二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用及建模應(yīng)用.doc

學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考二次函數(shù)的建模 知識(shí)歸納：求最值的問(wèn)題的方法歸納起來(lái)有以下幾點(diǎn)：1運(yùn)用配方法求最值；2構(gòu)造一元二次方程，在方程有解的條件下，利用判別式求最值；3建立函數(shù)模型求最值；4利用基本不等式或不等分析法求最值一、利用二次函數(shù)解決幾何面積最大問(wèn)題 1、如圖1，用長(zhǎng)為18米的籬笆（虛線(xiàn)部分）和兩面墻圍成矩形苗圃。 (1)設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x（米），面積為y（平方米），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)x為何值時(shí)，所圍成的苗圃面積最大？最大面積是多少？解：（1）設(shè)矩形的長(zhǎng)為x（米），則寬為（18- x）（米）， 根據(jù)題意，得：； 又（自變量x的取值范圍是關(guān)鍵，在幾何類(lèi)題型中，經(jīng)常采用的辦法是：利用含有自變量的加減代數(shù)式的邊長(zhǎng)來(lái)確定自變量的取值范圍，例如上式中，18-x，就是含有自變量的加減代數(shù)式，考慮到18-x是邊長(zhǎng)，所以邊長(zhǎng)應(yīng)該0，但邊長(zhǎng)最長(zhǎng)不能超過(guò)18，于是有018-x18，0x18）（2）中，a= -10，y有最大值，即當(dāng)時(shí)， 故當(dāng)x=9米時(shí)，苗圃的面積最大，最大面積為81平方米。 點(diǎn)評(píng)：在回答問(wèn)題實(shí)際時(shí)，一定注意不要遺漏了單位。2、如圖2，用長(zhǎng)為50米的籬笆圍成一個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)，養(yǎng)雞場(chǎng)的一面靠墻。問(wèn)如何圍，才能使養(yǎng)雞場(chǎng)的面積最大？ 解：設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為x（米），面積為y（平方米），則寬為（）（米）， 根據(jù)題意，得：；又中，a=0，y有最大值，即當(dāng)時(shí)，故當(dāng)x=25米時(shí)，養(yǎng)雞場(chǎng)的面積最大，養(yǎng)雞場(chǎng)最大面積為平方米。 3、將一條長(zhǎng)為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)做成一個(gè)正方形 (1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是多少? (2)兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎? 若能，求出兩段鐵絲的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：（1）設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20-x）cm 由題意得： 解得： 當(dāng)時(shí)，20-x=4；當(dāng)時(shí)，20-x=16 答：這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是16厘米、4厘米。 （2）不能。理由是：設(shè)第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，圍成兩個(gè)正方形的面積為ycm2， 根據(jù)題意，得：， 中，a= 20，y有最小值，即當(dāng)時(shí)，=12.512故兩個(gè)正方形面積的和不可能是12cm2. 4、如圖，正方形EFGH的頂點(diǎn)在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的邊上，若AE=x，正方形EFGH的面積為y. (1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)正方形EFGH有沒(méi)有最大面積？若有，試確定E點(diǎn)位置；若沒(méi)有，說(shuō)明理由. 解：四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a米的正方形，A=D=90，AD= a米 四邊形EFGH為正方形，F(xiàn)EH=90，EF=EH 在AEF與DHE中， A=D，AEF=DHE=90-DEH，EF=EH AEFDHE（AAS），AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米， y=EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2x2-2ax+ a2，即y=2x2-2ax+ a2； （2）y=2x2-2ax+ a2=2（x-）2+，當(dāng)x=時(shí)，S有最大值故當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，面積最大5、在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cms的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cms的速度移動(dòng)，如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng)（1）運(yùn)動(dòng)第t秒時(shí)，PBQ的面積y(cm)是多少？（2）此時(shí)五邊形APQCD的面積是S(cm)，寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍（3）t為何值時(shí)s最小，最小值時(shí)多少？