繩、桿、彈簧模型在臨界和突變問題的歸類解析.doc

繩、桿、彈簧模型在臨界和突變問題的歸類解析【內(nèi)容摘要】：三種模型彈力產(chǎn)生的機理不同，不同物理場景下力和運動情況的分析，尤其是由一種狀態(tài)突變到另一種物理狀態(tài)時，數(shù)學上稱為拐點突變點的分析；以及臨界狀態(tài)對應的臨界條件?！娟P(guān)鍵詞】：臨界、突變繩、桿和彈簧作為中學物理常見的理想模型，在解決力和運動，尤其在曲線運動問題中經(jīng)常出現(xiàn)，由于較多涉及帶電粒子在復合場中的運動，關(guān)于臨界和突變問題成為失分較大的考點，因此歷年成為頻繁出現(xiàn)的熱點。而問題的癥結(jié)是：不太清楚這三種模型彈力產(chǎn)生的機理；不清晰物理過程的分析，尤其是由一種狀態(tài)突變到另一種物理狀態(tài)時，數(shù)學上稱為拐點突變點的分析；以及臨界狀態(tài)對應的臨界條件，故而成為學習中的一個障礙。結(jié)合復習實際，總結(jié)如下：一、產(chǎn)生的機理：、形變的分類和彈力產(chǎn)生的機理：物體在外力作用下的形變可分為：拉伸、壓縮形變、剪切形變、扭轉(zhuǎn)和彎曲形變，但從根本上講，形變分為：拉伸壓縮和剪切形變拉伸壓縮形變的程度用線應變描述；剪切形變是指用平行截面間相對滑動的位移與截面垂直距離之比來描述稱為剪切形變；彎曲形變：以中性層為界，越近上緣發(fā)生壓縮形變的程度增加，靠近下沿拉伸越甚，即上下邊沿貢獻最大，中性層無貢獻，實際應用中典型的就是鋼筋混凝土梁，下部鋼筋多利用其抗拉能力，上部利用混凝土抗壓能力，工業(yè)中的工字鋼空心鋼管等構(gòu)件既安全又節(jié)省材料；扭轉(zhuǎn)形變實質(zhì)上是由剪切形變組成，內(nèi)外層剪切應變不同，因此應力也不同?？客鈱討^大，抵抗扭轉(zhuǎn)形變的作用主要由外層承擔，靠近中心軸線的材料幾乎不大起作用，工業(yè)中的空心柱體就是典型的應用。、區(qū)別：細繩只能發(fā)生拉伸形變，即只能提供因收縮而沿軸向里的彈力，但彈力的產(chǎn)生依賴于細繩受到的外力和自身的運動狀態(tài)。由一種狀態(tài)突變到另一種狀態(tài)時，受力和運動狀態(tài)將發(fā)生突變，將此點稱為“拐點”；彈簧能發(fā)生拉伸和壓縮形變，能提供向里和向外的彈力，彈力的產(chǎn)生是由于外力作用下而引起的形變，形變不發(fā)生變化，彈力不變；輕桿：拉伸、壓縮、剪切形變、彎曲、扭轉(zhuǎn)形變均能發(fā)生，既能產(chǎn)生沿軸向方向上的彈力，又能產(chǎn)生沿截面方向上的彈力，取決于外力作用的情況。以上模型均不計自身的重力而引起的形變。二、問題歸類解析（一）：平衡態(tài)發(fā)生在瞬時突變時的問題1：彈簧與細繩模型如圖1所示，一條輕彈簧和一根細繩共同拉住一個質(zhì)量為的小球，平衡時細線是水平的，彈簧與豎直方向的夾角是，若突然剪斷細線瞬間，彈簧拉力大小是多少？將彈簧改為細繩，剪斷的瞬間上張力如何變化？解析：繩未斷時處于平衡態(tài)，即 剪斷的瞬間，瞬時消失，但彈簧上的形變沒有改變，所以彈力不變，則和的合力與相平衡 ，即： 換為細繩，張力隨外界條件的變化發(fā)生瞬時突變，如圖2所示，則沿繩方向瞬態(tài)平衡；重力的分力使物體向最低位置運動，即：從而使物體沿圓周運動，遵循機械能守恒定律：細繩和桿的平衡類問題：例2：如圖3所示：一塊長木板長為，距端處由一個固定的軸，（1）：若另一端用輕繩拉住，使木板呈水平狀態(tài)，繩和木板的夾角，輕繩能承受的最大拉力，如果一個重為的人在該木板上行走，求活動范圍為多少？（2）：若其它條件都不變，端用輕桿拉住，且輕桿承受的最大拉力也為，求人的活動范圍是多少？