高中數(shù)學(xué)第1章直線多邊形圓1.2.1極坐標(biāo)系的概念學(xué)案北師大版.docx

2極坐標(biāo)系2.1極坐標(biāo)系的概念1.了解極坐標(biāo)系，理解極坐標(biāo)的概念.(重點(diǎn))2.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)判定點(diǎn)的位置.(難點(diǎn))3.能進(jìn)行點(diǎn)坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化.(易錯易混點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)1.極坐標(biāo)系的概念如圖121所示，在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)O，叫作極點(diǎn)，從O點(diǎn)引一條射線Ox，叫作極軸，選定一個單位長度和角的正方向(通常取逆時針方向).這樣就確定了一個平面極坐標(biāo)系，簡稱極坐標(biāo)系.圖1212.極坐標(biāo)的概念對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，用表示線段OM的長，表示以O(shè)x為始邊、OM為終邊的角度，叫作點(diǎn)M的極徑，叫作點(diǎn)M的極角，有序?qū)崝?shù)對(，)叫作點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(，). 特別地，當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時，它的極徑0，極角可以取任意值.3.點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系一般地，極坐標(biāo)(，)與(，2k)(kZ)表示同一個點(diǎn)，特別地，極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0，)(R).和點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性不同，平面內(nèi)一個點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示.如果規(guī)定0，02，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(，)表示；同時，極坐標(biāo)(，)表示的點(diǎn)也是唯一確定的.判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)極軸是以極點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線.()(2)極角的大小是唯一的.()(3)點(diǎn)與點(diǎn)是同一個點(diǎn).()【解析】(1)極軸是以極點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線.(2)因?yàn)闃O角是以極軸為始邊，終邊是過極點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)的射線，可正、可負(fù)，相差2k.(3)因?yàn)闃O角不相差2的整數(shù)倍，故不表示同一個點(diǎn).【答案】(1)(2)(3)質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型根據(jù)點(diǎn)的位置確定點(diǎn)的極坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)A，直線l為過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線，分別求點(diǎn)A關(guān)于極軸、直線l、極點(diǎn)的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定0,00,02，則除極點(diǎn)外，點(diǎn)的極坐標(biāo)是唯一確定的.2.寫點(diǎn)的極坐標(biāo)要注意順序：極徑在前，極角在后，不能顛倒順序.再練一題1.若使正六邊形的一個頂點(diǎn)為極點(diǎn)且邊長為a，極軸通過它的一邊，試求正六邊形各頂點(diǎn)的極坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號：12990004】【解】建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則正六邊形各頂點(diǎn)的極坐標(biāo)為：A(0,0)，B(a,0)，C，D，E，F(xiàn).極坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)是，分別在下列給定條件下，畫出點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)O的對稱點(diǎn)A的位置，并寫出A的極坐標(biāo)：(1)0，；(2)0,02；(3)0，20.【精彩點(diǎn)撥】本題以極坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱為載體，主要考查極坐標(biāo)系中點(diǎn)的極坐標(biāo)的確定，同時考查應(yīng)用極坐標(biāo)系解決問題的能力.