2015極坐標(biāo).docx

極坐標(biāo)和參數(shù)方程考試大綱1坐標(biāo)系理解坐標(biāo)系的作用。了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況。能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化。能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形（如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）的方程，通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義。了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中表示空間中點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的方法相比較，了解它們的區(qū)別。2參數(shù)方程了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義。能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程。知識(shí)點(diǎn)歸納1極坐標(biāo)系的建立在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做 極點(diǎn)，自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個(gè)單位長度，一個(gè) 角度單位及其正方向，這樣就建立了一個(gè) 極坐標(biāo)系設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的 極徑，記為。以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的 極角，記為。有序?qū)崝?shù)對(duì)(，)叫做點(diǎn)M的 極坐標(biāo)，記作 (，)一般地，極坐標(biāo)(，)與(，2k)(kZ)表示 同一個(gè)點(diǎn)，特別地，極點(diǎn)O的坐標(biāo)為 （0，）（R）2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(1)互化前提是：直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位; (2)互化公式：x=cos,y=sin.2=x2+y2,tan=yx(x0)3常見的曲線極坐標(biāo)方程(1)過極點(diǎn)，極角為的直線方程為(R)(2)與極軸平行并與極軸距離等于的直線方程為sina(a0)(3)與極軸所在直線垂直且與極點(diǎn)距離等于a的直線方程為cosa(a0)(4)圓心為(r,0)，半徑為r的極坐標(biāo)方程為2rcos(r0)(5)圓心為(r,0)，半徑為r的極坐標(biāo)方程為2rcos.(6)圓心為(r，)，半徑為r的極坐標(biāo)方程為2rsin(r0)(7)圓心為(r，)，半徑為r的極坐標(biāo)方程為2rsin(r0)(8)圓心為極點(diǎn)，半徑為r的極坐標(biāo)方程為r(r0)4常考的參數(shù)方程(1) 圓的參數(shù)方程： x=rcos,y=rsin (2) 橢圓的參數(shù)方程：中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓的參數(shù)方程有以下兩種情況：橢圓1(ab0)的參數(shù)方程是(為參數(shù)，且02)橢圓1(ba0)的參數(shù)方程是(為參數(shù)，且02)(3)雙曲線的參數(shù)方程(了解就行)中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線的參數(shù)方程有以下兩種情況：雙曲線1的參數(shù)方程為(為參數(shù))；雙曲線1的參數(shù)方程為(為參數(shù))(4)拋物線的參數(shù)方程：拋物線y22px(p0)的參數(shù)方程為(p0，t為參數(shù)，tR)其中p的幾何意義為：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；其中參數(shù)t為該拋物線y22px(p0)上任一點(diǎn)P與拋物線頂點(diǎn)O所連直線OP的斜率的倒數(shù)，設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P(x，y)，有t.5直線參數(shù)方程的形式過定點(diǎn)M0(x0，y0)、傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，稱為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中t為參數(shù)參數(shù)t的幾何意義：表示直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任意一點(diǎn)M(x，y)為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量M0M.6、應(yīng)試策略：由于極坐標(biāo)與參數(shù)方程是解析幾何初步、平面向量、三角函數(shù)等內(nèi)容的綜合應(yīng)用和進(jìn)一步深化，所以必須掌握好與以上相關(guān)內(nèi)容如輔助角公式：，其中，當(dāng)，即，時(shí)，有最大值；當(dāng)，即，時(shí)，有最小值典型例題解析考點(diǎn)一 極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)的互化1（14新2）在直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為，.（）求C的參數(shù)方程；（）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線垂直，根據(jù)（）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo).2（14遼寧）將圓上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.（1）寫出C的參數(shù)方程；（2）設(shè)直線與C的交點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極坐標(biāo)建立極坐標(biāo)系，求過線段的中點(diǎn)且與垂直的直線的極坐標(biāo)方程.3 (2010廣東)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系(，)(02)中，曲線(cossin)1與(sincos)1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_解析將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為xy1和yx1，聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，1，交點(diǎn)極坐標(biāo)為.考點(diǎn)二 參數(shù)方程1(14新1) 已知曲線C：+=1，直線l：（t為參數(shù)）（）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程（）過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值2（14湖南）在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）交于兩點(diǎn)，且，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則直線的極坐標(biāo)方程是 .3（14湖北）已知曲線C1的參數(shù)方程是(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是2，則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_4（14重慶）已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為sin24cos=0（0，02），則直線l與曲線C的公共點(diǎn)的極徑=_5（14福建）已知直線L的參數(shù)方程為 x=a-2ty=-4t(t為參數(shù) )，圓C的參數(shù)方程為x=4cosy=4sin(1)求直線L和圓C的普通方程;(2)若直線與圓有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 