第七章--空間解析幾何與向量代數.doc

第七章 空間解析幾何與向量代數1求點(2,3,1)關于：（1）各坐標面；（2）各坐標軸；（3）坐標原點的對稱點. 解答：（1）xOy面：，yOz面：，zOx面：； （2）x軸：，y軸：，z軸：； （3） 所屬章節(jié)：第七章第一節(jié)難度：一級2求點（4，3，5）到坐標原點和各坐標軸的距離.解答：點（4，3，5）到坐標原點的距離為，點（4，3，5）到軸的距離為，點（4，3，5）到軸的距離為，點（4，3，5）到軸的距離為.所屬章節(jié)：第七章第一節(jié)難度：一級3把兩點（1，1，1）和（1，2，0）間的線段分成兩部分，使其比等于2：1，試求分點的坐標. 解答：設分點坐標為，則由條件，解得，即所求分點坐標為.所屬章節(jié)：第七章第一節(jié)難度：一級4設立方體的一個頂點在原點，三條棱分別在三條坐標軸的正半軸上，已知棱長為a，求各頂點的坐標. 解答：各頂點的坐標為：所屬章節(jié)：第七章第一節(jié)難度：一級5在yOz平面上求一點，使它與點A（3，1，2），點B（4，2，2）和點C（0，5，1）的距離相等.解答：設所求點為，則由條件有，故，解得.即所求點為.所屬章節(jié)：第七章第一節(jié)難度：一級6在z軸上求一點，使它到點A（4，1，7）和點B（3，5，2）的距離相等. 解答：設所求點為，則由條件有，故，解得.即所求點為.所屬章節(jié)：第七章第一節(jié)難度：一級7已知向量a和b的夾角為60，且試求和解答：由于，代入已知條件，即可得；又由于，故.所屬章節(jié)：第七章第三節(jié)難度：二級8設向量a和b的夾角為，且試求：（1）（2）解答：（1）； （2）.所屬章節(jié)：第七章第三節(jié)難度：二級9設其中向量a和b的夾角為，試求及.解答：；由于，所以.所屬章節(jié)：第七章第三節(jié)難度：二級10設且問： （1）k為何值時， （2）k為何值時，A與B為鄰邊的平行四邊形面積為6.解答：(1) 要使，則，即，代入條件即，解得； （2）要使以A與B為鄰邊的平行四邊形面積為6，即，代入條件即，解得或所屬章節(jié)：第七章第四節(jié)難度：二級11已知向量a+3b垂直于向量7a5b,向量a4b垂直于向量7a2b,試求向量a與b的夾角.解答：因為a+3b7a-5b，a-4b7a-2b，所以 (a+3b)(7a-5b)=0, (a-4b)(7a-2b)=0， 即 7|a|2+16ab-15|b|2 =0, 7|a|2-30ab+8|b|2 =0，由以上兩式可得 , 于是 ，.所屬章節(jié)：第七章第三節(jié)難度：二級12設求：解答：.所屬章節(jié)：第七章第四節(jié)難度：二級13設試求下列各向量的坐標： （1） （2） （3）解答：（1）； （2）； （3）.所屬章節(jié)：第七章第二節(jié)難度：一級14求向量的模以及它與坐標軸之間的夾角.解答：；與坐標軸的夾角余弦分別為，故與坐標軸的夾角分別為.所屬章節(jié)：第七章第二節(jié)難度：一級15已知一向量的起點是A(2,2,5),終點是B(1,6,7),試求： （1）向量在各坐標軸上的投影； （2）向量的模和方向余弦； （3）的單位向量.解答：由于向量，所以（1）向量在各坐標軸上的投影為（2）向量的模，方向余弦為； （3）的單位向量.所屬章節(jié)：第七章第二節(jié)難度：一級16已知向量的起點坐標為（2，0，5），求它的終點坐標.解答：終點坐標為.所屬章節(jié)：第七章第二節(jié)難度：一級17 已知向量的終點為B（2，1，7），它在坐標軸上的投影依次為4、4和7，求該向量起點A的坐標.解答：起點A的坐標.所屬章節(jié)：第七章第二節(jié)難度：一級18已知向量求與同向的單位向量.解答：由于，單位化，與同向的單位向量為.所屬章節(jié)：第七章第二節(jié)難度：一級19設向量且，試求l與m的值.（題目與解答不統一）如果題目中向量為，則答案為即原參考答案，下面按原題解答.參考答案：解答：由于，所以，解得或.所屬章節(jié)：第七章第二節(jié)難度：一級20已知向量試求與解答：；.