數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué).ppt

2020 2 23 1 數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué) 葉立軍杭州師范學(xué)院理學(xué)院yeatsylj 2020 2 23 2 基礎(chǔ)教育改革 尋找解決教學(xué)問題的大策略成為明顯趨勢(shì) 引言 2020 2 23 3 一 為什么要談數(shù)學(xué)思想方法 1 從數(shù)學(xué)思想方法的意義看2 從當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)現(xiàn)狀看 2020 2 23 4 從數(shù)學(xué)思想方法的意義看 21世紀(jì)是 知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代 國際競(jìng)爭(zhēng)是 創(chuàng)新能力 的競(jìng)爭(zhēng) 高科技的競(jìng)爭(zhēng) 若把 高科技 比作皇冠的話 數(shù)學(xué)就是皇冠上的一顆明珠 就是說要培養(yǎng)21世紀(jì)高科技創(chuàng)新人才 首先應(yīng)培養(yǎng)具有創(chuàng)新思維能力的 數(shù)學(xué)王子 在數(shù)學(xué)教育中 學(xué)生掌握科學(xué)的思維方法是成為創(chuàng)造型人才的基礎(chǔ) 是培養(yǎng)高科技研究型人才 迎接新世紀(jì)國際高科技挑戰(zhàn)的比由之路 2020 2 23 5 思維是事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律性在人腦中的反映 它是智力的核心 而小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)就是要培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際操作能力的基礎(chǔ)上訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力 2020 2 23 6 從當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀看 多年來 我國小學(xué)實(shí)現(xiàn)依然存在時(shí)費(fèi)低效的現(xiàn)象 表現(xiàn)在教師講解例題多 學(xué)生套題解為多 對(duì)復(fù)雜化的題型束手無策 更談不上創(chuàng)造性地解決實(shí)際問題 究其實(shí)質(zhì) 是思維訓(xùn)練沒有到位 從思維方法訓(xùn)練的角度得到反省 過去教師過分看重思維結(jié)果 偏重灌輸 忽視學(xué)生思維過程的展示 以及錯(cuò)誤思維過程的暴露 必須導(dǎo)致思維訓(xùn)練走過場(chǎng) 教師講的頭頭是道 學(xué)生解題摸不著門道的被動(dòng)局面 只有讓學(xué)生經(jīng)歷思考過程 獲得思維方法 才能真正內(nèi)行為經(jīng)驗(yàn)和知識(shí) 形成能力 2020 2 23 7 課堂教學(xué)應(yīng)試為主教學(xué)目標(biāo)定位偏低 鞏固知識(shí)熟練技能教學(xué)內(nèi)容膚淺狹窄 已知知識(shí)浮于淺表局限課本固守單科教學(xué)過程預(yù)設(shè)過多 嚴(yán)密周到強(qiáng)迫牽制被動(dòng)跟隨教學(xué)方式講授演繹 教師講析師生問答學(xué)生活動(dòng)虛浮異化 有形無實(shí)效度不高機(jī)械練習(xí) 2020 2 23 8 數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求 幫助學(xué)生學(xué)會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想方法 是新一輪數(shù)學(xué)課程改革所設(shè)定的一個(gè)基本目標(biāo) 以國際上的相關(guān)研究為背景 對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何突出數(shù)學(xué)思維進(jìn)行具體分析表明 即使是十分初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學(xué)思維形式及其特征性質(zhì) 2020 2 23 9 理論依據(jù) 數(shù)學(xué)教學(xué)主要是數(shù)學(xué)思維的教學(xué) 而不是單純的數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué) 要加強(qiáng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的同時(shí) 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力 