解：(1)對(duì)方程左邊配方，方程化為(x2)2(y3)225.所以圓心的坐標(biāo)為(2,3)，半徑為5.(2)方程兩邊除以4，得x2y22xy0.方程左邊配方，得(x1)2(y)25.所以圓心的坐標(biāo)為(1，)，半徑為.變式訓(xùn)練1圓x2y24x8y0的圓心坐標(biāo)是_，半徑r_.答案：(2,4)22圓x2y2Dx4y10的半徑r4，則D_.答案：2例2求過(guò)三點(diǎn)A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)的圓的方程解：設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0.根據(jù)題設(shè)條件，用待定系數(shù)法確定D，E，F(xiàn).因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C的圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解，把它們的坐標(biāo)依次代入上面的方程，整理得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的三元一次方程組解這個(gè)方程組，得于是得到所求圓的方程x2y26x2y150.點(diǎn)評(píng)：我們也可以設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2.同樣，根據(jù)已知條件可以列出三個(gè)未知數(shù)的方程組通過(guò)解方程組，求出a，b，r.那樣做，會(huì)有較大的運(yùn)算量變式訓(xùn)練求過(guò)三點(diǎn)O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圓的方程，并求圓的半徑和圓心坐標(biāo)解：設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0，由O，M1，M2在圓上，則有解得D8，E6，F(xiàn)0.故所求圓的方程為x2y28x6y0，即(x4)2(y3)252.所以圓心坐標(biāo)為(4，3)，半徑為5.例3已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)，A(3,0)距離的比為的點(diǎn)的軌跡，求這個(gè)曲線的方程，并畫出曲線解：在給定的坐標(biāo)系中，設(shè)M(x，y)是曲線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M在曲線上的條件是.由兩點(diǎn)之間的距離公式，上式用坐標(biāo)表示為，兩邊平方并化簡(jiǎn)，得曲線方程x2y22x30，將方程配方，得(x1)2y24.所以所求曲線是圓心為C(1,0)，半徑為2的圓(如下圖)點(diǎn)評(píng)：到兩定點(diǎn)A(a，b)，B(c，d)距離的比為(0)的點(diǎn)的軌跡為C，當(dāng)1時(shí)，C為直線即線段AB的垂直平分線；當(dāng)1或00，即m15.由韋達(dá)定理因?yàn)镻RQR，所以kPRkQR1.所以1，即(x11)(x21)(y11)(y21)0，即x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)20.因?yàn)閥13，y23，所以y1y2(3)(3)9(x1x2)9，y1y26.代入，得x1x250，即(m12)50.所以m10，適合m15.所以實(shí)數(shù)m的值為10.本節(jié)課學(xué)習(xí)了：圓的一般方程，軌跡方程的求法本節(jié)練習(xí)B1,2題這是一節(jié)介紹新知識(shí)的課，而且這節(jié)課還非常有利于展現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程因此，在設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí)，力求“過(guò)程、結(jié)論并重，知識(shí)、能力、思想方法并重”在展現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程中，盡量避免學(xué)生被動(dòng)接受，引導(dǎo)學(xué)生探索，重視探索過(guò)程一方面，把直線一般方程探求過(guò)程進(jìn)行回顧、類比，學(xué)生從中領(lǐng)會(huì)探求方法；另一方面，“把標(biāo)準(zhǔn)方程展開認(rèn)識(shí)一般方程”這一過(guò)程充分運(yùn)用了“通過(guò)特殊認(rèn)識(shí)一般”的科學(xué)思想方法同時(shí)，通過(guò)類比進(jìn)行條件的探求“D2E24F”與“”(判別式)類比在整個(gè)探求過(guò)程中充分利用了“舊知識(shí)”及“舊知識(shí)的形成過(guò)程”，并用它探求新知識(shí)這樣的過(guò)程，既是學(xué)生獲得新知識(shí)的過(guò)程，更是培養(yǎng)學(xué)生能力的過(guò)程備選習(xí)題1若方程x2y2xya0表示圓，則a的取值范圍是()Aa BaCR Da0.解之，可得2a0，從而f(x，y)f(x0，y0)x2y2DxEyFxyDx0Ey0F0，過(guò)點(diǎn)A(x0，y0)與圓C同心的圓答案：C4判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請(qǐng)求出圓的圓心坐標(biāo)及半徑(1)4x24y24x12y90；(2)4x24y24x12y110.解：(1)由4x24y24x12y90，得D1，E3，F(xiàn)，而D2E24F19910，所以方程4x24y24x12y90表示圓的方程，其圓心為(，)，半徑為；(2)由4x24y24x12y110，得D1，E3，F(xiàn)，D2E24F191110，所以方程4x24y24x12y110不表示圓的方程點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如Ax2By2DxEyF0的方程判斷其是否表示圓，先化為x2y2DxEyF0的形式，再利用條件D2E24F與0的大小判斷，不能直接套用另外，直接配方也可以判斷5已知P(2,