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第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1函數(shù)f(x)x3ax23x9,已知f(x)有兩個極值點x1,x2,則x1x2等于()A9B9C1D1解析:f(x)3x22ax3,x1x21.答案:C2函數(shù)f(x)x3ax23x9,已知f(x)在點x3處取得極值,則a等于()A2B3C4D5解析:f(x)3x22ax3,又f(x)在點x3處取得極值,所以f(3)3(3)26a30,所以a5.答案:D3函數(shù)f(x)x3ax1在(,1)上為增函數(shù),在(1,1)上為減函數(shù),則f(1)為()A.B1C.D1解析:f(x)x2a,又f(1)0,a1,f(1)11.答案:C4.如果函數(shù)yf(x)的圖像如右圖,那么導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖像可能是下圖中的()解析:由f(x)的圖像可知,函數(shù)f(x)從左至右有四個單調(diào)區(qū)間,依次為遞增、遞減、遞增、遞減,故f(x)的圖像從左至右應(yīng)有四個部分,其函數(shù)值依次為正、負、正、負,故選A.答案:A5函數(shù)f(x)x22ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是()A(0,1B1,)C(,1,(0,1)D1,0),(0,1解析:f(x)2x0.又x0,x210,0x1.答案:A6已知函數(shù)f(x)x3(4m1)x2(15m22m7)x2在(,)上是增函數(shù),則()Am2或m4B4m2C2m4D以上皆不正確解析:f(x)x22(4m1)x(15m22m7)0恒成立,所以4(4m1)24(15m22m7)0恒成立,所以4m224m320,2m4.答案:C7函數(shù)yf(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),其圖像如圖所示記yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為yf(x),則不等式f(x)0的解集為()A.2,3)B.C.1,2)D.解析:由條件f(x)0知,選擇f(x)圖像的下降區(qū)間即為解答案:A8對任意的xR,函數(shù)f(x)x3ax27ax不存在極值點的充要條件是()A0a21Ba0或a7Ca0或a21Da0或a21解析:f(x)3x22ax7a,令f(x)0,當4a284a0,即0a21時,f(x)0恒成立,函數(shù)不存在極值點故選A.答案:A9某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù):y117x2,生產(chǎn)成本y2(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù):y22x3x2(x0),為使利潤最大,應(yīng)生產(chǎn)()A6千臺B7千臺C8千臺D9千臺解析:設(shè)利潤為y,則yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0),y6x236x6x(x6),令y0,解得x0或x6,經(jīng)檢驗知x6既是函數(shù)的極大值又是函數(shù)的最大值點答案:A10若函數(shù)yf(x)在R上可導(dǎo),且滿足不等式xf(x)f(x)恒成立,且常數(shù)a,b滿足ab,則下列不等式一定成立的是()Aaf(b)bf(a)Baf(a)bf(b)Caf(a)bf(b)Daf(b)bf(a)解析:令F(x)xf(x),則F(x)xf(x)f(x),由xf(x)f(x),得xf(x)f(x)0,即F(x)0,所以F(x)在R上為遞增函數(shù)因為ab,所以af(a)bf(b)答案:B二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分把答案填在題中橫線上)11.如圖是一個三次多項式函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像,則當x_時,函數(shù)f(x)取得極小值解析:由f(x)的圖像可知,f(x)在(0,4)內(nèi)單調(diào)遞減,在(4,)內(nèi)單調(diào)遞增,故當x4時,f(x)取得極小值答案:412已知函數(shù)f(x)x3ax2bx27在x1處有極大值,在x3處有極小值,則ab_.解析:f(x)3x22axb,則1,3是方程3x22axb0的兩根,13,13,a6,b9,ab15.答案:1513函數(shù)f(x)xln x(x0)的單調(diào)遞增區(qū)間是_解析:f(x)xln x,f(x)ln x1.由f(x)0,即ln x10,x.單調(diào)遞增區(qū)間為.答案:14已知函數(shù)f(x)2ln x(a0)若當x(0,)時,f(x)2恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是_解析:f(x)2即a2x22x2ln x,令g(x)2x22x2ln x,則g(x)2x(12ln x)由g(x)0得xe,0(舍去),且0xe時,g(x)0;當xe時,g(x)0,xe時g(x)取最大值g(e)e.ae.答案:ae三、解答題(本大題共4小題,滿分50分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15(12分)求函數(shù)f(x)x3x28x1(6x6)的單調(diào)區(qū)間、極值解析:f(x)x3x28x1,f(x)x22x8,令f(x)0,得x2或x4.當x(6,2)時,f(x)0;當x(2,4)時,f(x)0.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為6,2,4,6,單調(diào)減區(qū)間為2,4當x2時,f(x)取得極大值f(2);當x4時,f(x)取得極小值f(4).16(12分)已知定義在R上的函數(shù)f(x)x2(ax3),其中a為常數(shù)(1)若x1是函數(shù)f(x)的一個極值點,求a的值;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,0)上是增函數(shù),求a的取值范圍解析:(1)f(x)ax33x2,f(x)3ax26x3x(ax2),x1是f(x)的一個極值點,f(1)0,a2.(2)當a0時,f(x)3x2在區(qū)間(1,0)上是增函數(shù),a0符合題意;當a0時,f(x)3ax,由f(x)0,得x0,x,當a0時,對任意x(1,0),f(x)0,a0符合題意當a0時,當x,由f(x)0,得1,2a0符合題意;綜上所述,a2.17(12分)甲方是一農(nóng)場,乙方是一工廠由于乙方生產(chǎn)要占用甲方的資源,因此甲方有權(quán)向乙方索賠,以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入在乙方不賠付甲方的情況下,乙方的年利潤x(元)與年產(chǎn)量a(t)滿足函數(shù)關(guān)系x2 000.若乙方每生產(chǎn)1 t產(chǎn)品必須賠付甲方s(元)(以下稱s為賠付價格):(1)將乙方的年利潤(元)表示為年產(chǎn)量a(t)函數(shù),并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量;(2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額y0.002a2,在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下,甲方要在索賠中獲得最大凈收入,應(yīng)向乙方要求的賠付價格s是多少?解析:(1)因為賠付價格為s元/t,所以乙方的實際年利潤為2 000sa.因為2 000s()2s()2,所以當a2時,取得最大值所以乙方獲得最大年利潤的年產(chǎn)量a2(t)(2)設(shè)甲方凈收入為v(元),則vsa0.002a2.將a2代入上式,得到甲方凈收入v與賠付價格s之間的函數(shù)關(guān)系式v.又v,令v0得s20,當s20時,v0;當s20時,v0,易知s20時,v取得最大值,因此甲方向乙方要求賠付價格s20(元)時,獲得最大凈收入18(14分)已知f(x)x(mR),(1)若m2,求函數(shù)g(x)f(x)ln x在區(qū)間上的最大值;(2)若函數(shù)ylogf(x)2在區(qū)間1,)上是減函數(shù)

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