光纖光纖光學(xué)及技術(shù) 第二章1.pptx

第二章光纖傳輸理論 光有波粒二重性 即可以將其看成光波 也可以看成是由光子組成的粒子流 描述光傳輸特性的兩種理論 射線理論 幾何光學(xué)方法 波動(dòng)理論 電磁場(chǎng)理論 射線理論 當(dāng)光線芯徑遠(yuǎn)大于光波波長(zhǎng)l時(shí) 可近似認(rèn)為l 0 從而將光波近似看成由一根光線所構(gòu)成 因此 可以用幾何光學(xué)的方法來(lái)分析光線的入射 傳播 軌跡 以及時(shí)延 色散 和光強(qiáng)分布等特性 優(yōu)點(diǎn) 簡(jiǎn)單直觀 在分析芯徑較粗的多模光纖時(shí)可以得到較精確的結(jié)果 缺點(diǎn) 不能解釋諸如模式分布 包層模 模式耦合 以及光場(chǎng)分布等現(xiàn)象 而且當(dāng)工作波長(zhǎng)于芯徑可比較 單模光纖 誤差較大 波動(dòng)理論 一種嚴(yán)格的分析方法 嚴(yán)格性在于 1 從光波的本質(zhì)特性 電磁波出發(fā) 通過(guò)求解電磁波所遵從的麥克斯韋方程 導(dǎo)出電磁場(chǎng)的場(chǎng)分布 具有理論上的嚴(yán)謹(jǐn)性 2 未作任何前提近似 因此適用于各種折射率分布的單模光纖和多模光纖 光纖的射線理論分析 階躍光纖 射線類型子午光線斜射線 子午光線 一個(gè)周期內(nèi)與光纖的中心軸線相交兩次子午面 經(jīng)過(guò)光纖中心軸線的面 光線的模式 導(dǎo)波 導(dǎo)模 被限制在纖芯中以折線軌跡沿光纖軸線方向傳播 芯包界面產(chǎn)生全反射輻射模 不滿足全反射條件 芯包界面產(chǎn)生反射和折射 多次折射后 光能量迅速減少不同的模式入射角不同滿足q1 qc的角度是連續(xù)的 但是模式不是連續(xù)的 相位一致條件 同一等相位面上光的相位差為2p的整數(shù)倍4 0 1 1 2 2 0 1 2 為界面發(fā)生全反射時(shí)的相位突變值不同的整數(shù)對(duì)應(yīng)不同的入射角 使導(dǎo)模的入射角分立多模傳輸 N大模次越高 N小模次越小單模傳輸 基模 例2 1 某階躍光纖纖芯半徑為5 m 纖芯折射率n1 1 5 試求光波長(zhǎng)分別為1 5 m和0 85 m時(shí) 兩相鄰導(dǎo)模入射角的余弦差解 當(dāng)N分別取N 1和N時(shí) 對(duì)應(yīng)導(dǎo)模的入射角分別為 1 和 1 則有 相減可得當(dāng)波長(zhǎng)為1 5 m時(shí)當(dāng)波長(zhǎng)為0 85 m時(shí)注 長(zhǎng)波長(zhǎng)下 導(dǎo)模入射角的間隔大 例2 2 兩階躍光纖纖芯半徑分別為5 m和50 m 纖芯折射率均為n1 1 5 假設(shè)相位突變值相同 試求在光波長(zhǎng)為0 85 m時(shí) 兩光纖中相鄰模次的導(dǎo)模的入射角的余弦差為多少解 對(duì)纖芯半徑為5 m的光纖 有 對(duì)纖芯半徑為50 m的光纖 有注 纖芯半徑越大 導(dǎo)模入射角間隔越小 即在 c 900間可容納的的導(dǎo)模就會(huì)增加 例2 3 兩階躍光纖纖芯半徑均為5 m 纖芯折射率分別為n1 1 5和1 53 試求在光波長(zhǎng)為0 85 m時(shí) 兩光纖相鄰導(dǎo)模入射角的余弦差各為多少解 對(duì)纖芯折射率為1 5的光纖 對(duì)纖芯折射率為1 53的光纖注 纖芯折射率越大 導(dǎo)模入射角間隔越小 即在 c 900間可容納的的導(dǎo)模就會(huì)增加 