近五年高考數(shù)學(xué)數(shù)列壓軸題解題方法研究.doc

近五年高考數(shù)學(xué)數(shù)列壓軸題解題方法研究中文摘要本文對近五年高考理科數(shù)學(xué)數(shù)列壓軸題的解題方法進行了研究，在數(shù)列通項公式方面和數(shù)列不等式方面分別總結(jié)了幾點解題方法。為了讓讀者能夠更好地理解每一種方法，本文在每一種方法后面都進行了說明，并且也給出了相應(yīng)的例子。關(guān)鍵詞 ：數(shù)列壓軸題，數(shù)列通項公式，數(shù)列不等式AbstractThis entrance examination for the past five years mathematical science series finale the theme of problem-solving methods have been studied, Term Formula in a few aspects of the column and several columns the respective inequality problem-solving method of summing up the following points.In order to give readers a better understanding of each method,in this paper, each method are described later in both. And also gives the corresponding examplesKeywords ：Series finale title，Sequence by the formula，Series inequality 緒論數(shù)列作為中學(xué)數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)內(nèi)容，無論是原教學(xué)大綱還是新課程標(biāo)準中都是中學(xué)數(shù)學(xué)的主干知識之一，在高考中占有非常重要的位置，是歷年高考必考內(nèi)容之一。數(shù)列題的題目往往比較簡潔，條件比較少，所以需要比較強的綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力。正因為數(shù)列的這一特點，使得它越來越受到出題者的青睞，從而把它作為高考壓軸題，用以拉開考生的成績。這一點，我們可以從下表得到說明：數(shù)列壓軸題的分布表2005年福建卷湖北卷山東卷天津卷浙江卷重慶卷江蘇卷2006年北京理福建理江蘇理江西理全國1全國2山東理浙江理2007年廣東理重慶理湖南理江西理全國1陜西理安徽理2008年北京理福建理廣東理湖北理全國1理陜西理上海理天津理浙江理重慶理2009年江蘇安徽理北京理廣東理湖南理江西理陜西理上海理四川理天津理重慶理從上表我們可以看到，數(shù)列作為壓軸題在全國各省市的高考題中出現(xiàn)的比例越來越大，因此，對高考數(shù)列壓軸題的解題方法研究就顯得很有必要的，既可以幫助學(xué)生進行有針對性的學(xué)習(xí)，少走彎路，也可以幫助教師進行有針對性的教學(xué)，提高教學(xué)效率。縱觀近幾年的關(guān)于高考數(shù)列的論文，不少人對高考數(shù)學(xué)數(shù)列壓軸題的解題進行了研究，也總結(jié)了不少的精妙的解題方法。但大多數(shù)人都是針對某一道題、某一種解題方法或者某一年高考題的研究，還沒有人對近幾年高考題進行過一次比較系統(tǒng)的方法總結(jié)，下面是筆者結(jié)合近年各省理科高考題數(shù)列壓軸題，在數(shù)列通項公式，數(shù)列不等式方面總結(jié)了一些解題方法，希望對大家有所幫助。1. 數(shù)列的通項公式近幾年高考題雖然題目變來變?nèi)サ?，但涉及到求通項公式的問題，總是有一點方法可以遵循的。1.1定義法此種方法是直接根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義來求數(shù)列的通項公式，一般用來求比較簡單的題目。譬如，在壓軸題第一問出現(xiàn)求數(shù)列通項公式時，次種方法往往適用。