6 (人教版44,2.1第4題改編)將(為參數(shù)，0，)代為普通方程_；它表示軌跡是_7（09海南寧夏） 已知曲線： （為參數(shù)），：（為參數(shù)）（）化，的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；（）若上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)到直線：（為參數(shù)）距離的最小值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：（）由曲線：（為參數(shù)）得，兩式平方相加消去參數(shù)，得曲線的普通方程為：為圓心是，半徑是1的圓由曲線：（為參數(shù)）得，兩式平方相加消去參數(shù)，得曲線的普通方程為： 為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓（）因?yàn)樯系狞c(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，故，又為上的點(diǎn)，所以，故中點(diǎn)為由：（為參數(shù)）消去參數(shù)知，為直線，則到的距離.5.u.c.o.m 從而當(dāng)，時(shí)，取得最小值練習(xí)1（2010新課標(biāo)）已知直線：（為參數(shù)），圓： （）當(dāng)時(shí)，求與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（）過坐標(biāo)原點(diǎn)作的垂線，垂足為，為中點(diǎn)當(dāng)變化時(shí)，求點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線解：（）因?yàn)橹本€：（為參數(shù)）表示過定點(diǎn)，傾斜角為的直線，所以當(dāng)時(shí)，的普通方程為，圓：（為參數(shù)）是圓心在圓點(diǎn)半徑為的圓，的普通方程為聯(lián)立方程組 ，解得與的交點(diǎn)為，（）由（）的普通方程為，即（或由直接消去參數(shù)可得）又直線垂直，所以直線的方程為聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)坐標(biāo)為，為的中點(diǎn)，故當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為： 由得，即，兩式平方相加得，點(diǎn)軌跡的普通方程為故點(diǎn)軌跡是圓心為，半徑為的圓2坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為cos（）=1，M,N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)。（1）寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M,N的極坐標(biāo)； （2）設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程?？键c(diǎn)三 參數(shù)方程的應(yīng)用（求最值）例3-1 實(shí)數(shù)x、y滿足1，試求xy的最大值與最小值，并指出何時(shí)取得最大值與最小值例3-2已知某圓的極坐標(biāo)方程是，求（1）求圓的普通方程和一個(gè)參數(shù)方程；（4分）（2）圓上所有點(diǎn)中的最大值和最小值.（6分）練習(xí)（2012新課標(biāo)）已知曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線:的極坐標(biāo)方程是=2，正方形ABCD的頂點(diǎn)都在上，且A,B,C,D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2，）.()求點(diǎn)A,B,C,D的直角坐標(biāo)； ()設(shè)P為上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】()由已知可得，即A(1，)，B（，1），C（1，），D（，1），()設(shè)，令=，則=，的取值范圍是32,52.考點(diǎn)四直線參數(shù)方程的應(yīng)用注意: 過定點(diǎn)M0(x0，y0)、傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，稱為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中t為參數(shù)參數(shù)t的幾何意義：表示直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任意一點(diǎn)M(x，y)為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量M0M.例4-1、在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為.（）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)圓C與直線交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求|PA|+|PB|.解法一：（）由，得，即（）將的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得，即由于，故可設(shè)是上述方程的兩實(shí)根，所以又直線過點(diǎn)，故由上式及的幾何意義得練習(xí)1 在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系,已知曲線，已知過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為：，直線與曲線分別交于（）寫出曲線和直線的普通方程； （）若成等比數(shù)列,求的值解：（）（）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,代入得到, 則有.因?yàn)?所以解得 .10分練習(xí)2已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系的軸的正半軸重合直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為 （）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求，兩點(diǎn)間的距離達(dá)標(biāo)練習(xí)1、(2012遼寧) 在直角坐標(biāo)中，圓，圓。 ()在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓的極坐標(biāo)方程，并求出圓的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)； ()求圓的公共弦的參數(shù)方程。2（遼寧）坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為cos（）=1，M,N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)。（1）寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M,N的極坐標(biāo)； （2）設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程。3、（遼寧）已知P為半圓C：（為參數(shù)，）上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0），為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OM與C的弧的長度均為.（）以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)；（）求直線AM的參數(shù)方程.4（2011全國新課標(biāo)）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線（）求的方程；（）在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，求5.在直角坐標(biāo)系中, 過點(diǎn)作傾斜角為的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn). () 寫出直線的參數(shù)方程;() 求 的取值范圍.（） 為參數(shù)）（） 為參數(shù)）代入，得 ， 6在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為