掌握數(shù)學(xué)思考方法 因此小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要有重大突破 就在于小學(xué)生思維發(fā)展的研究 這一教學(xué)原則改變了我們 滿堂灌 注入式 的教學(xué)方法 著眼于學(xué)生的思維的訓(xùn)練 給學(xué)生 思考 的機(jī)會(huì) 指導(dǎo)學(xué)生思維方法 使其形成良好的思維品質(zhì) 2020 2 23 10 教學(xué)從現(xiàn)代教育觀點(diǎn)看 當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)偏重書本知識(shí)和雙基訓(xùn)練 缺少對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)情感 態(tài)度以及個(gè)體差異的關(guān)注 忽視研究性學(xué)習(xí)和實(shí)踐活動(dòng) 在學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的培養(yǎng)方面 與發(fā)達(dá)國家相比 差距十分明顯 有學(xué)者指出 按照知識(shí)的外在程度 新經(jīng)濟(jì)時(shí)代把知識(shí)分為外顯部分與內(nèi)隱部分 它們構(gòu)成一個(gè)冰山模式 前者浮出海面 后者在下托起整個(gè)冰山 后者就是內(nèi)隱部分 即智慧 情感和態(tài)度 它深深地嵌入于實(shí)踐之中 人的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力主要依賴于內(nèi)隱部分 只有通過在行動(dòng)中學(xué)習(xí) 才能達(dá)到培養(yǎng)和提高的目的 當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀呼喚著符合時(shí)代要求的新數(shù)學(xué)課程的誕生 2020 2 23 11 知識(shí)的冰山模型 明確知識(shí) 是什么 為什么 主要是事實(shí)和原理的知識(shí) 存于書本 可編碼 邏輯性 可傳遞 共享性 可反思 批判性 默會(huì)知識(shí) 怎么想 怎么做 本質(zhì)上是理解力和領(lǐng)悟 存于個(gè)人經(jīng)驗(yàn) 個(gè)體性 嵌入實(shí)踐活動(dòng) 情境性 2020 2 23 12 教學(xué)是兩組主體間的作用系統(tǒng) 從被動(dòng)到互動(dòng) 尊重學(xué)生 需求 現(xiàn)狀 發(fā)展可能 要求學(xué)生 強(qiáng)調(diào)適切性 教師 學(xué)生 儒家文化 尊師重教 主導(dǎo)性主體 發(fā)展性主體 2020 2 23 13 從單一過程到復(fù)雜過程 存于實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的默會(huì)知識(shí) 存于書本的明確知識(shí) 教師 學(xué)生 書本學(xué)習(xí) 行動(dòng)學(xué)習(xí) 合作學(xué)習(xí) 2020 2 23 14 在主導(dǎo)原則下取得新平衡是關(guān)鍵 教改實(shí)踐要有不走極端而達(dá)到頂尖的集其大成的智慧 2020 2 23 15 國際著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾稱之為 再創(chuàng)造 他反復(fù)指出 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法是實(shí)行 再創(chuàng)造 數(shù)學(xué)教育家的教學(xué)原則 為我們闡明了數(shù)學(xué)教育方法 就是在引導(dǎo)學(xué)生獲取知識(shí)時(shí) 為學(xué)生創(chuàng)造能夠利用已有的感性經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識(shí)條件 為學(xué)生提供思維的最近發(fā)展區(qū) 激發(fā)學(xué)生的求知欲望 誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造 2020 2 23 16 基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能 雙基的內(nèi)涵與時(shí)代的發(fā)展繁難偏舊的綜合過度形式化演繹問題 2020 2 23 17 基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能 這是美國許多學(xué)生在做分?jǐn)?shù)加減時(shí)所犯的錯(cuò)誤 為此我們應(yīng)該考慮雙基的內(nèi)涵與時(shí)代的發(fā)展之間的關(guān)系 2020 2 23 18 1 從實(shí)物到算式的 數(shù)學(xué)化 過程 小學(xué)數(shù)學(xué) 有余數(shù)的除法 