高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.1離散型隨機(jī)變量及其分布列2.1.2離散型隨機(jī)變量的分布列講義.docx

2.1.2離散型隨機(jī)變量的分布列知識(shí)點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的分布列1離散型隨機(jī)變量的分布列的概念一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，以表格形式表示為：Xx1x2xixnPp1p2pipn稱(chēng)上表為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列用等式可表示為P(Xxi)pi，i1,2，n，離散型隨機(jī)變量分布列還可以用圖象法表示2離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)(1)pi0，i1,2，n；(2).知識(shí)點(diǎn)兩點(diǎn)分布(1)形式與定義X01P1pp如果隨機(jī)變量X的分布列為上述形式，就稱(chēng)X服從兩點(diǎn)分布(2)稱(chēng)pP(X1)為成功概率(3)兩點(diǎn)分布又稱(chēng)01分布由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫伯努利試驗(yàn)，所以還稱(chēng)這種分布為伯努利分布知識(shí)點(diǎn)超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰好有X件次品，則P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，此時(shí)稱(chēng)分布列：X01mP為超幾何分布列如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布離散型隨機(jī)變量的分布列不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一個(gè)值的概率的大小求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟：(1)找出隨機(jī)變量的所有可能的取值xi(i1,2，)；(2)求出取每一個(gè)值的概率P(xi)Pi；(3)列出表格1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)在離散型隨機(jī)變量分布列中，每一個(gè)可能值對(duì)應(yīng)的概率可以為任意的實(shí)數(shù)()(2)在離散型隨機(jī)變量分布列中，在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各值的概率之積()(3)超幾何分布的總體里只有兩類(lèi)物品()答案(1)(2)(3)2做一做(1)在射擊試驗(yàn)中，令X如果射中的概率是0.9，則隨機(jī)變量的分布列為_(kāi)(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk)，k0,1,2,3，則C_.(3)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X0)0.8，P(X1)0.2.令Y3X2，則P(Y2)_.答案(1)X01P0.10.9(2)(3)0.8解析(1)由題意知X服從兩點(diǎn)分布，故隨機(jī)變量X的分布列為X01P0.10.9(2)由分布列的性質(zhì)得C1，所以C.(3)由Y2，且Y3X2，得X0，所以P(Y2)0.8.探究1離散型隨機(jī)變量的分布列例1一袋中裝有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，以X表示取出球的最大號(hào)碼(1)求X的分布列；(2)求X的取值不小于4的概率解(1)隨機(jī)變量X的可能取值為3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6)，所以隨機(jī)變量X的分布列為X3456P(2)X的取值不小于4的概率為P(X4)P(X4)P(X5)P(X6).拓展提升求離散型隨機(jī)變量的分布列關(guān)鍵有三點(diǎn)：(1)隨機(jī)變量的取值；(2)每一個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率；(3)用所有概率和是否為1來(lái)檢驗(yàn)袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次從中任取一個(gè)球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球?yàn)橹?，求取球次?shù)X的分布列解X的可能取值為1,2,3,4,5，則第1次取到白球的概率為P(X1)，第2次取到白球的概率為P(X2)，第3次取到白球的概率為P(X3)，第4次取到白球的概率為P(X4)，第5次取到白球的概率為P(X5)，所以X的分布列為X12345P探究2離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(Xi)(i1,2,3,4)，求：(1)P(X1或X2)；(2)P.解(1)P(X1或X2)P(X1)P(X2).(2)PP(X1)P(X2)P(X3).拓展提升應(yīng)熟悉分布列的基本性質(zhì)：若隨機(jī)變量X的取值為x1，x2，xn，取這些值的概率為P(Xxi)pi，i1,2，n，則pi0，i1,2，n.p1p2pn1.此外，利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求分布列的正誤，是非常重要的思想方法一般地，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和設(shè)隨機(jī)變量的分布列Pak(k1,2,3,4,5)(1)求常數(shù)a的值；(2)求P；(3)求P.解題目所給分布列為Pa2a3a4a5a(1)由a2a3a4a5a1，得a.(2)PPPP，或P1P1.(3)因?yàn)?，所以?故PPPP.