導(dǎo)模傳播常數(shù) 入射光線沿光線方向的波數(shù)k k0n1在軸線方向的分量 就是該模式在軸線方向的傳播常數(shù) 0 1 1 每一模式有一截止波長(zhǎng) c 當(dāng)工作波長(zhǎng)大于該模式的截止波長(zhǎng)時(shí) 該模式截止 反之 模式傳輸導(dǎo)模的模次越高 其截止波長(zhǎng)越短高次模都截止時(shí) 處于單模傳輸狀態(tài) 數(shù)值孔徑與相對(duì)折射率差 根據(jù)折射定律 0 1sin90 1 11 2 11 2 12 12 22 的值可說(shuō)明光纖收集光線的能力數(shù)值孔徑NA 用入射角的正弦值來(lái)描述 為光纖的相對(duì)折射率差 它反映纖芯和包層折射率的差異程度相對(duì)折射率差越大 光纖的數(shù)值孔徑越大 收集光線的能力越強(qiáng) 通常把 很小的光纖稱為弱導(dǎo)光纖 最大時(shí)延差 通常用最大時(shí)延差來(lái)表示最低次和最高次導(dǎo)模間的時(shí)延差 它是入射角分別為臨界角和900的兩光線傳輸所用時(shí)間差 為介質(zhì)中的光束 越大 最大時(shí)延差越大 例2 4 設(shè)兩光纖的數(shù)值孔徑分別為NA 0 20和NA 0 30 纖芯折射率均為n1 1 5 L 1km 試分別計(jì)算兩光纖的最大時(shí)延差解 由 得 對(duì)于的光纖NA 0 20對(duì)于的光纖NA 0 30 斜射光線 不在子午面內(nèi) 是穿越子午面的光線焦散面 斜射線的內(nèi)切圓對(duì)應(yīng)的面 P點(diǎn)是光線在芯包界面的入射點(diǎn) PN為該點(diǎn)法線 PQ是圓柱面的母線 與光纖軸線平行 TP是過(guò)P點(diǎn)的纖芯橫截面外圓的切線 是入射光線與PN的夾角 是反射光線與PQ的夾角 是反射光線在橫截面的投影PR與TP的夾角 可得光線軌跡 內(nèi)焦散面的半徑 數(shù)值孔徑 當(dāng) 90 時(shí) ric 0 子午光線0 90 偏斜光線 斜射線 束縛光線 子午光線和斜射線折射光線漏泄光線 梯度型光纖射線分析 射線類型子午光線斜射線 子午光線 梯度光纖中的光線也分子午光線和斜射光線兩種 由于梯度光纖中纖芯折射率分布是隨r變化的 光纖中子午光線不是直線傳播 而是曲線傳播 斜射光線是不經(jīng)過(guò)光纖軸心的空間曲線 射線軌跡同樣按照折射定律發(fā)生彎曲 形狀比較復(fù)雜 光纖的最佳折射率分布 自聚焦光纖射線的軌跡是Z的周期函數(shù) 當(dāng)折射率分布為雙曲正割型分布時(shí) 不同初始條件入射的子午光線有相同的軸向速度 能得到自聚焦 本地?cái)?shù)值孔徑和相對(duì)折射率差 梯度型光纖的纖芯折射率是徑向函數(shù) 數(shù)值孔徑也與徑向有關(guān) 稱為本地?cái)?shù)值孔徑 相對(duì)折射率差為 階躍光纖波動(dòng)理論分析 嚴(yán)格的矢量求解TE模 TM模 EH模 HE模標(biāo)量近似解把所有模式歸為一類 階躍光纖矢量解法 可以先求縱向場(chǎng)分量 再根據(jù)橫向場(chǎng)與縱向場(chǎng)的關(guān)系 確定橫向場(chǎng) 階躍光纖中縱向場(chǎng)分量 在柱坐標(biāo)系下 階躍光纖中縱向場(chǎng)分量 運(yùn)用分離變量法 令代入 得兩邊同除以 階躍光纖中縱向場(chǎng)分量 分離變量后得到關(guān)于r和 的兩個(gè)獨(dú)立方程 Hz有和Ez一樣的通解形式 纖芯和包層中的縱向場(chǎng) 導(dǎo)模滿足全反射條件取正旋 