根據(jù)定義法來證明數(shù)列是等比數(shù)列時，一般是證明例1（2006年高考理科數(shù)學(xué)山東卷）已知，點在函數(shù)的圖象上，其中（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求及數(shù)列的通項；（3）記，求數(shù)列的前項，并證明證明：（1）本題要證明是等比數(shù)列根據(jù)定義，只要證明要證明，即要證明即要證明由已知得又因為，所以所以是等比數(shù)列（2）略（3）略 根據(jù)定義法來證明數(shù)列是等差數(shù)列時，一般是證明或例2（2005年高考數(shù)學(xué)江蘇卷22）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且，其中A.B為常數(shù)求A與B的值；證明：數(shù)列為等差數(shù)列；證明：不等式對任何正整數(shù)都成立解： （過程略） 由（）得 所以 -得 所以 -得 因為 所以 因為 所以 所以 ， 又 所以數(shù)列為等差數(shù)列答案略這道題在解題過程稍微復(fù)雜，但思路是根據(jù)等差數(shù)列的定義，證得是等差數(shù)列。由于定義法比較簡單，07年之后便少有出現(xiàn)在壓軸題里面，但在非壓軸題里這種方法還是常常被用到。1.2數(shù)學(xué)歸納法有時候，我們無法根據(jù)定義來證明一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列也無法根據(jù)義把數(shù)列通項公式求出來，這時，利用數(shù)學(xué)歸納法，能起到化難為簡的功效。數(shù)學(xué)歸納法的解題步驟分為以下兩步：第一步：證明n取最小正整數(shù)時，等式成立，第二步：假設(shè)n=k(k大于能取得的最小正整數(shù))時等式成立，然后證明n=k+1時等式也成立。第三步：由第一、第二步的結(jié)論我們就可以下結(jié)論說，等號對一切滿足條件的n都成立例3（2005年高考理科數(shù)學(xué)浙江卷20）設(shè)點(，0)，和拋物線：yx2axbn(nN*)，其中an24n，由以下方法得到：x11，點P2(x2，2)在拋物線C1：yx2a1xb1上，點A1(x1，0)到P2的距離是A1到C1上點的最短距離，點在拋物線：yx2an xbn上，點(，0)到的距離是 到 上點的最短距離 ()求x2及C1的方程 ()證明是等差數(shù)列解：（）（過程略） （）設(shè)點是上任意一點，則 令則由題意得即又，即通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)時，上式等號成立，于是，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明確實所要求的等差數(shù)列第一步：證明n取最小正整數(shù)時等號成立，在此題中，n可以取一切正整數(shù)，因此先證明n=1時等號是否成立。當(dāng)時，等式成立；第二步：假設(shè)當(dāng)（k1）時，等式成立，即，下證明n=k+1時等式也成立當(dāng)時，由知，又，即時，等式成立第三步：由第一、第二步知，等式對成立，故是等差數(shù)列例4（2007年高考理科數(shù)學(xué)江西卷22）設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，且對于任何，有（1）求，；（2）求數(shù)列的通項解：（1），（過程略）（2）由，猜想：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明1當(dāng)，時，由（1）知均成立；2假設(shè)成立，則，則時由得因為時，所以，所以又，所以故，即時，成立由1，2知，對任意，數(shù)學(xué)歸納法雖然比較好用，但我們要先觀察分析題目給出的條件，根據(jù)條件進行合理的猜測，然后再用數(shù)學(xué)歸納法來證明自己的猜測。數(shù)學(xué)歸納法在08，09年也得到了廣泛的應(yīng)用，有興趣的東西可以去看看。1.3等比差數(shù)列法等比差數(shù)列在高中課本里沒專門介紹，但在高考壓軸題中常常會遇到，等比差數(shù)列有兩個特點：1、如果把非數(shù)列項去掉的話，數(shù)列就變成了等比數(shù)列；2、如果把式子中所有數(shù)列項的系數(shù)都改成1的話，數(shù)列就變成了等差數(shù)列。我們可以根據(jù)這兩個特點來判斷一個數(shù)列是不是等比差數(shù)列。常見的等比差數(shù)列有以下兩種類型：1.3.1 （p、q為常數(shù)）的形式。求此種等比差數(shù)列的通項公式時，我們可以按照以下的方法來求解：設(shè)存在一個數(shù)k，使得，下求k和p、q的關(guān)系由得，所以因此，這是以p為公比，為通項的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的相關(guān)知識，可以求出的通項公式，進而求出的通項公式。因此求此種等比差數(shù)列的通項公式時，通常是把等比差數(shù)列轉(zhuǎn)化成的形式，然后根據(jù)等比數(shù)列的相關(guān)知識，把數(shù)列的通項公式求解出來。