答案：6、小明的家門(mén)前有一塊空地，空地外有一面長(zhǎng)10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準(zhǔn)備靠墻修建一個(gè)矩形花圃，他買(mǎi)回了32米長(zhǎng)的不銹鋼管準(zhǔn)備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準(zhǔn)備在花圃的中間再?lài)鲆粭l寬為一米的通道及在左右花圃各放一個(gè)1米寬的門(mén)（木質(zhì)）花圃的長(zhǎng)與寬如何設(shè)計(jì)才能使花圃的面積最大？ 解：設(shè)花圃的寬為x米, 則花圃的長(zhǎng)為（32-4x+3）=（35-4x）米,面積為S從而S=x(35-4x)-x=-4x+34x 035-4x10 6.25x8.75S=-4x+34x,對(duì)稱(chēng)軸x=4.25,開(kāi)口朝下當(dāng)x6.25時(shí)S隨x的增大而減小故當(dāng)x=6.25時(shí), 35-46.25=10S取最大值56.25.答：可設(shè)計(jì)成寬6.25米，長(zhǎng)10米的矩形花圃，這樣的花圃面積最大變式1：小明的家門(mén)前有一塊空地,空地外有一面長(zhǎng)10米的圍墻,為了美化生活環(huán)境,小明的爸爸準(zhǔn)備靠墻修建一個(gè)矩形花圃 ,他買(mǎi)回了32米長(zhǎng)的不銹鋼管準(zhǔn)備作為花圃的圍欄,花圃的寬寬究竟應(yīng)為多少米才能使花圃的面積最大? 解：設(shè)花圃的寬為x米, 則花圃的長(zhǎng)為（32-2x）米,面積為S設(shè)矩形面積為y米,得到：S=x（32-2x）=-2x+32x 032-2x10 11x 16由圖象或增減性可知x=11米時(shí),S最大=110米7：某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖(1)所示）是邊長(zhǎng)為0.4米的正方形ABCD，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖(2)所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH(1)判斷圖(2)中四邊形EFGH是何形狀，并說(shuō)明理由；(2)E、F在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最省？解：(1) 四邊形EFGH是正方形圖(2)可以看作是由四塊圖(1)所示地磚繞C點(diǎn)按順(逆)時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90后得到的，故CE=CF =CGCEF是等腰直角三角形因此四邊形EFGH是正方形 (2)設(shè)CE=x, 則BE=0.4x，每塊地磚的費(fèi)用為y元那么：y=x30+0.4(0.4-x)20+0.16-x-0.4(0.4-x)10 當(dāng)x=0.1時(shí)，y有最小值，即費(fèi)用為最省，此時(shí)CE=CF=0.1答：當(dāng)CE=CF=0.1米時(shí)，總費(fèi)用最省8、某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻(墻長(zhǎng)15m)的空地上建一個(gè)矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍成若設(shè)花園的寬為x(m) ，花園的面積為y(m)(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；（2）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)關(guān)系式，描述其圖象的變化趨勢(shì)；并結(jié)合題意判斷當(dāng)x取何值時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？解： 二次函數(shù)的頂點(diǎn)不在自變量的范圍內(nèi)，而當(dāng)內(nèi)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，(平方米)答：當(dāng)米時(shí)花園的面積最大，最大面積是187.5平方米9如圖，要建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，如果用50 m長(zhǎng)的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場(chǎng)，設(shè)它的長(zhǎng)度為x米(1)要使雞場(chǎng)面積最大，雞場(chǎng)的長(zhǎng)度應(yīng)為多少m？(2)如果中間有n(n是大于1的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場(chǎng)面積最大，雞場(chǎng)的長(zhǎng)應(yīng)為多少米？比較(1)(2)的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？ 解：(1)長(zhǎng)為x米，則寬為米，設(shè)面積為平方米當(dāng)時(shí)，(平方米)即：雞場(chǎng)的長(zhǎng)度為25米時(shí)，面積最大(2) 中間有道籬笆，則寬為米，設(shè)面積為平方米則：當(dāng)時(shí)，(平方米)由(1)(2)可知，無(wú)論中間有幾道籬笆墻，要使面積最大，長(zhǎng)都是25米即：使面積最大的值與中間有多少道隔墻無(wú)關(guān)10、(08山東聊城)如圖，把一張長(zhǎng)10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，再折合成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）（1）要使長(zhǎng)方體盒子的底面積為48cm2，那么剪去的正方形的邊長(zhǎng)為多少？（如果要問(wèn)，剪去四個(gè)正方形后的面積是多少）（2）你感到折合而成的長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積會(huì)不會(huì)有更大的情況？