高中數(shù)學(xué)第一章1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理學(xué)案.docx

1.1.2余弦定理1理解用向量的工具推導(dǎo)余弦定理的過(guò)程，并能初步運(yùn)用余弦定理解斜三角形2掌握三角形的面積公式3能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理、面積公式等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量及幾何計(jì)算有關(guān)的三角形問(wèn)題1余弦定理公式表達(dá)語(yǔ)言敘述推論a2_三角形任何一邊的平方等于_cos A_b2_cos B_c2_cos C_(1)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間關(guān)系的客觀規(guī)律，是解三角形的重要工具；(2)余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例；(3)在余弦定理中，每一個(gè)等式均含有四個(gè)量，利用方程的觀點(diǎn)，可以知三求一；(4)運(yùn)用余弦定理時(shí)，因?yàn)橐阎吳蠼牵蛞阎獌蛇吋皧A角求另一邊，由三角形全等的判定定理知，三角形是確定的，所以解也是唯一的【做一做11】在ABC中，AB1，BC2，B60，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)【做一做12】在ABC中，a2c2b2ab，則C_.2余弦定理的應(yīng)用(1)利用余弦定理判斷三角形的形狀由余弦定理，當(dāng)邊c為最大邊時(shí)，如果c2a2b2，則ABC為_(kāi)三角形；如果c2a2b2，則ABC為_(kāi)三角形；如果c2a2b2，則ABC為_(kāi)三角形(2)利用余弦定理可以解決有關(guān)斜三角形的問(wèn)題已知三邊，_；已知兩邊和它們的夾角，求_和其他_；已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解斜三角形時(shí)，也可用余弦定理，如已知a，b，A，可先用余弦定理_，求出c，此時(shí)c的個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù)使用余弦定理求角時(shí)，一般在判斷三條邊的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于60或最小角大于60，可知三角形無(wú)解【做一做21】在ABC中，若sin Asin Bsin C234，則該三角形的形狀為()A直角三角形B等邊三角形C銳角三角形 D鈍角三角形【做一做22】在ABC中，已知c2acos B，則ABC的形狀為_(kāi)三角形3三角形的面積公式(1)Saha(ha表示a邊上的高)；(2)Sabsin C_；(3)Sr(abc)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)；(4)S(其中p(abc)【做一做31】在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a1，B45，SABC2，則c_.【做一做32】已知三角形的周長(zhǎng)為12，內(nèi)切圓的半徑為1，則SABC_.一、三角形中的四類基本問(wèn)題剖析：解三角形的問(wèn)題可以分為以下四類：(1)已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形此種情況的基本解法是先由正弦定理求出另一條邊所對(duì)的角，用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，再用正弦定理求出第三邊，注意判斷解的個(gè)數(shù)(2)已知三角形的兩角和任一邊，解三角形此種情況的基本解法是若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí)，可由正弦定理求另一邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，再由正弦定理求第三邊若所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí)，先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角，再由正弦定理求另外兩邊(3)已知兩邊和它們的夾角，解三角形此種情況的基本解法是先用余弦定理求第三邊，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角(4)已知三角形的三邊，解三角形此種情況的基本解法是先用余弦定理求出一個(gè)角，再用正弦定理或余弦定理求出另一個(gè)角，最后用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角二、教材中的“？”在ABC中，令c，b，a，你能通過(guò)計(jì)算|a|2aa證明余弦定理嗎？剖析：如圖所示，|a|2aaa2()()22222|cos A2b2c22bccos A，即a2b2c22bccos A同理可證b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C除了向量法和幾何法來(lái)證明余弦定理外，我們還可以用坐標(biāo)法或正弦定理來(lái)解決(1)坐標(biāo)法：如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A，B，C的坐標(biāo)分別為A(0,0)，B(ccos A，csin A)，C(b,0)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得a|BC|，a2c2cos2A2bccos Ab2c2sin2A，即a2b2c22bccos A同理可得b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C(2)(用正弦定理證明)因?yàn)閍2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，所以b2c22bccos A4R2(sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos A)4R2sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos (BC)4R2(sin2Bsin2C2sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos Bcos C)4R2sin2B(1sin2C)sin2C(1sin2B)2sin Bsin Ccos Bcos C4R2(sin2Bcos2C2sin Bsin Ccos Bcos Csin2Ccos2B)4R2sin2(BC)4R2sin2Aa2.