7 3 21 Freudenthal研究所的達(dá)朗其 JandeLange 1996 在ICME 8的大會(huì)報(bào)告中介紹了荷蘭的一堂課 81名家長出席學(xué)校家長會(huì) 每張桌子可坐6人 需要布置多少張桌子 一類學(xué)生具體地?cái)[桌子 第二類學(xué)生經(jīng)歷了具體到形式的抽象 第三類學(xué)生套用算式去做 實(shí)際上 三類學(xué)生中只有第二類才真正體驗(yàn)到了 數(shù)學(xué)化 的含義 2020 2 23 19 問題糾纏于區(qū)分等分除 包含除等枝節(jié) 未突出 有余數(shù) 這個(gè)要點(diǎn)習(xí)慣于程式化訓(xùn)練 3 7括號(hào)里最大能填幾 未關(guān)注試商的現(xiàn)實(shí)意義 3 表面地尋找規(guī)律16 5 3 117 5 3 218 5 3 319 5 3 4 余數(shù) 1 2 3 4 與除數(shù) 5 比較大小 得出余數(shù)小于除數(shù) 忘記了對(duì)小學(xué)生來說 數(shù)學(xué)就是生活 2020 2 23 20 2020 2 23 21 實(shí)物操作表象操作符號(hào)操作分豆子腦中分豆子算式運(yùn)算 具體 半具體 半抽象 抽象 尋找規(guī)律 分豆子 與布魯納的認(rèn)知理論 數(shù)學(xué)是在具體 半具體 半抽象 抽象中間的鋪排 是穿梭于實(shí)物與算式之間所作的形式化過渡 2020 2 23 22 豁然開朗 表象操作是形式化的重要中介如退位減法23 8 學(xué)生有多種思維水平 第一種 第二種 形式化 尋找意義 23 815 第三種 第四種 說出算理23 8 10 13 8 1523 8 20 8 3 1523 8 23 10 2 15 停留于第一 第二種水平的學(xué)生 只會(huì)動(dòng)手做 不會(huì)動(dòng)腦想 從第二到第三種是關(guān)鍵的一步 通過表象操作 越過這一步 才能達(dá)到計(jì)算自動(dòng)化 或靈活運(yùn)用多種方法并說出算理 2020 2 23 23 二 數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中 數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展史 數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 2020 2 23 24 1 數(shù)學(xué)思想與方法1 從詞義看 思想是指客觀存在反映在人的意識(shí)中經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果 2 從哲學(xué)角度看 思想的涵義有二 一是與 觀念 同義 二是指相對(duì)于感性認(rèn)識(shí)的理性認(rèn)識(shí)成果 3 數(shù)學(xué)思想 對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí) 是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí) 是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中提煉上升的思想觀點(diǎn) 它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用 帶有普遍的指導(dǎo)意義 是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想 例 化歸思想 分類思想 模型思想 極限思想 統(tǒng)計(jì)思想 最優(yōu)化思想 4 數(shù)學(xué)方法 從數(shù)學(xué)角度提出問題 解決問題 包括數(shù)學(xué)內(nèi)部問題和實(shí)際問題 的過程中采用的各種方式 手段 途徑等 其中包括變換數(shù)學(xué)形式 求和可以考慮分解組合的方法 變換問題的數(shù)學(xué)形式 2020 2 23 25 二 數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展和演進(jìn)數(shù)學(xué)是一門古老的學(xué)科 它從萌芽時(shí)期發(fā)展至今已經(jīng)有數(shù)千年的歷史 數(shù)學(xué)的發(fā)展史不只是一些新概念 新命題的簡(jiǎn)單堆砌 它包含著數(shù)學(xué)思想和方法的積淀 尤其是數(shù)學(xué)本身許多質(zhì)的飛躍 即數(shù)學(xué)思想方法的重大突破 1 古代的數(shù)學(xué)思想和方法從遠(yuǎn)古到公元前5世紀(jì)左右的數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期是一個(gè)漫長的歷史過程 人們積累了算術(shù)和幾何方面的零碎知識(shí) 逐漸形成了抽象意義下的數(shù)和圖形的概念 產(chǎn)生了計(jì)數(shù)法和各種數(shù)制下的算法 