常微分方程證明題.doc

常微分方程試題證明題證明題1. 試證：如果是滿足初始條件的解，那么.2. 設(shè)和是方程的任意兩個解，求證：它們的朗斯基行列式，其中為常數(shù)3. 假設(shè)不是矩陣的特征值，試證非齊線性方程組，有一解形如：，其中是常數(shù)向量.4. 設(shè)及連續(xù),試證方程為線性方程的充要條件是它有僅依賴與x的積分因子.5. 設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的任意解均有.6. 試證:若已知黎卡提方程的一個特解,則可用初等積分法求它的通解.7. 階齊線性方程一定存在個線性無關(guān)解.8. 設(shè)是一階非齊次線性方程于區(qū)間上的任一解，是其對應一階齊次線性方程于區(qū)間上的一個非零解。則含有任意常數(shù)C的表達式：是一階非齊次線性方程于區(qū)間上的全部解的共同表達式。9. 設(shè)矩陣函數(shù)，在（a, b）上連續(xù)，試證明，若方程組與有相同的基本解組，則。10. 證明： 一個復值向量函數(shù)是（LH）的解的充要條件，它的實部和虛部都是（LH）的解。（五）、證明題參考答案及評分標準 (每題10分) 1. 試證：如果是滿足初始條件的解，那么.證明：因為是的基本解矩陣，是其解，所以存在常向量使得： ， （2分）令，則： ， （2分）所以 ， （2分）故 （4分）2. 設(shè)和是方程的任意兩個解，求證：它們的朗斯基行列式，其中為常數(shù)證明：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，由劉維爾公式可知，對任意，它們的朗斯基行列式滿足： ， （4分）而在方程中，所以 ， （4分）即 ， （2分）3. 假設(shè)不是矩陣的特征值，試證非齊線性方程組，有一解形如：.其中是常數(shù)向量.證明：要證是解，就是要證能夠確定常數(shù)向量，它使得 ， （2分）即，成立。 （2分）亦即 ， （2分）由于不是的特征值，故，從而存在逆矩陣， 那么可取向量 ， ， （2分）這樣方程就有形如的解. （2分）4. 設(shè)及連續(xù),試證方程為線性方程的充要條件是它有僅依賴與x的積分因子.證明：先證必要性，設(shè)方程為線性方程，即 ， （2分）所以 ， ， （2分）即它有僅依賴與x的積分因子，且 是其積分因子。（1分）再證充分性，因為在方程，中所以 ， （2分） （1分）如果它有僅依賴與的積分因子，則是的函數(shù)，設(shè) （1分）關(guān)于積分得：，是的可微函數(shù)，故方程可表為：是線性方程. （2分）5. 設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的任意解均有.證明：設(shè)為方程的任一解，它滿足初始值條件，由常數(shù)變易法有：， （4分）于是 （2分） = 0 + （4分）6. 試證:若已知黎卡提方程的一個特解,則可用初等積分法求它的通解.證明：設(shè)為黎卡提方程的一個特解，則 ， （2分）令，則有 （3分）整理得： （3分）它是的伯努利方程，可用初等積分法求它的通解. （2分）7. 階齊線性方程一定存在個線性無關(guān)解.證明：設(shè)的系數(shù)矩陣在區(qū)間上連續(xù)，任意取定一點和個線性無關(guān)的維常向量。 （2分）對于每一個，以表示滿足初始條件的解向量。 （2分） 由存在與唯一性定理可知，此解向量在區(qū)間上存在且有定義。 （2分）由于常向量組是線性無關(guān)的，從而向量函數(shù)組于區(qū)間上線性無關(guān). （4分）8. 設(shè)是一階非齊次線性方程于區(qū)間上的任一解，是其對應一階齊次線性方程于區(qū)間上的一個非零解。則含有任意常數(shù)的表達式：是一階非齊次線性方程于區(qū)間上的全部解的共同表達式。證明：將直接代入一階非齊次線性方程可知，對任意常數(shù)，都是一階非齊次線性方程的解。 （4分）反之，設(shè)是一階非齊次線性方程的任一解，則是其對應齊次方程的解。 （2分）任取，由于是其對應一階齊次線性方程于區(qū)間上的一個非零解，所以。 （2分）令，則 和都是其對應齊次方程的解，并且在時取相同的值，故由初值問題解的唯一性知，應有，即。（2分）9. 設(shè)矩陣函數(shù)，在（a, b）上連續(xù)，試證明，若方程組與在（a, b）上有相同的基本解組，則，.證明：因為方程組與在（a, b）上有相同的基本解組，所以可設(shè)是其基本解矩陣。 （2分）從而有： ， （2分）與 ，成立。 （2分）所以 ， （2分）又由于是其基本解矩陣，所以，即可逆，故，. （2分）10. 證明： 一個復值向量函數(shù)是（LH）的解的充要條件，它的實部和虛部都是（LH）的解。證明：設(shè)是的解，