如果有，請(qǐng)你求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長(zhǎng)；如果沒(méi)有，請(qǐng)你說(shuō)明理由；（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個(gè)同樣大小的正方形和2個(gè)同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子，是否有側(cè)面積最大的情況；如果有，請(qǐng)你求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長(zhǎng)；如果沒(méi)有，請(qǐng)你說(shuō)明理由解：（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，則即解得（不合題意，舍去），剪去的正方形的邊長(zhǎng)為1cm（2）有側(cè)面積最大的情況設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，盒子的側(cè)面積為cm2，則與的函數(shù)關(guān)系式為：即改寫(xiě)為當(dāng)時(shí)，即當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為2.25cm時(shí)，長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大為40.5cm2（3）有側(cè)面積最大的情況設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，盒子的側(cè)面積為cm2若按圖1所示的方法剪折，則與的函數(shù)關(guān)系式為： 即當(dāng)時(shí)，若按圖2所示的方法剪折，則與的函數(shù)關(guān)系式為： 即當(dāng)時(shí)，比較以上兩種剪折方法可以看出，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側(cè)面積最大，即當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為cm時(shí)，折成的有蓋長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大，最大面積為cm211(08蘭州)一座拱橋的輪廓是拋物線(xiàn)型(如圖16所示)，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m（1）將拋物線(xiàn)放在所給的直角坐標(biāo)系中(如圖17所示)，求拋物線(xiàn)的解析式；（2）求支柱的長(zhǎng)度；（3）拱橋下地平面是雙向行車(chē)道(正中間是一條寬2m的隔離帶)，其中的一條行車(chē)道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車(chē)(汽車(chē)間的間隔忽略不計(jì))？請(qǐng)說(shuō)明你的理由解：（1）根據(jù)題目條件，的坐標(biāo)分別是設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，將的坐標(biāo)代入，得 解得所以?huà)佄锞€(xiàn)的表達(dá)式是（2）可設(shè)，于是 從而支柱的長(zhǎng)度是米（3）設(shè)是隔離帶的寬，是三輛車(chē)的寬度和，則點(diǎn)坐標(biāo)是過(guò)點(diǎn)作垂直交拋物線(xiàn)于，則根據(jù)拋物線(xiàn)的特點(diǎn)，可知一條行車(chē)道能并排行駛這樣的三輛汽車(chē)12、12、(2006年南京市)如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，線(xiàn)段EF=10在EF上取一點(diǎn)M，分別以EM、MF為一邊作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN矩形ABCD令MN=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EMNH的面積S有最大值？最大值是多少？解：矩形MFGN矩形ABCDMF=2MN =2x EM=10-2x S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ，當(dāng)x=2.5時(shí)，S有最大值12.513、已知邊長(zhǎng)為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1試在AB上求一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大面積 解：設(shè)矩形PNDM的邊DN=x，NP=y，則矩形PNDM的面積S=xy（2x4）易知CN=4-x，EM=4-y過(guò)點(diǎn)B作BHPN于點(diǎn)H則有AFBBHP，即，此二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=5，當(dāng)x5時(shí)，函數(shù)值隨的增大而增大，對(duì)于來(lái)說(shuō)，當(dāng)x=4時(shí)，【評(píng)析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力同時(shí)，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間14如圖，矩形ABCD的邊AB=6 cm，BC=8cm，在BC上取一點(diǎn)P，在CD邊上取一點(diǎn)Q，使APQ成直角，設(shè)BP=x cm，CQ=y cm，試以x為自變量，寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式解：APQ=90, APB+QPC=90.APB+BAP=90,QPC=BAP，B=C=90.ABPPCQ.15、如圖所示，在一個(gè)直角MBN的內(nèi)部作一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD，其中AB和BC分別在兩直角邊上，設(shè)AB=x m，長(zhǎng)方形的面積為y m2，要使長(zhǎng)方形的面積最大，其邊長(zhǎng)x應(yīng)為( D )Am B6 m C15 m Dm解：AB=x m，AD=，長(zhǎng)方形的面積為y m2 ADBC MADMBN ，即，, 當(dāng)時(shí)，有最大值 二、利用二次函數(shù)解決拋物線(xiàn)形建筑物問(wèn)題 1、如圖（1）是一個(gè)橫斷面為拋物線(xiàn)形狀的拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面2m，水面寬4m如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線(xiàn)的關(guān)系式是 .