出現(xiàn)了測(cè)地術(shù) 此時(shí)尚未形成一般的數(shù)學(xué)理論 還談不上有什么重要的數(shù)學(xué)思想 但是一一對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)法 對(duì)應(yīng)思想 和記數(shù)符號(hào)的使用有力地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展 另外 直接的觀察和體念被作為最重要的認(rèn)識(shí)方法 數(shù)學(xué)經(jīng)過漫長的萌芽時(shí)期 在古巴比倫 埃及和中國積累了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)之后 匯成了兩股不同的數(shù)學(xué)源流 2020 2 23 26 形成了兩個(gè)各具特色 風(fēng)格各異的數(shù)學(xué)體系 一個(gè)是以巴比倫和埃及數(shù)學(xué)為源頭的 在希臘匯合后又得到長足進(jìn)步與發(fā)展的古希臘數(shù)學(xué) 另一個(gè)則是以解決問題為宗旨 以注重算法為特點(diǎn)的古代中國數(shù)學(xué) 古希臘的數(shù)學(xué)融數(shù)學(xué)與哲學(xué)為一體 以哲學(xué)促進(jìn)數(shù)學(xué)理論的建立 提出了一系列思辯性的數(shù)學(xué)觀點(diǎn) 理論和方法 首先 古希臘人對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)有了根本性的變化 他們認(rèn)為數(shù)學(xué)不僅可用來解決一些實(shí)際問題 更重要的是他們?cè)噲D用數(shù)學(xué)來理解世界 把數(shù)學(xué)看作是理解宇宙的一把鑰匙 是研究自然的一部分 其深刻的數(shù)學(xué)思想對(duì)后世影響很大 其次 古希臘人用演繹證明方法研究幾何 使幾何學(xué)成為一個(gè)演繹系統(tǒng) 歐幾里得的 幾何原本 和阿波羅尼斯的 圓錐曲線 是演繹數(shù)學(xué)的代表著作 把邏輯證明系統(tǒng)地引入數(shù)學(xué) 把數(shù)學(xué)奠基于邏輯之上 這是對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的一個(gè)質(zhì)的飛躍 由此得來數(shù)學(xué)思想方法的更新 公里化的思想和演繹推理進(jìn)入了數(shù)學(xué) 值得一提的是 古 2020 2 23 27 希臘雖然非常強(qiáng)調(diào)演繹推理 但數(shù)學(xué)思想發(fā)展的歷史表明 他們的數(shù)學(xué)創(chuàng)造也離不開觀察 實(shí)驗(yàn) 離不開歸納 猜想和分析 中國古代數(shù)學(xué)是以問題為中心的算法體系 九章算術(shù) 的成書是其形成的標(biāo)志 2 近代的數(shù)學(xué)思想和方法17 18世紀(jì) 歐洲的數(shù)學(xué)創(chuàng)造也進(jìn)入了一個(gè)嶄新的時(shí)期 這個(gè)時(shí)期 數(shù)學(xué)不僅產(chǎn)生了許多新的分支 而且產(chǎn)生了許多新的思想和方法 它突出表現(xiàn)在從演繹幾何到幾何代數(shù)化 從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)以及從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)學(xué)的幾個(gè)重大轉(zhuǎn)折上 3 現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想和方法 2020 2 23 28 美國的基礎(chǔ)教育 馬力平 原華師大碩士 在 數(shù)學(xué)的認(rèn)知和教學(xué) 例舉了這樣一個(gè)例子 象考察20個(gè)小學(xué)教師 62 的教師沒有答對(duì) 樣本雖小 但他們中18個(gè)具有學(xué)士學(xué)位 6個(gè)具有碩士或博士學(xué)位 美國小學(xué) 三至五年級(jí) 不教分?jǐn)?shù)美國也在學(xué)習(xí)中國的基礎(chǔ)教育 因此 我們得尋找中西方的最佳結(jié)合點(diǎn) 中間地帶 2020 2 23 29 一條船上有75頭牛和32頭羊 問船長幾歲 這是學(xué)校把學(xué)生越教越笨的表現(xiàn) 中國的中小學(xué)生有92 5 給出答案法國四年級(jí)小學(xué)生給答案的為65 2020 2 23 30 荷蘭 甲離學(xué)校10公里 乙離甲3公里 問乙離學(xué)校幾公里 訓(xùn)練學(xué)生的表示能力甲 乙 學(xué)校在一條直線上 沒有說校乙甲乙 2020 2 23 31 數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用舉例1 數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)模型方法數(shù)學(xué)從內(nèi)容到方法都顯示出極其高度的抽象性 