解析：從向行走，人對地板的壓力和板自身的重力產(chǎn)生的力矩與繩拉力產(chǎn)生的力矩相平衡，設人距端為， 代入數(shù)據(jù)解得：向運動，在之間，臨界狀態(tài)是繩中張力為零，即： 人的活動范圍點右側(cè)，左側(cè)換成細桿，人向點運動和繩相同，向左側(cè)運動有別與繩模型，因為桿可提供斜向下的壓力，從而使人的活動范圍增加：人的活動范圍點右側(cè), 左側(cè)（二）繩、桿模型在曲線運動中的應用受思維定勢的影響，解決力和運動問題時，往往是已知受力情況解決運動狀態(tài)，但桿模型的自身的特點，決定由運動狀態(tài)判斷物體的受力情況，從而判斷出彈力的方向。例3：如圖4所示，桿和相結(jié)于處，夾角為，豎直放置，桿的端連接一個質(zhì)量為的小球，點到球心的距離，現(xiàn)以為軸勻速轉(zhuǎn)動，求：桿受到的彈力？解析：球以為圓心，為半徑做勻速圓周運動（彈力T是否沿桿取決于運動狀態(tài)）豎直方向上彈力的分力與相平衡，則： 轉(zhuǎn)化為已知合力和一分力求另一分力的問題， 與豎直方向的夾角，張力不再沿輕桿。引申：1：求為何值時，彈力沿此桿？2：換用細繩，夾角為時為多大？此問題的關(guān)鍵是：轉(zhuǎn)動半徑由桿長和桿與軸之間的夾角確定，彈力隨運動狀態(tài)而發(fā)生變化，繩模型的運動平面和半徑及其與軸之間的夾角由運動狀態(tài)而決定。原型啟發(fā)是：如圖5所示，小車上固定一個彎成角的輕桿，桿的另一端固定一個質(zhì)量為的小球，試分析下列狀態(tài)下桿上的彈力？(1)、小車靜止或向右勻速直線運動？(2)、小車以加速度水平向右運動？解析：球處與平衡態(tài)，則：；彈力與豎直方向的夾角為，則： 即彈力隨加速度的變化而發(fā)生改變。、繩模型在勻速圓周運動中的應用：根據(jù)實際物理場景，分為約束與非約束兩類問題：思路：根據(jù)運動狀態(tài)確定受力情況；技巧：首先三個確定（確定軌道平面、圓心、圓周半徑），其次分析向心力的來源；解決問題的關(guān)鍵：確定臨界狀態(tài)，分析臨界條件，以此作為分界點加以討論，并研究已知狀態(tài)所處的運動范圍，從而分析受力情況。典型的問題就是圓錐擺，即：受到約束，受到3個力：；處于臨界狀態(tài)，受到2個力：飄離圓錐體，受到：，在新的運動狀態(tài)下與軸向的夾角發(fā)生改變例5、長為的繩子，下端連接質(zhì)量為的小球，上端懸于天花板上，當把繩子拉直時，繩子與軸向的夾角成，此時小球靜止于光滑的水平桌面上，當小球以下列情況下做圓錐擺運動時，求繩子上的彈力和對桌面的壓力？（1）： 做圓錐擺運動;（2）：做圓錐擺運動；解析：初始處于平衡狀態(tài)，地面對物體豎直向上的作用力；當球以為圓心，以為半徑在光滑地板上做圓周運動時，受作用，設角速度為時地面對球的彈力，則：(1)受力如圖所示 解得（2）：球?qū)h離桌面做勻速圓周運動，設與軸線的夾角為，受力如圖所示： （區(qū)別于桿模型是半徑不變）引申練習：1、長為的輕繩，兩端分別固定于一根豎直棒上，相距為的兩點，一個質(zhì)量為的光滑小圓環(huán)套在繩子上，當豎直棒以一定的角速度轉(zhuǎn)動時，圓環(huán)以為圓心在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，求此繩上的彈力？（解析：設半徑為， 解得：此題的關(guān)鍵是圓環(huán)與繩光滑相套連接，隨運動狀態(tài)的不同，而使運動的平面、圓心、半徑而發(fā)生變化，如圖所示的場景是特定條件下的臨界情況。 2、兩繩系一個的小球，兩繩另兩端分別固定于軸上兩處，上面繩長，兩繩都拉直時與軸之間的夾角分別是問球的角速度在什么范圍內(nèi)兩繩始終張緊？當角速度為時，上下兩繩的拉力分別為多少？（解析：半徑不變時，臨界條件是剛好拉直，張力為零，上的張力的分力提供向心力，最??；剛好拉直，張力為零，上的張力的分力提供向心力，最大。）