例5（06年高考理科數(shù)學(xué)福建卷22）已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項公式；（II）證明：解：（I）數(shù)列為等比差數(shù)列設(shè)，解得k=1是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。即（II）略有時候，題目不是直接給出的形式，而是給出了別的能夠轉(zhuǎn)化成形式的題目，這是我們就先轉(zhuǎn)化成的形式，然后再利用上述的方法來求解。例6（2008年高考理科數(shù)學(xué)陜西卷22題）已知數(shù)列的首項，（）求的通項公式；（）證明：對任意的，；（）證明：解：（），又，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，（）略（）略同種類型的題目也見于2007年的高考理科數(shù)學(xué)全國1卷中。1.3.2（p是常數(shù)）的形式。此種類型的等比差數(shù)列比第一種類型復(fù)雜了點，但解題方法沒變，仍是想方設(shè)法把轉(zhuǎn)化成（p是常數(shù)）的形式，再利用等比數(shù)列的相關(guān)知識來求解例7（2006年高考理科數(shù)學(xué)全國1卷）設(shè)數(shù)列的前項的和，n=1，2，3 （）求首項與通項；（）設(shè)，n=1,2,3證明：解：（）由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,將和相減得: an=SnSn-1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而數(shù)列 an+2n是首項為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,（）略1.4由遞推公式求出數(shù)列通項公式很多時候，試題為了增加難度，只是給出一個看似毫無規(guī)律的遞推公式，讓我們從遞推公式中找出數(shù)列的通項公式。遇到這種題目，我們一般的解題方法是：或者利用把問題轉(zhuǎn)化，或者是把問題轉(zhuǎn)化成的關(guān)系，又或者把問題轉(zhuǎn)化成的關(guān)系例8（2007年高考理科數(shù)學(xué)陜西卷22）已知各項全不為零的數(shù)列ak的前k項和為Sk,且SkN*),其中a1=1.ZXXK.COM()求數(shù)列ak的通項公式;ZXXK.COM()對任意給定的正整數(shù)n(n2),數(shù)列bk滿足（k=1,2,，n-1）,b1=1.ZX求b1+b2+bn.ZXXK.COM解：（）當(dāng)，由及，得當(dāng)時，由，得因為，所以從而，故()略在這道題當(dāng)中，題目只是給出了SkN*)這個遞推關(guān)系式，于是，我們可以利用把問題轉(zhuǎn)化成，最后得到答案這樣，我們就吧一個看似陌生的問題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的問題來解答。例9（2009年高考理科數(shù)學(xué)江西卷）各項均為正數(shù)的數(shù)列，且對滿足的正整數(shù)都有（1）當(dāng)時，求通項 （2）證明：對任意，存在與有關(guān)的常數(shù)，使得對于每個正整數(shù)，都有解：（1）由得將代入化簡得 所以 故數(shù)列為等比數(shù)列，從而即可驗證，滿足題設(shè)條件.在這道當(dāng)中，題目只是給出了這個遞推公式，通過變換，我們可以把問題轉(zhuǎn)化成,這時候，再用上面的遞推結(jié)構(gòu)法便能很好的得到了答案。利用遞推公式來求解通項公式的方法要求考生要有比較強的推理能力，因此近兩年也比較受出題者的喜愛。當(dāng)然，處理上述幾種方法可求得數(shù)列通項公式外，還有一個不常用的方法偶爾也在試卷中出現(xiàn)，這里不一一介紹了。2.數(shù)列不等式從這五年的高考題來看，凡是涉及到數(shù)列不等式的問題，大部分是以證明題的形式出現(xiàn)。要驗證這些證明題，高考中往往用到了下面幾種方法:2.1數(shù)學(xué)歸納法這種方法在高考中出現(xiàn)的頻率很高，從2006年到2009年，很多涉及到不等式的證明題都可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明。考生只要嚴格按照數(shù)學(xué)歸納法的三個步驟，進行嚴謹?shù)剡\算，便能很好地得到了答案。例10（2005年高考數(shù)學(xué)重慶卷22數(shù)列）an滿足.（）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（）已知不等式，其中無理數(shù)e=2.71828.