1 數(shù)學(xué)抽象方法1 1數(shù)學(xué)抽象的概念數(shù)學(xué)抽象是抽象方法在數(shù)學(xué)中的具體運(yùn)用 也就是利用抽象方法把大量生動(dòng)的關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的直觀背景材料進(jìn)行去偽存真 由此及彼 由表及里的加工和制作 提煉數(shù)學(xué)概念 構(gòu)造數(shù)學(xué)模型 建立數(shù)學(xué)理論 2020 2 23 32 1 2數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn) 1 數(shù)學(xué)抽象的特殊內(nèi)容 數(shù)學(xué)只是量的科學(xué) 1 1頭牛 1只羊 2 數(shù)學(xué)抽象的特殊高度 和一般的自然科學(xué)相比 數(shù)學(xué)抽象的又一特點(diǎn)在于它所達(dá)到的高度 數(shù)學(xué)的抽象程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了自然科學(xué)中的一般抽象 首先 數(shù)學(xué)抽象往往是在其他學(xué)科抽象基礎(chǔ)上的再抽象 例如 正比例函數(shù)是物理學(xué)中勻速直線運(yùn)動(dòng)和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的再抽象 其次 數(shù)學(xué)抽象具有逐級(jí)抽象的特點(diǎn) 更為重要的是 數(shù)學(xué)抽象的特殊高度表現(xiàn)在數(shù)學(xué)中一些概念與真實(shí)世界的距離是如此遙遠(yuǎn)以致常常被看成 思維的自由想象物和創(chuàng)造物 這即為數(shù)學(xué)中所謂的 理想元素 如無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 3 數(shù)學(xué)抽象的特殊方法 數(shù)學(xué)抽象就是一種建構(gòu)的活動(dòng) 數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是通過邏輯建構(gòu)活動(dòng)來得到構(gòu)造的 2 數(shù)學(xué)抽象的基本方法 2020 2 23 33 2 1理想化抽象在純粹理想的狀態(tài)下 對(duì)事物進(jìn)行簡(jiǎn)單化與完善化的加工處理 撇開事物的具體內(nèi)容 排除次要的 偶然的因素 聚合事物的一般的本質(zhì)的屬性 抽象出相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的方法 2 2強(qiáng)抽象與弱抽象強(qiáng)抽象是指在已知概念中 加強(qiáng)對(duì)某一屬性的限制 抽象出作為原概念特例的新概念的方法 即通過擴(kuò)大原概念的內(nèi)涵來建立新概念的抽象方法 例 從四邊形概念出發(fā) 從兩組對(duì)邊給予適當(dāng)限制 則得平行四邊形和梯形的概念 若從平行四邊形概念出發(fā) 再對(duì)邊或角分別適當(dāng)限制 有得到矩形 菱形及正方形的概念 弱抽象 指在已知概念中 減弱對(duì)某一屬性的限制 抽象出比原概念更為廣泛的新概念 使原概念成為新概念的特例的方法 即通過縮小原概念的內(nèi)涵來建立新概念的抽象方法 2020 2 23 34 例 從全等三角形的概念出發(fā) 借助弱抽象就可獲得相似形與等積形的概念 它們分別保留了 形狀相同 及 面積相等 的特性 2 3等置抽象從一類對(duì)象 具體的或抽象的個(gè)體 中抽象出其中的某種共同屬性的抽象方法 例 自然數(shù)的概念就是用等置抽象的思想建立起來的 每個(gè)自然數(shù)實(shí)際上都是一類等價(jià)集合的標(biāo)記 它反映這類集合中元素的數(shù)目是該類集合的類的標(biāo)記 它反映這類集合中元素的數(shù)目 是該類集合的類的特征 2 4存在性抽象先用假設(shè)的方法肯定抽象出來的數(shù)學(xué)概念存在性 并由此發(fā)展出一定的數(shù)學(xué)理論 然后在理論和實(shí)踐中加以驗(yàn)證 從而確認(rèn)新的數(shù)學(xué)理論的合理性 如 自然數(shù) 無限延伸 以及無理數(shù) 負(fù)數(shù) 虛數(shù)都是由存在性抽象方法建立起來的 2020 2 23 35 應(yīng)用舉例 例1 7只杯放在桌子上 三只杯口朝上 四只杯口朝下 現(xiàn)要求每次同時(shí)翻轉(zhuǎn)其中四只使杯口朝向相反 問能否經(jīng)過有限次翻轉(zhuǎn)后 使所有杯子杯口均朝下 分析 1表示杯口朝上 1表示杯口朝下起始狀態(tài) 三個(gè) 1 四個(gè) 1 1 1 1 1 1 1 1 終點(diǎn)狀態(tài)是七個(gè) 1 即 1 翻轉(zhuǎn)一只杯子使其朝向相反 不是 1也即在 1 或 1 上乘以 1 現(xiàn)欲將四只杯子同時(shí)翻轉(zhuǎn) 可見每次 運(yùn)算 即翻轉(zhuǎn)杯子 的總結(jié)果是乘以 原問題就抽象為如下問題 能否每次同時(shí)改變四個(gè)符號(hào)使起始狀態(tài)變?yōu)榻K點(diǎn)狀態(tài) 顯然不可能 因?yàn)?