并乘以k0n1 在纖芯區(qū) 纖芯中的縱向場(chǎng)解應(yīng)為同樣場(chǎng)分量腳標(biāo)中的 1 代表場(chǎng)分量是纖芯中的場(chǎng)分量 在包層區(qū) 縱向場(chǎng)的解應(yīng)為場(chǎng)分量腳標(biāo)中的 2 代表場(chǎng)分量是包層中的場(chǎng)分量 邊界條件的應(yīng)用 為了方便 定義兩個(gè)參量u和wu和w分別稱為纖芯中橫向相位常數(shù)和包層中橫向衰減系數(shù) 在纖芯中 根據(jù)場(chǎng)有限可得纖芯區(qū)自然邊界條件 類似的 在包層中 要求 應(yīng)用自然邊界條件后的包層中的縱向場(chǎng)分量可表示為 縱向場(chǎng)在纖芯和包層界面上的邊界條件 令則 類似的則 階躍光纖中橫向場(chǎng)分量 柱坐標(biāo)系下橫向場(chǎng)與縱向場(chǎng)的關(guān)系式為 階躍光纖中橫向場(chǎng)分量 橫向場(chǎng)分量在纖芯和包層邊界上的邊界條件 兩式相乘 消除常數(shù)A B進(jìn)一步變換形式 12 22 2 2 021 2 1 2 12 2 12 22 22 2 21 2 1 2 12 2 22 2 0 關(guān)于或的一元二次方程 可表示為特征方程的精確解表示 因?yàn)閚1 n2 上式簡(jiǎn)化為 12 12 22 12 12 12 22 12 2 4 22 12 2 21 2 1 21 2 22 121 22 特征方程m等不等于0和方程右端取 和 號(hào) 分別有不同的解 導(dǎo)波有不同的分布 參數(shù)及特性 對(duì)應(yīng)不同的模式超越方程 無(wú)法寫出u和w的解析解 使用數(shù)值方法計(jì)算 1 2 1 2 階躍光纖中的模式 若A 0 B 0 則Ez 0 Hz 0 是TE模式的場(chǎng)分布 若A 0 B 0 則Ez 0 Hz 0 是TM模式的場(chǎng)分布 若A 0 B 0 則Ez 0 Hz 0 是EH或HE模式的場(chǎng)分布 若A 0 B 0 則Ez 0 Hz 0 進(jìn)而 所有場(chǎng)分量都等于零 所以 不存在TEM 特征方程 結(jié)合上兩式 以及A B是否為零 得到模式的特征方程 1 TE和TM模式的特征方程A 0 B 0只有m 0 上式才成立 則利用貝塞爾函數(shù)的遞推關(guān)系 類似的 對(duì)于TM模B 0 A 0同理只有m 0才能使上式成立 利用貝塞爾函數(shù)的遞推關(guān)系 上式變?yōu)樵谌鯇?dǎo)近似下 有n1 n2 總結(jié) 1 TE和TM有相同的特征方程 那么對(duì)應(yīng)的TE和TM模式是簡(jiǎn)并的2 特征方程的解不止一個(gè) 通常用TE0n和TM0n來(lái)表示 腳標(biāo)中的0代表m 0 n用于區(qū)分特征方程的不同解 3 m 0 意味著場(chǎng)在圓周方向不變化 n與場(chǎng)沿徑向的變化有關(guān) 例2 5 根據(jù)TE模式的定義 寫出TE模式的各個(gè)場(chǎng)分量解 將m 0 A 0代入表達(dá)式 包層中 EH模式和HE模式的特征方程 特征方程兩式相乘 消去AB在弱波導(dǎo)近似時(shí) n1 n2 k0n1 k0n2 兩邊同時(shí)開平方取 時(shí)的方程為EH模式的特征方程 右端取 時(shí)的方程為HE模式的特征方程EH模的特征方程 HE模的特征方程 總結(jié) 1 EH HE模式各場(chǎng)分量中貝塞爾函數(shù)的階數(shù)都不為02 EH和HE的特征方程不同 