圖（1） 圖（2） 解：設(shè)此函數(shù)解析式為：，（a0）； 那么（2，-2）應(yīng)在此函數(shù)解析式上 則 即得， 那么 2、某地要建造一個(gè)圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線(xiàn)路徑落下，且在過(guò)OA的任一平面上，拋物線(xiàn)形狀如圖（1）所示.圖（2）建立直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系是.請(qǐng)回答下列問(wèn)題： (1)柱子OA的高度是多少米？ (2)噴出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不計(jì)其他因素，水池的半徑至少要多少米才能使噴出的水流不至于落在池外？ 解：（1）把x=0代入拋物線(xiàn)的解析式 得：y=，即柱子OA的高度是 （2）由題意得：當(dāng)x=時(shí)，y=,即水流距水平面的最大高度 （3）把y=0代入拋物線(xiàn) 得：=0，解得，x1=(舍去，不合題意)，x2= 故水池的半徑至少要米才能使噴出的水流不至于落在池外 3一座橋如圖，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米.要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)多少米. （1）如圖1，若把橋看做是拋物線(xiàn)的一部分，建立如圖坐標(biāo)系. 求拋物線(xiàn)的解析式； 要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)多少米? （2）如圖2，若把橋看做是圓的一部分. 求圓的半徑； 要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)多少米?解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為：，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米，A（10，0），B（10，0），D（0，4），解得：，拋物線(xiàn)解析式為：； 要使高為3米的船通過(guò)，則，解得：，EF=10米； （2）設(shè)圓半徑r米，圓心為W，BW2=BC2+CW2，解得：；在RTWGF中，由題可知，WF=14.5，WG=14.51=13.5，根據(jù)勾股定理知：GF2=WF2WG2，即GF2=14.5213.52=28，所以GF=，此時(shí)寬度EF=米 4.有一座拋物線(xiàn)形拱橋，正常水位橋下面寬度為20米，拱頂距離水平面4米，如圖建立直角坐標(biāo)系，若正常水位時(shí)，橋下水深6米，為保證過(guò)往船只順利航行，橋下水面寬度不得小于18米，則當(dāng)水深超過(guò)多少米時(shí)，就會(huì)影響過(guò)往船只的順利航行（） A2.76米 B6.76米 解：設(shè)該拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2，在正常水位下x=10，y=-4，代入解析式得 -4=a102 a=-1/25 所以此拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x2/25因?yàn)闃蛳滤鎸挾炔坏眯∮?8米，所以令x=9時(shí)可得：y=-81/25=-3.24此時(shí)水深6+4-3.24=6.76米 即橋下水深6.76米時(shí)正好通過(guò)，所以超過(guò)6.76米時(shí)則不能通過(guò)故選B5、有一座拋物線(xiàn)形拱橋,正常水位時(shí)橋下水面寬度為20m,拱頂距離水面4m（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中,求出該拋物線(xiàn)的解析式；（2）在正常水位的基礎(chǔ)上,當(dāng)水位上升h（m）時(shí),橋下水面的寬度為d（m）,求出將d表示h的函數(shù)解析式.（3）設(shè)正常水位時(shí)橋下的水深為2m,為保證過(guò)往船只順利航行,橋下水面的寬度不得小于18m,求水深超過(guò)多少米時(shí)就會(huì)影響過(guò)往船只在橋下的順利航行? 解：(1)設(shè)該拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2，在正常水位下x=10，y=-4，代入解析式得 -4=a102 a=-1/25 所以此拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x2/25(2)設(shè)水面上升hm，水面與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為（d/2,h-4），帶入拋物線(xiàn)得h-4=-d2/41/25 化簡(jiǎn)得：d=104-h(3)將d=18代入d=104-h 得：h=0.76 所求最大水深為：2+0.76=2.76(米) 所以當(dāng)水深超過(guò)2.76米時(shí)就會(huì)影響過(guò)往船只在橋下的順利航行 6、林書(shū)豪身高1.91m，在某次投籃中，球的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)是拋物線(xiàn)y=x2+3.5的一部分（如圖），若命中籃圈中心，則他與籃底的距離約為（） A3.2m B4m 解：由題意得：3.05=x2+3.5， x2=2.25，籃圈中心在第一象限， x=1.5，他與籃底的距離約為1.5+2.5=4m，故選B 7.