起始狀態(tài)結(jié)果為 終點(diǎn)狀態(tài)為 2020 2 23 36 例男女若干人圍坐在一個(gè)圓桌 在相鄰兩人間插上一朵花 同性者中間插一朵紅花 異性者中間插一朵蘭花 若所插的紅花與蘭花一樣多 證明 男女人數(shù)總和是4的倍數(shù) 例 1906年匈牙利 設(shè)a為1 2 3 的某種排列 證明 若n為奇數(shù) 則積 為偶數(shù) 由上例可以編出下列習(xí)題例 1968年英國 設(shè)a為整數(shù) 為它們的一個(gè)排列 證明 數(shù) 為偶數(shù) 2020 2 23 37 例 任選六個(gè)人在一起集合 試證其中要么至少有三個(gè)人彼此不認(rèn)識(shí) 要么至少有三個(gè)人互相認(rèn)識(shí) 此問題常稱為六人集合問題 現(xiàn)用理想化抽象的方法處理 2020 2 23 38 例在哥尼斯堡七橋問題中 一筆畫問題就是七橋問題的數(shù)學(xué)模型 2020 2 23 39 例 將1到100這一百個(gè)自然數(shù)寫在一起成為一個(gè)多位數(shù) 1234567891011121314 9899100試從這個(gè)數(shù)中去掉一百個(gè)數(shù)字 而使剩下的數(shù)最大 問應(yīng)怎樣去法 最后剩下的數(shù)是什么數(shù) 2020 2 23 40 按照題意 應(yīng)使最后剩下的這個(gè)數(shù)的前面幾位數(shù)字盡量地大 1 去掉12345678 共8個(gè)數(shù)字 使剩下的第一位數(shù)字為9 2 去掉第一個(gè)9后面的101112131415161718 再去掉19的1 這樣共去掉19個(gè)數(shù)字 使剩下的第二位數(shù)字為9 再去掉第二個(gè)9后面的2021222324252627282共19個(gè)數(shù)字 使剩下的第三位數(shù)字位9 如此繼續(xù)下去 至剩下第五個(gè)9時(shí) 算一算就知道去掉了84個(gè)數(shù)字 3 去掉第五個(gè)9后面的14個(gè)數(shù)字50515253545556 這樣一共去掉98個(gè)數(shù)字 再可去掉兩個(gè)數(shù)字 若去掉57 則剩下的第六位數(shù)字為5 不算大 因此只去掉一個(gè)數(shù)字5 使剩下的第六位數(shù)字為7 4 最后再去掉7后面的一個(gè)數(shù)字5 使剩下的第七位字為8 由上面得到的剩下的最大數(shù)為 9999978596061 9899100 2020 2 23 41 例 計(jì)算 2020 2 23 42 提示 分子 分母 答案為2 2020 2 23 43 整體化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 整體把握法是指全面地 總體地考慮數(shù)學(xué)問題 注意分析問題的整體結(jié)構(gòu) 從整體角度思考 從宏觀上理解和認(rèn)識(shí)問題的實(shí)質(zhì) 以達(dá)到解決問題的目的 例1設(shè)都是非零實(shí)數(shù) 則行列式中至少有一項(xiàng)是負(fù)數(shù) 有一項(xiàng)是正數(shù) 2020 2 23 44 1 挖掘問題的整體化特征例2 在正方形內(nèi)部給出2000個(gè)點(diǎn) 現(xiàn)在用M來表示該正方形的 個(gè)頂點(diǎn)和上述個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集 并按下式規(guī)則把上述正方形紙片剪成一些三角形 使得 每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)都是M中元素 除頂點(diǎn)之外 每個(gè)三角形不再含M中的元素 試問 共可剪出多少個(gè)三角形 如果三角形每邊剪一刀 共要剪幾刀 2020 2 23 45 故共剪出4200個(gè)三角形 每個(gè)三角形共有三邊 故每個(gè)三角形共要剪 刀 4200個(gè)三角形共邊 但原四邊形的四邊不必剪 并且注意到其余每邊都是兩個(gè)三角形的公共邊 故應(yīng)剪的刀數(shù)是 故共要剪去6100刀 圖1正方形 2020 2 23 46 分析與思考 如果逐點(diǎn)或逐個(gè)三角形來考慮 那就太繁瑣了 由于三角形三內(nèi)角和為定值 而正方形每個(gè)頂點(diǎn)不管這樣剪總可以提供90 內(nèi)部的每個(gè)點(diǎn)可以提供360 因此可以從三角形內(nèi)角和總數(shù)方面作整體性考慮 如圖 中有兩類點(diǎn) 第一類為四邊形的頂點(diǎn) 即等 第二類是四邊形內(nèi)部的那2000個(gè)點(diǎn) 如等 研究以第一類點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形的相關(guān)角 