探究3兩點(diǎn)分布例3袋中有紅球10個(gè)，白球5個(gè)，從中摸出2個(gè)球，如果只關(guān)心摸出兩個(gè)紅球的情形，問(wèn)如何定義隨機(jī)變量X，才能使X滿(mǎn)足兩點(diǎn)分布，并求分布列解從含有10個(gè)紅球，5個(gè)白球的袋中摸出2個(gè)球，其結(jié)果是隨機(jī)的，可能是一紅一白、兩紅、兩白三種情況，為此我們定義隨機(jī)變量如下：X則X顯然服從兩點(diǎn)分布，且P(X1)，P(X0)1，X的分布列為X01P拓展提升兩點(diǎn)分布的特點(diǎn)(1)兩點(diǎn)分布中只有兩個(gè)對(duì)應(yīng)結(jié)果，且兩結(jié)果是對(duì)立的；(2)兩點(diǎn)分布中的兩結(jié)果一個(gè)對(duì)應(yīng)1，另一個(gè)對(duì)應(yīng)0；(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X0)(或P(X1)，便可求出P(X1)(或P(X0)；(4)在有多個(gè)結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)中，如果我們只關(guān)心一個(gè)隨機(jī)事件是否發(fā)生，就可以利用兩點(diǎn)分布來(lái)研究它(如本例中隨機(jī)變量X)一批產(chǎn)品的次品率為5%，從中任意抽取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，用隨機(jī)變量X來(lái)描述次品出現(xiàn)的情況，即X0表示產(chǎn)品為合格品，X1表示產(chǎn)品為次品，則X的分布列為X01Pab求a，b的值解X0表示抽取的一個(gè)產(chǎn)品為合格品，概率為95%，即a；X1表示抽取的一個(gè)產(chǎn)品為次品，概率為5%，即b.探究4超幾何分布例4某校高三年級(jí)某班的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試，用X表示其中的男生人數(shù)(1)求X的分布列；(2)求至少有2名男生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的概率解(1)依題意，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，P(Xm)(m0,1,2,3,4)P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，X的分布列為X01234P(2)解法一：(直接法)P(X2)P(X2)P(X3)P(X4).解法二：(間接法)由分布列的性質(zhì)，得P(X2)1P(X2)1P(X0)P(X1)1.拓展提升超幾何分布的求解步驟(1)辨模型：結(jié)合實(shí)際情景分析所求概率分布問(wèn)題是否具有明顯的兩部分，如“男生、女生”，“正品、次品”，“優(yōu)、劣”等，或可轉(zhuǎn)化為明顯的兩部分具有該特征的概率模型為超幾何分布模型(2)算概率：可以直接借助公式P(Xk)求解，也可以利用排列組合及概率的知識(shí)求解，需注意借助公式求解時(shí)應(yīng)理解參數(shù)M，N，n，k的含義(3)列分布表：把求得的概率值通過(guò)表格表示出來(lái)在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品，其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)品(1)顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列；(2)顧客乙從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，求顧客乙中獎(jiǎng)的概率；設(shè)顧客乙獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值為Y元，求Y的分布列解(1)抽獎(jiǎng)一次，只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況P(X1)，則P(X0)1P(X1)1.因此X的分布列為X01P(2)顧客乙中獎(jiǎng)可分為互斥的兩類(lèi)事件：所抽取的2張獎(jiǎng)券中有1張中獎(jiǎng)或2張都中獎(jiǎng)故所求概率P.Y的所有可能取值為0,10,20,50,60，且P(Y0)，P(Y10)，P(Y20)，P(Y50)，P(Y60)，因此隨機(jī)變量Y的分布列為Y010205060P1.離散型隨機(jī)變量的分布列，不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一個(gè)值時(shí)的概率的大小，從而反映了隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布情況.2.一般地，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.3.兩點(diǎn)分布：兩點(diǎn)分布是很簡(jiǎn)單的一種概率分布，兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩種可能，要注意成功概率的值指的是哪一個(gè)量.4.超幾何分布：超幾何分布在實(shí)際生產(chǎn)中常用來(lái)檢驗(yàn)產(chǎn)品的次品數(shù)，只要知道N，M和n就可以根據(jù)公式：P(Xk)求出X取不同值k時(shí)的概率學(xué)習(xí)時(shí)，不能機(jī)械地去記憶公式，而要結(jié)合條件以及組合知識(shí)理解M，N，n，k的含義.1設(shè)隨機(jī)變量Y的分布列為：Y123Pm則“Y”的概率為()A. B. C. D.答案C解析m1，m，PP(2)P(3).2一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為P(X)，則P(X4)的值為()A. B. C. D.答案C解析由題意取出的3個(gè)球必為2個(gè)舊球1個(gè)新球，故P(X4).3在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，那么以為概率的事件是()A都不是一等品 B恰有1件一等品C至少有1件一等品 D至多有1件一等品答案D解析“2件都是二等品”的概率P1，“2件中有1件是一等品、1件是二等品”的概率P2，則P1P2.4一個(gè)袋子里裝有4個(gè)紅球和3個(gè)黑球，從袋中任取4個(gè)球，取到1個(gè)紅球得1分，取到1個(gè)黑球得3分，設(shè)總得分為隨機(jī)變量，則P(6)_.答案解析取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)可能為4,3,2,1，相應(yīng)的黑球的個(gè)數(shù)為0,1,2,3，則的所有可能取值為4,6,8,10，故P(6)P(4)P(6).5某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為12345P0.40.20.20.1