所屬章節(jié)：第七章第四節(jié)難度：一級21已知和，試求向量在向量上的投影.解答：，.所屬章節(jié)：第七章第四節(jié)難度：一級22設直線L通過點（2，1，3）和（0，1，2），求點（10，5，10）到直線L的距離.解答：設，點到直線的距離為，則利用，解得.所屬章節(jié)：第七章第四節(jié)難度：二級23求點（1，3，2）關于點（1，2，1）的對稱點.解答：設，所求點為，由題意知，即，解得.所屬章節(jié)：第七章第四節(jié)難度：一級24求以向量為相鄰三棱的平行六面體的體積.解答：由于，所以所求六面體的體積為.所屬章節(jié)：第七章第四節(jié)難度：三級25試證和四點共面. 解答：由題意，由于，所以四點共面.所屬章節(jié)：第七章第四節(jié)難度：三級26確定球面的球心和半徑.參考答案：球心（本題參考答案有誤）解答：將原方程配方，得，故球心為，半徑為.所屬章節(jié)：第七章第五節(jié)難度：一級27一球面過坐標原點和三點，試確定該球面的方程. 參考答案：解答：設球面的方程為，將它所經過的四個點的坐標代入，即可解得，即球面方程為.所屬章節(jié)：第七章第五節(jié)難度：二級28試求與距離相等的點的軌跡方程.參考答案：解答：設動點坐標為，則由條件有，故有，化簡得.所屬章節(jié)：第七章第五節(jié)難度：一級29指出下列方程所表示的曲面：（1） （2） （3） （4）解答：（1）母線平行于z軸的圓柱面； （2）母線平行于z軸的雙曲柱面； （3）母線平行于x軸的橢圓柱面； （4）母線平行于x軸的拋物柱面.所屬章節(jié)：第七章第五節(jié)難度：一級30說明下列旋轉曲面是如何形成的并寫出其名稱：（1） （2） （3） （4）解答：（1）旋轉單葉雙曲面，它是由雙曲線或繞y軸旋轉而成； （2）旋轉拋物面，它由拋物線或繞z軸旋轉而成； （3）旋轉雙葉雙曲面，它是由雙曲線或繞z軸旋轉而成； （4）圓錐面，它由相交的兩條直線或繞z軸旋轉而成.所屬章節(jié)：第七章第五節(jié)難度：一級31建立下列旋轉曲面的方程： （1）曲線繞x軸旋轉一周所生成的旋轉曲面； （2）yOz平面上的橢圓繞z軸旋轉一周所生成的曲面； （3）xOy平面上的雙曲線繞y軸和x軸旋轉一周所生成的曲面； （4）直線繞x軸旋轉一周所生成的曲面.解答：（1） （2） （3）繞y軸： 繞x軸： （4）所屬章節(jié)：第七章第五節(jié)難度：一級32指出下列方程所表示的曲線： （1） （2） （3） （4） （5）解答：（1）平面x=3上的圓； （2）平面y=1上的圓； （3）平面x=2上的雙曲線； （4）平面z=1上的拋物線； （5）平面x=2上的橢圓.所屬章節(jié)：第七章第五節(jié)難度：一級33求曲線在xOy平面上的投影曲線.（原參考答案有誤）解答：在所給方程中消去，得，加上，即得.所屬章節(jié)：第七章第五節(jié)難度：一級34求曲線在xOy平面上的投影曲線.解答：在所給方程中消去，得，加上，即得.所屬章節(jié)：第七章第五節(jié)難度：一級35求下列曲線在xOy平面上的投影： （1） （2） 解答：（1）在所給方程中消去，得，加上，即得； （2）在所給方程中消去，得，加上，另外由知，故，于是投影曲線為 且.所屬章節(jié)：第七章第五節(jié)難度：二級36求曲線在各坐標面上的投影：?解答：xOy面： yOz面：且 xOz面：且 所屬章節(jié)：第七章第五節(jié)難度：二級37求下列各平面的方程： （1）平行與（于）Oy軸，且通過點（1，5，1）和（3，2，2）； （2）通過Ox軸和點（4，3，1）；（3）平行于xOz平面，且通過點（3，2，7）.解答：（1）由于所求平面平行于Oy軸，故可設方程為，將另外兩點坐標代入即得； （2）由于所求平面通過Ox軸，故可設方程為，將另一點坐標代入即得； （3）由于所求平面平行于xOz平面，故可設方程為，又通過點，故.所屬章節(jié)：第七章第六節(jié)難度：一級38. 設點P（3，6，2）為原點到一平面的垂足，求該平面的方程.解答：法向量為，所求平面的方程為，即.所屬章節(jié)：第七章第六節(jié)難度：一級39求通過兩點（8，3，1）和（4，7，2），且垂直于平面的平面方程.