如以D為公共頂點(diǎn)的 它們的和為90 以第二類點(diǎn)中每個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的相關(guān)角的和為360 例如 以P為頂點(diǎn)的三角形有3個(gè) 其中 以P為公共頂點(diǎn)的 個(gè)角之和為 故符合條件的所有三角形的內(nèi)角和為 2020 2 23 47 2 從全局入手解決局部問題本來是個(gè)局部的數(shù)學(xué)問題 為解決它 升格 為全局問題 通過對(duì)全局問題的研究 導(dǎo)致原問題的解決 例3求包含在正整數(shù)與 之間的分母為3的所有不同約分?jǐn)?shù)之和 2020 2 23 48 思考與分析 這樣的所有分?jǐn)?shù)是它既非等差數(shù)列 又非等比數(shù)列 當(dāng)然不好求和 但我們看到包含正整數(shù)與之間的可約分分?jǐn)?shù)為它的各項(xiàng)和容易求出為 這兩類分?jǐn)?shù)統(tǒng)一在整體之中 而這整體分?jǐn)?shù)為等差數(shù)列 各項(xiàng)和為所以所求分?jǐn)?shù)之和為 2020 2 23 49 3 從整體結(jié)構(gòu)考慮 抓住整體的不變性在研究一個(gè)題目時(shí) 當(dāng)一些條件變化了 而另一些條件或者研究對(duì)象的整體保持不變 這些整體的不變性可以直接影響題目的結(jié)果 我們就要從整體上去發(fā)現(xiàn)和抓住這些不變的因素 例4設(shè)名選手兩兩之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽 沒有平局 第i名選手勝場(chǎng) 負(fù) 求證 我們考慮比賽總場(chǎng)數(shù)這一整體 因?yàn)槊恳粓?chǎng)比賽 沒有平局 必有一人勝 一人負(fù) 所以 所有人所有勝場(chǎng)總和等于所有人所有負(fù)場(chǎng)總和 即 這是一個(gè)不變量 另外 對(duì)于每個(gè)選手都是比賽了場(chǎng) 因此有 這又是一個(gè)不變量 利用這兩個(gè)不變量 本題很容易解決于是 2020 2 23 50 利用這兩個(gè)不變量 本題很容易解決于是于是 2020 2 23 51 4 從整體性質(zhì)出發(fā)對(duì)已知條件整體運(yùn)用 對(duì)已知條件要克服單抓一二項(xiàng) 而忽視其他 要從整體性質(zhì)出發(fā)對(duì)已知條件整體運(yùn)用 挖掘已有條件的地位與作用 從而達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生整體思考能力 例 已知求的值 2020 2 23 52 思考與分析 把四個(gè)方程變成一個(gè)整體 即以為根的關(guān)于的方程 這是一個(gè)關(guān)于的分式方程 可以化為關(guān)于的四次方程 又因?yàn)闉榉匠?2 的根 則整理得 比較方程 2 和 3 中的系數(shù)可得 84 2020 2 23 53 5 利用配對(duì)策略 把局部補(bǔ)成整體 通過題目中的某個(gè)式子A的特點(diǎn) 配上一個(gè)A的對(duì)偶式B 使得A和B從整體上有些比較明顯的結(jié)果 2020 2 23 54 例 已知均為正實(shí)數(shù) 且滿足求證 不等式對(duì)正整數(shù)成立 2020 2 23 55 6 挖掘結(jié)論的整體性 題目的結(jié)論整體性很強(qiáng) 而從局部并不容易去思考 這時(shí) 我們常常把結(jié)論的對(duì)象看做一個(gè)整體 并從整體上去研究結(jié)論的特征 從而獲得解題的方法 例7今有男女各2n人 圍成內(nèi)外兩圈跳邀請(qǐng)舞 每圈各2n人 有男有女 跳舞規(guī)則如下 每當(dāng)音樂一起 如面對(duì)面是一男一女 則男的邀請(qǐng)女的跳舞 如果均是男的 或者均是女的 則鼓掌助興 曲終時(shí) 外圈的人均向前一步 如此繼續(xù) 試證 在整個(gè)跳舞過程中 至少有一次起舞的男女不小于n 2020 2 23 56 思考與分析 我們不能局限在哪一次起舞的過程 也沒有辦法去確定哪一次起舞的男女不小于對(duì) 只能對(duì)本題的結(jié)果整體思考 我們?cè)O(shè)內(nèi)圈的人為 外圈的人為 并設(shè)男的為 1 女的為 1 有了以上的賦值 可以使問題數(shù)學(xué)化 考查若和都是男的或者都是女的 依題設(shè) 則不起舞 此時(shí)有 2020 2 23 57 若和一是男的 一是女的 依題設(shè) 則起舞 此時(shí)有 考慮結(jié)論的整體 假定每次起舞都小于n對(duì) 即結(jié)論不成立 我們可尋求可能發(fā)生的矛盾 由于總對(duì)數(shù)為2n對(duì) 若每次起舞者都小于n對(duì) 則起舞者小于不起舞者 則有 2020 2 23 58 將以上2n個(gè)不等式相加得 1 下面針對(duì) 1 式 研究設(shè)內(nèi)圈有k個(gè)男的 則有2n k女的 