解：（）證明：（1）當(dāng)n=2時，不等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即那么. 這就是說，當(dāng)時不等式成立根據(jù)（1）、（2）可知：成立.（）略2.2分析法所謂分析法，就是先假設(shè)結(jié)論成立，由此出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)，推出已知條件或絕對不等式，然后再倒推回去得出結(jié)論。例11（2005年高考數(shù)學(xué)江蘇卷23）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且，其中A.B為常數(shù)求A與B的值；證明：數(shù)列為等差數(shù)列；證明：不等式對任何正整數(shù)都成立解:略要證明對任何正整數(shù)m、n都成立，由分析法知，要證 只要證 ，由(2) 可知，所以 ，故只要證 ，即要證明所以結(jié)論成立。用分析法證明不等式時，一定要注意推理過程必須是可逆的。否則推理過程不一定成立2.3反證法反證法也是證明數(shù)列不等式的重要方法，它是在假設(shè)結(jié)論不成立的條件下，通過正確的邏輯推理，推出與已知條件或與已知的正確結(jié)論相矛盾的結(jié)果，從而說明假設(shè)不對，故應(yīng)肯定原結(jié)論成立。例12（2009年高考理科數(shù)學(xué)重慶卷21）設(shè)個不全相等的正數(shù)依次圍成一個圓圈（）若，且是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列的前項和滿足：，求通項；（）若每個數(shù)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項，求證： 解：（）（過程略）（）由題意得由得 由，得， 故. 又，故有.下面反證法證明： 若不然，設(shè)若取即，則由得，而由得，得由得而由及可推得（）與題設(shè)矛盾，同理若P=2，3，4，5均可得（）與題設(shè)矛盾,因此為6的倍數(shù)由均值不等式得由上面三組數(shù)內(nèi)必有一組不相等（否則，從而與題設(shè)矛盾），故等號不成立，從而又，由和得因此由得2.4放縮法在不等式的證明中，常常用舍掉一些正（負）項，或在分式中放大（或縮小）分母或分子，最終達到證明不等式的目的，這種證明方法，通常成為放縮法。常用的放縮法關(guān)系式有（n為自然數(shù)）：或；或；或；或。例13（2009年高考理科數(shù)學(xué)廣東卷21）已知曲線從點向曲線引斜率為的切線，切點為（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：解：（1），（過程略） （2）證明：由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在恒成立，又，則有，即一般地說，證明時如果從出發(fā)，就用縮小法，如果從出發(fā)，則用放大法，不論用放大法還是用縮小法，其目的一是把數(shù)列放大或縮小成等比數(shù)列或等差數(shù)列，二是放大或縮小后通過合并化成簡單的式子。本例利用放大法把式子合并化成簡單式子同種類型的題目在2006年高考數(shù)學(xué)福建卷和江西卷也有出現(xiàn)，有興趣的朋友也可以去看看。小結(jié)本文對近五年高考理科數(shù)學(xué)數(shù)列壓軸題的解題方法進行了研究。在數(shù)列通項公式方面，得到了以下四點常見的解題方法：1.1定義法1.2數(shù)學(xué)歸納法1.3等比差數(shù)列法1.3.1（p、q為常數(shù)）的形式轉(zhuǎn)化成的形式1.3.2（p是常數(shù)）的形式轉(zhuǎn)化成（p是常數(shù)）的形式1.4由遞推公式求出數(shù)列通項公式在數(shù)列不等式方面也得到了以下的四點解題方法：2.1數(shù)學(xué)歸納法2.2分析法2.3反正法2.4放縮法為了讓讀者能夠更好地理解每一種方法，本文在每一種方法后都給出了說明，而且在每一種方法后還給出了相應(yīng)的例題。結(jié)束語從近五年的試題來看，每一年所考的方法變化并不大，但試題的題目一年比一年的要長，而且一年比一年的要難讀懂，考生如果想在數(shù)列壓軸題上面多拿點分數(shù)，除了要熟悉上面解題方法外，還需要點耐心。在上面的幾種方法中，數(shù)學(xué)歸納法、等比差數(shù)列法以及放縮法在數(shù)列通項公式以及數(shù)列不等式方面頻繁被用到，我想，在2010年的高考中，這三種方法出現(xiàn)的機率也很多。本文之前，尚沒有人系統(tǒng)地對近五年高考理科數(shù)列壓軸題解題方法進行了研究，因此本文在一定