同理可證b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C題型一 用余弦定理解三角形【例1】在ABC中：(1)a1，b1，C120，求c；(2)a3，b4，c，求最大角；(3)abc12，求A，B，C分析：(1)直接利用余弦定理即可；(2)在三角形中，大邊對(duì)大角；(3)可設(shè)三邊為x，x,2x.反思：(1)本例為余弦定理的最基本應(yīng)用，要在此基礎(chǔ)上熟練地掌握余弦定理的結(jié)構(gòu)特征(2)對(duì)于第(3)小題，根據(jù)已知條件，設(shè)出三邊長(zhǎng)，由余弦定理求出A，進(jìn)而求出其余兩角另外也可由邊長(zhǎng)關(guān)系，判斷出C為直角，再求角題型二 判斷三角形的形狀【例2】在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，試確定ABC的形狀分析：利用余弦定理先求出A60，再根據(jù)三角變換公式求得BC反思：(1)判斷三角形的形狀是看該三角形是否為某特殊的三角形(如銳角、直角、鈍角、等腰、等邊三角形等)(2)對(duì)于給出條件是邊角關(guān)系混合在一起的問(wèn)題，一般地，應(yīng)運(yùn)用正弦定理和余弦定理，要么統(tǒng)一為邊的關(guān)系，要么統(tǒng)一為角的關(guān)系再利用三角形的有關(guān)知識(shí)、三角恒等變形方法、代數(shù)恒等變形方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化、化簡(jiǎn)，從而得出結(jié)論(3)常見(jiàn)結(jié)論：設(shè)a，b，c分別是ABC的角A，B，C的對(duì)邊，若a2b2c2，則C90；若a2b2c2，則C90；若a2b2c2，則C90；若sin 2Asin 2B，則AB或AB.題型三 三角形的面積公式的應(yīng)用【例3】在ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.求：(1)B的大??；(2)若b，ac4，求ABC的面積分析：先由余弦定理求出B，再結(jié)合條件列方程求出ac，利用面積公式求出ABC的面積反思：求三角形的面積，要充分挖掘題目中的條件，轉(zhuǎn)化為求兩邊及夾角的正弦問(wèn)題，要注意方程思想在解題中的應(yīng)用題型四 正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例4】(2011山東高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若cos B，b2，求邊a.分析：(1)利用正弦定理及三角變換公式對(duì)已知等式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；(2)利用余弦定理列出方程，并且用上(1)中的結(jié)論即可求出a.反思：正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用關(guān)鍵要明確已知的邊和角及所求，正弦定理尤其在邊角轉(zhuǎn)化方面功能顯著余弦定理的使用要注意選擇好“第三邊”，這樣才能列出有效的方程，再者要熟練掌握三角變換公式，這在解三角形中經(jīng)常用到題型五 易錯(cuò)辨析【例5】在銳角ABC中，b1，c2，則a的取值范圍是()A1a3 B1aCa D不確定錯(cuò)解：由三角形的性質(zhì)，知cba，得a1.又A為銳角，從而cos A0，得0a.所以1a.故選B錯(cuò)因分析：上述解法忽視了三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，即ABC180，cos A0只能推出A為銳角，而不能推出ABC一定為銳角三角形，因?yàn)锳BC180，所以當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí)，不僅cos A0，還必須滿足cos B0，cos C0.【例6】在ABC中，已知a2，b2，C15，求A錯(cuò)解：由余弦定理，得c2a2b22abcos C4822284，所以c.又由正弦定理，得sin A.因?yàn)?A180，所以A30或150.錯(cuò)因分析：沒(méi)有注意到ba這一隱含條件，致使增解1在ABC中，bcos Aacos B，則三角形的形狀為()A直角三角形 B銳角三角形C等腰三角形 D等邊三角形2在ABC中，已知三邊a，b，c滿足(abc)(abc)3ab，則C等于()A15 B30C45 D603在ABC中，a，b，c分別為A，B，C的對(duì)邊，如果bc2，A60，ABC的面積為，那么a為()A BC10 D64在ABC中，AB3，BC，AC4，則sin A_.5(2012北京昌平高三一模)在ABC中，cos 2Acos2 Acos A(1)求角A的大小；(2)若a3，sin B2sin C，求SABC答案：基礎(chǔ)知識(shí)梳理1b2c22bccos Aa2c22accos Ba2b22abcos C其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍【做一做11】由余弦定理，得AC21222212cos 603.AC.【做一做12】602(1)直角銳角鈍角(2)求三個(gè)角第三邊兩個(gè)角a2b2c22bccos A【做一做21】D【做一做22】等腰3(2)bcsin Aacsin B【做一做31】4【做一做32】6典型例題領(lǐng)悟【例1】解：(1)由余弦定理，得c2a2b22abcos C1212211()3，c.(2)顯然C最大cos C，C120.(3)由于abc12，可設(shè)ax，bx，c2x.由余弦定理，得cos A，A30.同理cos B，cos C0，B60，C90.【例2】解：(abc)(bca)3bc，a2b2c2bc.而a2b2c22bccos A，2cos A1.cos AA60.又sin Asin (BC)sin Bcos Ccos Bsin C，sin A2sin Bcos C，sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin (BC)0，BC.又BC120，ABC60.故ABC為等邊三角形【例3】解：(1)，整理，得a2c2b2ac，cos B，從而B(niǎo)120.(2)由(1)得a2c2ac13.又ac4，a2c22ac16.由，得ac3，SABCacsin B3sin 120.【例4】解：(1)由正弦定理，得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，所以，即sin Bcos A2sin Bcos C2sin Ccos Bsin Acos B，即有sin (AB)2sin (BC)，即sin C2sin A，所以2.(2)由(1)知2，即c2a，又因?yàn)閎2，所以由余弦定理，得：b2a2c22accos B，即224a2a22a2a，解得a1.【例5】C正解：由三角形的性質(zhì)，知cba，得a1.又由cos A0，得0a.由cos B0，得aR.由cos C0，得a.綜上，知a.【例6】正解：由余弦定理，得c2a2b22abcos C84，所以c.又由正弦定理，得sin A.因