如圖是江夏寧港靈山腳下古河道上一座已有了400年歷史的古拱橋的截面圖，這座拱橋橋洞上沿是拋物線(xiàn)形狀，若把拱橋的截面圖放在平面直角坐標(biāo)系中，則拋物線(xiàn)兩端點(diǎn)與水面的距離都是1m，拱橋的跨度為10m，橋洞與水面的最大距離是5m，如果在橋洞兩側(cè)壁上各安裝一盞距離水面4m的景觀燈，則兩盞景觀燈之間的水平距離是（） A3m B4m C5m D6m解：拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，5），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x-5）2+5， 把點(diǎn)（0，1）代入得：a=-4/25拋物線(xiàn)解析式為y=-4/25（x-5）2+5， 令y=4，得:x1=15/2 x2=5/2 盞景觀燈之間的水平距離是：15/2-5/2=5m故選C 先不做此題 7.如圖，在“江夏杯”釣魚(yú)比賽中，選手甲釣到了一條大魚(yú)，魚(yú)竿被拉彎近似可看作以A為最高點(diǎn)的一條拋物線(xiàn)，已知魚(yú)線(xiàn)AB長(zhǎng)6m，魚(yú)隱約在水面了，估計(jì)魚(yú)離魚(yú)竿支點(diǎn)有8m，此時(shí)魚(yú)竿魚(yú)線(xiàn)呈一個(gè)平面，且與水平面夾腳恰好為60，以魚(yú)竿支點(diǎn)為原點(diǎn)，則魚(yú)竿所在拋物線(xiàn)的解析式為 8.如圖，AB是自動(dòng)噴灌設(shè)備的水管，點(diǎn)A在地面，點(diǎn)B高出地面1.5米在B處有一自動(dòng)旋轉(zhuǎn)的噴水頭，在每一瞬間，噴出的水流呈拋物線(xiàn)狀，噴頭B與水流最高點(diǎn)C的連線(xiàn)與水平線(xiàn)成45角，水流的最高點(diǎn)C與噴頭B高出2米，在如圖的坐標(biāo)系中，水流的落地點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是 米解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，過(guò)C點(diǎn)作CEy軸于E，過(guò)C點(diǎn)作CFx軸于F， B（0，1.5），CBE=45，EC=EB=2米， CF=AB+BE=2+1.5=3.5，C（2，3.5） 設(shè)拋物線(xiàn)解析式為：y=a（x-2）2+3.5， 又拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B，1.5=a（0-2）2+3.5 a=-1/2 所求拋物線(xiàn)解析y=-1/2（x-2）2+3.5，即 y=-x2/2+2x+3/2 拋物線(xiàn)與x軸相交時(shí)，y=0，即-x2/2+2x+3/2=0 點(diǎn)D坐標(biāo)為 水流落點(diǎn)D到A點(diǎn)的距離為： 9.如圖，是江夏廣場(chǎng)設(shè)計(jì)的一建筑物造型的縱截面是拋物線(xiàn)的一部分，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)O落在水平面上，對(duì)稱(chēng)軸是水平線(xiàn)OC點(diǎn)A、B在拋物線(xiàn)造型上，且點(diǎn)A到水平面的距離AC=4米，點(diǎn)B到水平面距離為2米，OC=8米（1）請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；（2）為了安全美觀，現(xiàn)需在水平線(xiàn)OC上找一點(diǎn)P，用質(zhì)地、規(guī)格已確定的圓形鋼管制作兩根支柱PA、PB對(duì)拋物線(xiàn)造型進(jìn)行支撐加固，那么怎樣才能找到兩根支柱用料最?。ㄖеc地面、造型對(duì)接方式的用料多少問(wèn)題暫不考慮）時(shí)的點(diǎn)P？（無(wú)需證明）（3）為了施工方便，現(xiàn)需計(jì)算出點(diǎn)O、P之間的距離，那么兩根支柱用料最省時(shí)點(diǎn)O、P之間的距離是多少？（請(qǐng)寫(xiě)出求解過(guò)程） 解：（1）以點(diǎn)O為原點(diǎn)、射線(xiàn)OC為y軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為y=ax2，由題意知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8）所以8=a42 a=1/2 所求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為：y=x2/2 （2）找法：延長(zhǎng)AC，交建筑物造型所在拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，則點(diǎn)A、D關(guān)于OC對(duì)稱(chēng)連接BD交OC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求 （3）由題意知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2， 點(diǎn)B在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），又點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8）， 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4，8）， 設(shè)直線(xiàn)BD的函數(shù)解析式為y=kx+b， 2k+b2. 4k+b8. 解得：k=-1，b=4 直線(xiàn)BD的函數(shù)解析式為y=-x+4， 把x=0代入y=-x+4，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）， 兩根支柱用料最省時(shí)，點(diǎn)O、P之間的距離是4米 10、蘭州市“安居工程”新建成的一批樓房都是8層高，房子的價(jià)格y(元/平方米)隨樓層數(shù)x(樓)的變化而變化(x=1，2，3，4，5，6，7，8)；已知點(diǎn)(x，y)都在一個(gè)二次函數(shù)的圖像上，(如圖所示)，則6樓房子的價(jià)格為 元/平方米（提示：利用對(duì)稱(chēng)性，答案：2080） 11、自建平面坐標(biāo)系求值：(2008四川內(nèi)江)如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹(shù)間拴了一根繩子，給他做了一個(gè)簡(jiǎn)易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線(xiàn)狀，身高1米的小明距較近的那棵樹(shù)0.5米時(shí)，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點(diǎn)距地面的距離為 0.5 米答案：如圖所示建立直角坐標(biāo)系則：設(shè) 將點(diǎn)，代入，解得 頂點(diǎn)，最低點(diǎn)距地面0.5米三、利用拋物線(xiàn)解決最大利潤(rùn)問(wèn)題1、某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)李明在政府的扶持下投資銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷(xiāo)售量y(件)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系可近似的看做一次函數(shù)：y10x500.