、繩、桿模型在非勻速圓周運動中的應用：運動學特征：的大小隨位置而發(fā)生改變，包括兩部分，合不再指向圓心；動力學特征：包括兩部分：，合外力不再指向圓心，彈力不做功，整個過程遵循機械能守恒定律；依據(jù)運動情況分為臨界極值和突變兩類問題：（）、臨界極值問題：物體在豎直平面內(nèi)做變速圓周運動，中學物理僅研究通過最高點和最低點的兩類情況。A、沒有物體支撐的圓周運動，有繩模型和沿光滑內(nèi)軌道運動的兩類場景：本質(zhì)上都是自身的重力和指向圓心的彈力之和提供向心力，如圖9所示：臨界條件： 解得：稱為維持圓周運動的臨界速度；討論：，繩和光滑軌道內(nèi)側(cè)提供指向圓心，沿徑向里的彈力； 無法到達最高處，未到之前就開始做斜上拋運動。B、有物體支撐的非勻速圓周運動：典型問題是：桿和沿光滑彎管內(nèi)部運動的模型：如圖10所示：由于硬桿和彎管內(nèi)壁的支撐，最高處的臨界速度可以為，處于亞穩(wěn)平衡，受到空氣的擾動，便會偏離平衡位置，由于機械能守恒，仍能做完整的圓周運動，球在的條件下仍能到達最高點的原因是發(fā)生了扭轉(zhuǎn)形變，彈性勢能向球的動能轉(zhuǎn)化，討論： 沿徑向向里，擠壓外壁或拉伸細桿。例6、把一內(nèi)壁光滑的細鋼管彎成圓弧形狀，豎直放置，一個小球從管口的正上方處自由下落，小球恰好到達彎管的管口處；若小球從處自由下落，則它能從管口的運動到，又飛回管口，求：解析：在整個過程中機械能守恒，取過管口和圓心的平面為零勢能面，由于小球恰能到達處，速度剛好為，小球從到過程中，做平拋運動， 機械能守恒例7、如圖12所示，水平光滑絕緣軌道與半徑為的光滑絕緣軌道平滑連接，勻強電場的場強為，方向水平向左，一個質(zhì)量為的帶電滑塊所受的電場力等與重力，在點由靜止釋放，它能沿圓軌道運動到與圓心等高的點，求至少多長方能滿足條件？分析：原型啟發(fā)：繩模型；關(guān)鍵：等效重力場中的最高點；隱含條件；最短，意味著帶點體到達等效最高點時，對軌道的壓力恰好為，向心力由等效重力來提供。解：在軌道圓心處做與的合力，對角線的反向延長線與軌道相交于處，則點為等效重力場的最高點，由題意分析可得： (2) 由動能定理可得：聯(lián)立解得：（）、突變問題：在某一瞬間，物體由一種狀態(tài)變化到另一種狀態(tài)，從而引起運動和受力在短時間內(nèi)發(fā)生急劇的變化，物理學上稱之為突變問題。在突變過程中往往伴隨著能量的轉(zhuǎn)移或損耗，繩模型在沿徑向張緊瞬間，將其方向上的能量損耗掉；桿模型往往將其能量發(fā)生轉(zhuǎn)移。例8、輕桿長為L，一端用光滑軸固定，另一端系一個可視為質(zhì)點，質(zhì)量為的小球，把小球拉至圖13所示的位置，無初速度地自由釋放到最低處的過程中，小球做什么運動？到最低處時速度多大？彈力多少？若其它條件不變，把輕桿換為細繩，則釋放后小球做什么運動？到最低處時速度多大？彈力為多少？解析：桿與球相連，做非勻速圓周運動，其軌跡為圓的一部分，只有重力做功，故而機械能守恒，選取最低處為零勢能面，則： (2)，即只有重力勢能向動能的轉(zhuǎn)化，無能量損耗。繩連接時，球由到做自由落體運動，設處的速度為，且方向豎直向下，選取點為零能面，關(guān)于水平線對稱： (3)所以在處 按圖示的方向分解，在繩猛然拉緊的瞬間，將徑向的動能損耗掉，由到的過程中，只有重力做功，機械能守恒，選取點為零能面則： 解得：則處是繩子張緊的突變點。練習：1、如圖14所示，長為2米不可伸長的輕繩，一端系于固定點，另一端系一個質(zhì)量為的小球，將小球從點正下方處水平向右拋出，經(jīng)一段時間繩被拉直，拉直時繩與豎直方向的夾角成，以后小球以點為懸點，在豎直平面內(nèi)擺動，試求在繩被拉直的過程中，沿繩方向上的合力給小球的沖量？()解析：球先做平拋運動，則：從開始向最低點做圓周運動，把沿徑向和圓弧的切向分解為：；徑向的動量為0，且：2、帶電小球用絕緣輕繩懸掛在勻強電場中，