它們有不同的解3 同一個(gè)m下 各自特征方程的解都不止一個(gè) 通常用EHmn和HEmn來(lái)表示4 m 0表示場(chǎng)沿圓周方向有變化 場(chǎng)沿徑向的變化與n有關(guān) 各模式各自的特征方程 TE模TM模在弱導(dǎo)近似下與TE模的相同EH模HE模 模式的命名 m 0TE0n模 由特征方程得到 的第n個(gè)解m 0TM0n模 由特征方程得到 的第n個(gè)解m 0HEmn模 由特征方程得到 的第n個(gè)解EHmn模 由特征方程得到 的第n個(gè)解 模式狀態(tài)分析 1 模式的狀態(tài)當(dāng)模式截止成為輻射模輻射時(shí) 1 c 用參數(shù)w2來(lái)劃分模式的狀態(tài)當(dāng)w20時(shí) 模式傳輸 當(dāng)w2 0時(shí) 模式處于臨界截止?fàn)顟B(tài)定義參數(shù)V 歸一化頻率 定義臨界截止時(shí)的u和V分別為uc和Vc當(dāng)時(shí) 模式截止 當(dāng)時(shí) 模式傳輸 當(dāng)時(shí) 模式處于臨界截止?fàn)顟B(tài) 特征方程 歸一化截止頻率 TE和TM模式的歸一化截止頻率Vc 臨界截止時(shí) w 0 利用貝塞爾函數(shù)Km w 在w0時(shí) V01 2 40483 V02 5 52088 V03 8 65373 例2 6 試證明uc 0不是式 2 81 的解 證 當(dāng)uc 0時(shí) 所以u(píng)c 0不是式 2 81 的解 例2 7 某階躍光纖的纖芯半徑a 50 m 纖芯和包層折射率分別為1 51和1 5 試確定TE02 或TM02 能在光纖中傳輸?shù)牟ㄩL(zhǎng)范圍 解 根據(jù)模式傳輸條件V Vc可知 TE02 或TM02 的傳輸條件為V V02 5 52088 EH和HE模式的歸一化截止頻率Vc EH模的特征方程 HE模的特征方程 EH模的歸一化截止頻率Vc 當(dāng)w趨于零 則u趨于uc Vc時(shí)利用貝塞爾函數(shù)在w趨于零時(shí)的近似式則 EHmn模式的歸一化截止頻率v11 3 83171 v12 7 01559 v13 10 17347 HE模的歸一化截止頻率Vc w趨于零 則u趨于uc Vc 有再利用貝塞爾函數(shù)Km w 在小宗量下的近似式 當(dāng)m 1時(shí)HE1n模式的歸一化截止頻率V10 0 V11 3 83171 V12 7 01559 0 當(dāng)m 1時(shí) 單模條件 HE11模具有最低截止頻率 理論上不會(huì)截止 是光纖中的基模 TE01和TM01模具有次低截止頻率Vc 2 40483 當(dāng)光纖工作頻率滿足V 2 40483時(shí) 光纖中只存在HE11模 稱為光纖的單模工作條件 模式數(shù)量和單模傳輸條件 例2 8 某階躍光纖的纖芯半徑a 5 m 纖芯和包層折射率分別為1 502和1 50 試確定單模傳輸時(shí)的工作波長(zhǎng)范圍 遠(yuǎn)離截止 w 模式 臨界截止 遠(yuǎn)離截止歸一化頻率V Vc 參數(shù)w 0 參數(shù)u uc Vc uf 特征方程 uf TE和TM模式的 遠(yuǎn)離截止時(shí)f w u趨于uf利用貝塞爾函數(shù)Km w 在大宗量下的近似式 TE0n和TM0n模式的u的范圍V0n到V1n之間 EH和HE模式的 EH模的ufw u趨于uf EHmn模式的uf在Vmn與Vm 1 n之間 HE模的歸一化截止頻率 w趨于 則u趨于uf 傳播常數(shù) 的數(shù)值求解 和那些參數(shù)有關(guān)1 模式