2018年高中數(shù)學(xué)_第二章 圓錐曲線與方程 2.2.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件10 新人教b版選修1-1

2 2 1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1 雙曲線的定義 1 前提要素 平面內(nèi) 一個動點M 兩個 F1 F2 一個常數(shù)2a 2 滿足關(guān)系 3 限制條件 4 相關(guān)概念 兩個定點F1 F2叫做雙曲線的 兩個定點之間的距離 F1F2 叫做雙曲線的 定點 MF1 MF2 2a 2a F1F2 焦點 焦距 基礎(chǔ)梳理 2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 c 0 c 0 0 c 0 c a2 b2 1 雙曲線中a b c的關(guān)系跟橢圓中a b c的關(guān)系有何區(qū)別 提示 雙曲線中的a b c滿足a2 b2 c2 而橢圓中a b c滿足a2 b2 c2 雙曲線中c最大 而橢圓中a最大 2 要寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程需要確定哪些條件 提示 要寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程需要確定a b的值 最關(guān)鍵的還要確定焦點的位置 思考運用 3 a 3 且焦點為F1 5 0 F2 5 0 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 解析 根據(jù)題意可得a 3 c 5 且焦點在x軸上 又b2 c2 a2 25 9 16 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為答案 1 對雙曲線定義的理解雙曲線的定義揭示了雙曲線的圖形特征 定義是判斷動點軌跡是否是雙曲線的重要依據(jù) 設(shè)集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a c均為大于0的常數(shù) 當(dāng)2a 2c時 集合P為雙曲線 當(dāng)2a 2c時 集合P為以F1 F2為端點的兩條射線 當(dāng)2a 2c時 集合P為空集 即動點M的軌跡不存在 知識點撥 2 對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的認識 1 標(biāo)準(zhǔn)方程的代數(shù)特征 方程右邊是1 左邊是關(guān)于x y的平方差 并且分母大小關(guān)系不確定 2 a b c三個量的關(guān)系 標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個參數(shù)a和b 確定了雙曲線的形狀和大小 是雙曲線的定形條件 這里b2 c2 a2 與橢圓中b2 a2 c2相區(qū)別 且橢圓中a b 0 而雙曲線中 a b大小不確定 題目類型一 雙曲線的定義 技法點撥 雙曲線定義中的限制條件 1 動點到兩定點的距離之差 2 強調(diào)差的絕對值是常數(shù) 3 常數(shù)小于兩定點間的距離 只要上述三個條件有一個不滿足 動點的軌跡就不是雙曲線 典例剖析 典例分析1 已知M 2 0 N 2 0 PM PN 3 則動點P的軌跡為 2 動點P到點M 1 0 的距離與到點N 3 0 的距離之差為2 則點P的軌跡是 1 由已知動點P到兩定點M N的距離之差是常數(shù)3 且3 MN 4 所以動點P的軌跡是雙曲線的一支 又 PM PN 0 所以動點P的軌跡是以M N為焦點的雙曲線的右支 答案 以M N為焦點的雙曲線的右支2 由已知 PM PN 2 MN 所以點P的軌跡不是雙曲線 而是一條以N為端點的射線 答案 以N為端點的射線 思考 雙曲線定義中去掉 絕對值 號 動點的軌跡有何變化 第1題中如何具體判斷是雙曲線的哪一部分 提示 1 若將雙曲線定義中的絕對值號去掉 動點的軌跡成為雙曲線中的一支 2 當(dāng)去掉絕對值號時 要分清動點到兩個焦點距離的遠與近 此時動點的軌跡是近距離焦點所對應(yīng)的雙曲線的一支 變式訓(xùn)練 雙曲線上一點P到點 5 0 的距離為15 則點P到點 5 0 的距離為 解析 雙曲線的焦點為F2 5 0 和F1 5 0 由 PF1 PF2 8 PF1 15 8 PF1 23或 PF1 7 答案 7或23 題目類型二 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 技法點撥 1 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法 1 定義法 定義是研究雙曲線問題的基礎(chǔ)和根本 根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a b c 再寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 待定系數(shù)法 先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或 a b均為正數(shù) 然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可 2 求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個關(guān)注點 1 定位 定位 是指確定與坐標(biāo)系的相對位置 在 標(biāo)準(zhǔn)方程 的前提下 確定焦點位于哪條坐標(biāo)軸上 以判斷方程的形式 2 定量 定量 是指確定a2 b2的具體數(shù)值 常根據(jù)條件列方程求解 典例訓(xùn)練 1 已知雙曲線C 的焦距為10 點P 2 1 在C的漸近線上 則C的方程為 A B C D 2 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 a 4 且經(jīng)過點 2 焦點在坐標(biāo)軸上 且過點 解析 1 選A 由焦距為10 知2c 10 c 5 將p 2 1 代入得a 2b a2 b2 c2 5b2 25 b2 5 a2 4b2 20 所以方程為2 1 若所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為則將a 4代入 得又 點在雙曲線上 由此得b2 0 不合題意 舍去 若所求雙曲線方程為則將a 4代入得代入點得b2 9 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2 解題流程 總結(jié) 1 雙曲線焦點的判斷方法 2 在雙曲線焦點位置不明確的情況下 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法 提示 1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)焦點位置不同有兩種形式 觀察雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 x2 y2中哪一項的系數(shù)為正 焦點就落在哪個軸上 2 當(dāng)雙曲線的焦點位置不確定時 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種思路 一是分別討論焦點在x軸 y軸的情況 求解時要注意檢驗 二是設(shè)為一般形式Ax2 By2 1 A B 0 這樣求解時既避免了分類討論 又簡化了運算過程 變式訓(xùn)練 根據(jù)下列條件 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 雙曲線的中心在原點 焦點在y軸上 且經(jīng)過點 0 2 與 2 經(jīng)過點 5 2 焦點在x軸上 解題指南 根據(jù)焦點位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程形式 再利用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程 解析 1 因為雙曲線的中心在原點 焦點在y軸上 所以可設(shè)雙曲線的方程為又雙曲線經(jīng)過點 0 2 與所以所以雙曲線方程為 2 焦點在x軸上 設(shè)所求雙曲線方程為 其中0 6 雙曲線經(jīng)過點 5 2 5或 30 舍去 所求雙曲線方程是 1 雙曲線的兩焦點坐標(biāo)是F1 3 0 F2 3 0 b 2 則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 A B C D 解析 選A 由題知b 2 c 3 a2 c2 b2 5 又焦點在x軸上 故選A 達標(biāo)訓(xùn)練 2 雙曲線方程為x2 2y2 1 則它的右焦點坐標(biāo)為 A B C D 解析 選C 將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式所以 右焦點坐標(biāo)為 3 設(shè) 是三角形的一個內(nèi)角 且則方程所表示的曲線為 A 焦點在x軸上的橢圓 B 焦點在y軸上的橢圓 C 焦點在x軸上的雙曲線 D 焦點在y軸上的雙曲線 解析 選C 由得sin co