解答：由條件可設法向量為，由點法式方程得.所屬章節(jié)：第七章第六節(jié)難度：二級40求通過點且垂直于兩平面和的平面方程. 解答：由條件可設法向量為，由點法式方程得.所屬章節(jié)：第七章第六節(jié)難度：二級41求一個通過點和且平行y軸的平面方程. 解答：由條件可設法向量為，由點法式方程得.所屬章節(jié)：第七章第六節(jié)難度：二級42求a和b的值，使： （1）平面與平行； （2）平面與垂直. 解答：（1）要使平面與平行，則兩個法向量平行，故有，解得； （2）要使平面與垂直，必須兩個法向量垂直，故有，解得.所屬章節(jié)：第七章第六節(jié)難度：一級43求過點（2，3，8）且平行于直線的直線方程. 解答：由于兩直線平行，方向向量相同，故得所求直線方程.所屬章節(jié)：第七章第七節(jié)難度：一級44求過點（4，2，3）且垂直于平面的直線方程. 解答：由于所求直線垂直于已知平面，它的方向向量與該平面的法向量相同，即，于是所求方程為.所屬章節(jié)：第七章第七節(jié)難度：一級45求過點（1，2，1）且平行于直線的直線方程. 解答：已知直線的方向向量為，所求直線方向向量與它相同，于是所求直線方程為.所屬章節(jié)：第七章第七節(jié)難度：二級46試求下列直線的標準方程： （1） （2） 解答：（1）令，代入方程，求得直線上一點坐標為，方向向量為，于是標準方程為（2）令，代入方程，求得直線上一點坐標為，方向向量為，于是標準方程為所屬章節(jié)：第七章第七節(jié)難度：二級47確定下列直線與平面的位置關系： （1）與 （2）與解答：（1）直線的方向向量，平面的法向量，易證，故所給直線與平面平行；（2）直線的方向向量，平面的法向量，易證，故所給直線與平面垂直.所屬章節(jié)：第七章第七節(jié)難度：一級48確定下列直線間的平行或垂直關系： （1）與 （2）與解答：（1）直線的方向向量為，直線的方向向量為， 由于它們平行，所以兩條直線平行； （2）直線的方向向量為，直線的方向向量為， 由于它們垂直，所以兩條直線垂直.所屬章節(jié)：第七章第七節(jié)難度：二級49求直線與平面的交點和交角.參考答案： （參考答案有誤？）解答：將直線方程改寫成參數形式，代入所給平面方程，解得，再代回直線方程，即得交點； 由于直線的方向向量為，平面的法向量，所以交角的正弦為，于是交角為. 所屬章節(jié)：第七章第七節(jié)難度：二級50求點（3，1，1）在平面上的投影.解答：過已知點向已知平面作垂線，參數形式為，代入已知平面解得參數，于是交點也即所求投影點為.所屬章節(jié)：第七章第七節(jié)難度：二級51求點（2，3，1）在直線上的投影.解答：過已知點作垂直于已知直線的平面，再將已知直線的參數方程代入，即得參數，兩者交點即所求投影點為.所屬章節(jié)：第七章第七節(jié)難度：二級52在平面上求作一直線，使它與直線垂直相交.解答：由于所求直線與直線垂直，故可作平面平行與該已知直線，得平面方程，聯立已知平面方程，得一條直線，又由于所求直線與直線相交，將代入直線方程，可得，于是所求直線方程為，即.所屬章節(jié)：第七章第七節(jié)難度：三級53通過點（1，0，4）作一直線，使它平行于平面且與直線 相交.解答：過點（1，0，4）作一平面，使它平行于平面，得，由于所求直線與已知直線 相交，將已知直線方程化為參數方程，代入平面方程，得交點，此為所求直線上另一點，過兩點作出直線，即為所求.所屬章節(jié)：第七章第七節(jié)難度：三級54求兩異面直線和之間的距離.解答：分別在兩條已知直線上任取一點，如取，連接兩點得向量，作與兩條已知直線都垂直的向量，則所求距離為.所屬章節(jié)：第七章第七節(jié)難度：三級55一直線通過點（1，2，1）并與相交，且垂直于直線求它的方程.解答：過已知點作垂直于已知直線的平面，得，它與已知直線交于點，連接，即得所求直線.所屬章節(jié)：第七章第七節(jié)難度：二級56求通過直線且平行于直線的平面方程.解答：過直線的平面束為，即，由于它與直線平行，故，解得，于是所求