（1）設(shè)李明每月獲得利潤(rùn)為w(元)，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？（6分）（2）如果李明想要每月獲得2 000元的利潤(rùn)，那么銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（3分）（3）物價(jià)部門(mén)規(guī)定，這種護(hù)眼臺(tái)燈的銷(xiāo)售單價(jià)不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本進(jìn)價(jià)銷(xiāo)售量) 解：（1）由題意得出： ：w = (x20)y=(x20)(-10x+500)=-10x2+700x-10000 a=-100，x=-b/2a=35，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為35元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn) （2）由題意，得：-10x2+700x-10000=2000，解這個(gè)方程得：x1=30，x2=40李明想要每月獲得2000元的利潤(rùn)，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元（3）a=-100，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下. 當(dāng)30x40時(shí)，W2000.x32，當(dāng)30x32時(shí)，W2000.設(shè)成本為P（元），由題意，得：P =20(-10x+500)=-200x+10000，k=2000，P隨x的增大而減小當(dāng)x=32時(shí)，P最小=3600答：想要每月獲得的利潤(rùn)不低于2000元，每月的成本最少為3600元 2.我市某工藝廠設(shè)計(jì)了一款成本為20元件的工藝品投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷(xiāo)經(jīng)過(guò)調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：（注：利潤(rùn)=銷(xiāo)售總價(jià)-成本總價(jià)）銷(xiāo)售單價(jià)x（元件）30405060每天銷(xiāo)售量y（件）500400300200 （1）把上表中x、y的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在下面的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，猜想y與x的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式； （2）在（1）的條件下，設(shè)工藝廠試銷(xiāo)該工藝品每天所得利潤(rùn)為P元； 當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少時(shí)，工藝廠試銷(xiāo)該工藝品每天獲得的利潤(rùn)P為8000元？ 工藝廠自身發(fā)展要求試銷(xiāo)單價(jià)不低于35元/件，同時(shí)，當(dāng)?shù)匚飪r(jià)部門(mén)規(guī)定，該工藝品銷(xiāo)售單價(jià)最高不能超過(guò)55元，寫(xiě)出在此情況下每天獲利P的取值范圍 解：（1）如圖所示是一次函數(shù)解析式，設(shè)一次函數(shù)解析式為：y=ax+b 30a+b500. 40a+b400. 解得： a10 b800 函數(shù)解析式為：y=-10x+800（2）由題意得出：P=（-10x+800）（x-20）=8000，解得：x1=40，x2=60，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為40元或60元時(shí)，工藝廠試銷(xiāo)該工藝品每天獲得的利潤(rùn)P為8000元；P=（-10x+800）（x-20）=-10x2+1000x-16000=-10（x-50）2+9000，當(dāng)x=50時(shí)，P=9000元，當(dāng)x=35時(shí)，P=6750元，P的取值范圍是：6750P9000 3.某商家獨(dú)家銷(xiāo)售具有地方特色的某種商品，每件進(jìn)價(jià)為40元經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，一周的銷(xiāo)售量y件與銷(xiāo)售單價(jià)x（x50）元/件的關(guān)系如下表：銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）55 60 70 75 一周的銷(xiāo)售量y（件）450 400 300 250 （1）直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式：y=-10x+1000 （2）設(shè)一周的銷(xiāo)售利潤(rùn)為S元，請(qǐng)求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，一周的銷(xiāo)售利潤(rùn)隨著銷(xiāo)售單價(jià)的增大而增大？ （3）雅安地震牽動(dòng)億萬(wàn)人民的心，商家決定將商品一周的銷(xiāo)售利潤(rùn)全部寄往災(zāi)區(qū)，在商家購(gòu)進(jìn)該商品的貸款不超過(guò)10000元情況下，請(qǐng)求出該商家最大捐款數(shù)額是多少元？解：（1）設(shè)y=kx+b，由題意得，55k+b450.60k+b400.解得：k10 b1000則函數(shù)關(guān)系式為：y=-10x+1000；（2）由題意得，S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000，-100，函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=70，當(dāng)50x70時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)隨著銷(xiāo)售單價(jià)的增大而增大；（3）由40（-10x+1000）10000 解得x75 當(dāng)x=75時(shí)，利潤(rùn)最大，為8750元 4、某玩具批發(fā)商銷(xiāo)售每只進(jìn)價(jià)為40元的玩具，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若以每只50元的價(jià)格銷(xiāo)售，平均每天銷(xiāo)售90只，單價(jià)每提高1元，平均每天就少銷(xiāo)售3只 （1）平均每天的銷(xiāo)售量y(只)與銷(xiāo)售價(jià)x(元只)之間的函數(shù)關(guān)系式為 ； （2）求該批發(fā)商平均每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)W(元)與銷(xiāo)售只x(元只)之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）物價(jià)部門(mén)規(guī)定每只售價(jià)不得高于55元，當(dāng)每只玩具的銷(xiāo)售價(jià)為多少元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少元 解：( 1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240； （2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600； (3)當(dāng)x60，y隨x的增大而減小， 當(dāng)x=55時(shí)，w最大=1125 所以定價(jià)為55元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)是1125元. 5為了落實(shí)國(guó)務(wù)院的指示精神，地方政府出臺(tái)了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加某農(nóng)戶(hù)生產(chǎn)經(jīng)銷(xiāo)一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每千克20元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售量y(千克)與銷(xiāo)售價(jià)x(元/千克)有如下關(guān)系：y=-2x+80. 設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元. （1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)定為多少時(shí)，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？（3）如果物價(jià)部門(mén)規(guī)定這種產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)不高于每千克28元，該農(nóng)戶(hù)想要每天獲得150元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？解：（1）由題意得：w=（x-20）y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600， w與x的函數(shù)關(guān)系式為：w=-2x2+120x-1600；， （2）w=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200， 20，當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值w最大值為200.答：該產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)定為每千克30元時(shí)，每天銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大銷(xiāo)售利潤(rùn)200元.（3） 當(dāng)w=150時(shí)，可得方程-2（x-30）2+200=150 解得x1=25，x2=35 3528， x2=35不符合題意，應(yīng)舍去答：該農(nóng)戶(hù)想要每天獲得150元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為每千克25元 6某公司營(yíng)銷(xiāo)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，發(fā)現(xiàn)如下信息：信息1：銷(xiāo)售A種產(chǎn)品所獲利潤(rùn)y(萬(wàn)元)與所售產(chǎn)品x(噸)之間存在二次函數(shù)關(guān)系y=ax2-bx,當(dāng)x1時(shí)，1.4；當(dāng)x3時(shí)，3.6。信息2：銷(xiāo)售B種產(chǎn)品所獲利潤(rùn)y (萬(wàn)元)與所售產(chǎn)品x(噸)之間存在正比例函數(shù)關(guān)系y=0.3x根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)求二次函數(shù)解析式；(2) 該公司準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A、B兩種產(chǎn)品共10噸，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)營(yíng)銷(xiāo)方案，使銷(xiāo)售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)之和最大，最大利潤(rùn)是多少？