【自主解答】如圖所示，|OA|OA|6，xOA，xOA，即A與A關(guān)于極點(diǎn)O對稱，由極坐標(biāo)的定義知：(1)當(dāng)0，時，A點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)當(dāng)0,02時，A點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)當(dāng)0，20時，A點(diǎn)的坐標(biāo)為.由極坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置的步驟：(1)取定極點(diǎn)O；(2)作方向?yàn)樗较蛴业纳渚€Ox為極軸；(3)以極點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以極軸Ox為始邊，通常按逆時針方向旋轉(zhuǎn)極軸Ox確定出極角的終邊；(4)以極點(diǎn)O為圓心，以極徑為半徑畫弧，弧與極角終邊的交點(diǎn)即是所求點(diǎn)的位置.再練一題2.在同一個極坐標(biāo)系中，畫出以下各點(diǎn)：A，B，C，D.【解】如圖所示.探究共研型極坐標(biāo)系的建立及應(yīng)用探究1建立極坐標(biāo)系需要哪幾個要素？這幾個要素間有什么關(guān)系？【提示】建立極坐標(biāo)系的要素是：(1)極點(diǎn)；(2)極軸；(3)長度單位；(4)角度單位和它的正方向，四者缺一不可.極軸是以極點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線，它與極軸所在的直線是有區(qū)別的；極角的始邊是極軸，它的終邊隨著的大小和正負(fù)而取得各個位置；的正方向通常取逆時針方向，的值一般是以弧度為單位的量數(shù)；點(diǎn)M的極徑表示點(diǎn)M與極點(diǎn)O的距離|OM|，因此0.但必要時，允許0.探究2為什么點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯一？能用三角函數(shù)的概念解釋嗎？【提示】根據(jù)我們學(xué)過的任意角的概念：一是終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差2的整數(shù)倍，所以點(diǎn)(，)還可以寫成(，2k)(kZ)；二是終邊在一條直線上且互為反向延長線的兩角的關(guān)系，所以點(diǎn)(，)的坐標(biāo)還可以寫成(，2k)(kZ).某大學(xué)校園的部分平面示意圖如圖122所示.圖122用點(diǎn)O，A，B，C，D，E，F(xiàn)分別表示校門、器材室、公寓、教學(xué)樓、圖書館、車庫、花園，建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的極坐標(biāo).(限定0,02且極點(diǎn)為(0,0).【精彩點(diǎn)撥】解答本題先選定極點(diǎn)作極軸，建立極坐標(biāo)系，再求出各點(diǎn)的極徑和極角，即可得出各點(diǎn)的極坐標(biāo).【自主解答】以點(diǎn)O為極點(diǎn)，OA所在的射線為極軸Ox(單位長度為1 m)，建立極坐標(biāo)系，如圖所示.由|OB|600 m，AOB30，OAB90，得|AB|300 m，|OA|300 m，同樣求得|OD|2|OF|300m，所以各點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(300，0)，B，C，D，E(300，)，F(xiàn).在極坐標(biāo)系中，由點(diǎn)的位置求極坐標(biāo)時，隨著極角的范圍的不同，點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示也會不同，只有在0，0,2)的限定條件下，點(diǎn)的極坐標(biāo)才是唯一的.再練一題3.在極坐標(biāo)系中，已知ABC的三個頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A，B(2，)，C.(1)判斷ABC的形狀；(2)求ABC的面積.【解】(1)如圖所示，由A，B(2，)，C得|OA|OB|OC|2，AOBBOCAOC.AOBBOCAOC，ABBCCA，故ABC為等邊三角形.(2)由上述可知，AC2OAsin 222，SABC(2)23.構(gòu)建體系1.在極坐標(biāo)系中與點(diǎn)P表示同一點(diǎn)的是()A.B.C.D.【解析】在極坐標(biāo)系中將點(diǎn)P確定，再逐個驗(yàn)證知C正確.【答案】C2.已知極坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P，則P關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為()A.B.C.D.【解析】點(diǎn)P關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為.【答案】D3.若A，B，O為極點(diǎn)，則AOB的面積為_.【解析】SAOB.【答案】4.關(guān)于極坐標(biāo)系的下列敘述：極軸是一條射線；極點(diǎn)的極坐標(biāo)是(0,0)；點(diǎn)(0,0)表示極點(diǎn)；點(diǎn)M與點(diǎn)N表示同一個點(diǎn).其中，敘述正確的序號是_. 【導(dǎo)學(xué)號：12990005】【解析】設(shè)極點(diǎn)為O，極軸就是射線Ox，正確；極點(diǎn)O的極徑0，極角是任意實(shí)數(shù)，極點(diǎn)的極坐標(biāo)應(yīng)為(0，)，錯誤；給定極坐標(biāo)(0,0)，可以在極坐標(biāo)平面內(nèi)確定唯一的一點(diǎn)，即極點(diǎn)，正確；點(diǎn)M與點(diǎn)N的極角分別是1，2，二者的終邊互為反向延長線，錯誤.【答案】5.已知邊長為2的正方形AB