此時(shí)外圈有2n k個(gè)男的 k個(gè)女的 于是兩式相乘得 2 1 與 2 發(fā)生矛盾 于是 一定有一次起舞的男女不少于n對(duì) 2020 2 23 59 例 在一串分?jǐn)?shù) 1 第幾個(gè)分?jǐn)?shù) 2 第400個(gè)分?jǐn)?shù)是幾分之幾 2020 2 23 60 解 1 3 5 7 9 11 13 15 17 7 8888 2 10 7 941 3 5 所以第400個(gè)分?jǐn)?shù)為 2020 2 23 61 例在1到100的自然數(shù)集合中 任取51個(gè)數(shù) 其中必有兩個(gè)數(shù) 它們中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù) 構(gòu)造抽屜 設(shè)P為1到100之間的奇數(shù) 按P 2 的形式可以將1到100的所有自然數(shù)分成符合要求的50類 2020 2 23 62 由于從50類中任取51個(gè)數(shù) 至少有兩個(gè)數(shù)在同一類中 2020 2 23 63 化歸思想例將1976分拆成自然數(shù)之和 再將其相乘 試求 并證明 所有這種乘積中之最大值 2020 2 23 64 特殊化方法與極端化方法例1在等式中的括號(hào)內(nèi)填上兩個(gè)不同的自然數(shù) 分析 小的一個(gè)數(shù)必須大于7而小于14 即只有8到13六種情況 若是8 必須是一個(gè)分子為1的分?jǐn)?shù) 注意到 1 便知8與56即為所求 同時(shí)易知只有一組解 8 56 推廣一 7能否換成別的自然數(shù) 注意到 1 式中等式右端的分子1是有8 7而得到 一般有 2 此式是否只有一組解 事實(shí)上 由知 只有為素?cái)?shù)時(shí)才是唯一 2020 2 23 65 極端化就是通過對(duì)極端位置或狀態(tài)下問題特性的考察 以獲得有益啟示 從中引出一般位置或狀態(tài)下的性質(zhì) 從而獲得解決問題的思路 數(shù)學(xué)中的 極端 情況很多 例如 點(diǎn)是圓的半徑為零的極端情況 切線是割線的極端情況等 例2兩人輪流在一張圓桌上擺放大小相同的硬幣 每次只能平放一個(gè) 不能重疊 在桌上放下最后一枚硬幣者為游戲的勝利者 試問是先放者取勝 還是后放者取勝 分析與思考 先考慮極端情形 假設(shè)硬幣恰與圓桌一樣大小 則先擺必勝 這是因?yàn)橹灰延矌艛[在桌子中心即可 從極端情形中可以獲得啟示 先擺的人可以把第一枚硬幣占據(jù)桌子中心 由于桌面為中心對(duì)稱 以后不論對(duì)方把硬幣放至何處 先擺的人總可以把硬幣擺在與其成中心對(duì)稱的位置 故必先擺者取勝 對(duì)于一時(shí)難以入手的一般問題 一個(gè)使用最普遍而又較為簡(jiǎn)單易行的化歸途徑 乃是把它向特殊的形式轉(zhuǎn)化 這就是特殊化法 2020 2 23 66 有趣的數(shù)學(xué)趣味數(shù)學(xué)的啟示 角谷猜想 例 任取一個(gè)大于2的自然數(shù)反復(fù)進(jìn)行下述兩種運(yùn)算 1 若是奇數(shù) 就將該數(shù)乘以3再加上1 2 若是偶數(shù) 則將該數(shù)除以2對(duì)3反復(fù)進(jìn)行這樣的運(yùn)算 對(duì)4 5 6進(jìn)行運(yùn)算其結(jié)果也是1對(duì)7運(yùn)用枚舉歸納法 建立了這樣一個(gè)猜想 從任意一個(gè)大于2的自然數(shù)出發(fā) 反復(fù)進(jìn)行 1 2 兩種運(yùn)算 最后必定得到1 這個(gè)猜想后來被多次檢驗(yàn) 發(fā)現(xiàn)對(duì)7000億以下的數(shù)都是正確的 但是否對(duì)大于2的一切自然數(shù)都是正確 至今還不得而知 2020 2 23 67 數(shù)學(xué)中的黑洞 美國賓夕法尼大學(xué)數(shù)學(xué)教授米歇爾 埃克寫了不少 數(shù)學(xué)黑洞 的文章 其中最簡(jiǎn)單的一個(gè)是123黑洞 在古希臘神話中 科林斯國王西西佛斯受到天譴 天神罰他把一塊巨石推倒一座山上 但無論他怎樣努力 這塊石頭總是在快要到達(dá)山頂之前不可避免地滾下來 于是他只能重新在推 就這樣沒完沒了 永無休止 在數(shù)學(xué)中 同樣的事情也可能發(fā)生 開始我們可以取任何一數(shù)字串 位數(shù)不限 例如948856371接著是數(shù)一數(shù)其中的偶數(shù)個(gè)數(shù) 奇數(shù)個(gè)數(shù)以及總數(shù)的數(shù)字個(gè)數(shù) 把它們寫成一個(gè)三數(shù)組 對(duì)上例來說 便是4 5 9 并略去其中的逗號(hào) 濃縮地記為459對(duì)上述三數(shù)組重復(fù)上述步驟 就得到123 一旦得到了123 以后永遠(yuǎn)都是它 再也擺脫不掉了 所以對(duì)數(shù)字 宇宙 來說 123就是一個(gè)真正的黑洞 不管什么樣的數(shù)字 是否最后都會(huì)跌到123呢 讓我們?cè)倌靡粋€(gè)龐大的數(shù)字串來試試 例如 1223334