解：（1）因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，y=1.4；當(dāng)x=3時(shí)，y=3.6，代入y=ax2-bx 得a=-0.1 b=1.5 所以，二次函數(shù)解析式為y=-0.1x2+1.5x； （2） 設(shè)購(gòu)進(jìn)A產(chǎn)品m噸，購(gòu)進(jìn)B產(chǎn)品（10-m）噸，銷(xiāo)售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)之和為W元，根據(jù)題意可列函數(shù)關(guān)系式為：（3） W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6)2+6.6， 因?yàn)?0.10，當(dāng)m=6時(shí)，W有最大值6.6， 購(gòu)進(jìn)A產(chǎn)品6噸，購(gòu)進(jìn)B產(chǎn)品4噸，銷(xiāo)售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)之和最大，最大利潤(rùn)是6.6萬(wàn)元 7為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷(xiāo)售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)李明按照相關(guān)政策投資銷(xiāo)售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系近似滿(mǎn)足一次函數(shù)：y=10x+500 (1)李明在開(kāi)始創(chuàng)業(yè)的第一個(gè)月將銷(xiāo)售單價(jià)定為20元，那么政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元？ （2）設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為w（元），當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？（3）物價(jià)部門(mén)規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷(xiāo)售單價(jià)不得高于25元如果李明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于3000元，那么政府為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元？ 解：（1）當(dāng)x=20時(shí),y=10x+500=1020+500=300,300（1210）=3002=600元, 即政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為600元;（2）依題意得,w=（x10）（10x+500）=10x2+600x5000=10（x30）2+4000 a=100,當(dāng)x=30時(shí),w有最大值4000元 即當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為30元時(shí),每月可獲得最大利潤(rùn)4000元; （3）由題意得：10x2+600x5000=3000, 解得：x1=20,x2=40 a=100,拋物線(xiàn)開(kāi)口向下,結(jié)合圖象可知：當(dāng)20x40時(shí),w3000 又x25,當(dāng)20x25時(shí),w3000 設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元, p=（1210）（10x+500）=20x+1000 k=200 p隨x的增大而減小, 當(dāng)x=25時(shí),p有最小值500元走之底：這、邊、遠(yuǎn)、進(jìn)、過(guò)、道、選、連、送 即銷(xiāo)售單價(jià)定為25元時(shí),政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為500元你有桃子，他也有桃子。 8某文具店銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為10元/個(gè)的簽字筆，物價(jià)部門(mén)規(guī)定這種簽字筆的售價(jià)不得高于14元/個(gè)，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)：以12元/個(gè)的價(jià)格銷(xiāo)售，平均每周銷(xiāo)售簽字筆100個(gè)；若每個(gè)簽字筆的銷(xiāo)售價(jià)格每提高1元，則平均每周少銷(xiāo)售簽字筆10個(gè). 設(shè)銷(xiāo)售價(jià)為x元/個(gè).（1）該文具店這種簽字筆平均每周的銷(xiāo)售量為 個(gè)（用含x的式子表示）；例：我已經(jīng)長(zhǎng)大了。 小樹(shù)已經(jīng)發(fā)芽了。（2）求該文具店這種簽字筆平均每周的銷(xiāo)售利潤(rùn)w（元）與銷(xiāo)售價(jià)x（元/個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)x取何值時(shí)，該文具店這種簽字筆平均每周的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？ 解：（1）（22010x）；彎彎的小河（月兒、小船） 有趣的問(wèn)題 難忘的日子 你去北京嗎？ 你是小學(xué)生嗎？ 拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下，在對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=16的左側(cè)，隨的增大而增大.我家門(mén)口有一棵小樹(shù)。 江上有一座小橋。 由題意可知， 當(dāng)x=14時(shí)，最大為320. 當(dāng)x=14時(shí)，該文具店這