高代題庫(kù)試題與答案.doc

高等代數(shù)（下）試題(10) 一 填空題 （每小題三分共15分）1 A,B為n 階可逆矩陣， C=，則C_。2 A為n 階矩陣， =，則=_3 設(shè)f是一個(gè)n元負(fù)定的二次型，則二次型f 的秩等于_.4 設(shè)線性無(wú)關(guān)，W=L（），則W的維數(shù)為_(kāi) 。5 數(shù)量矩陣A=aE的 特征根 為 _。二 單項(xiàng)選擇題（每小題三分共15分）1 設(shè)A是m矩陣, B是nm矩陣,則（ ） (A) 當(dāng)mn時(shí)，必有行列式0 （B）當(dāng)mn時(shí)，必有行列式=0（C）當(dāng)nm時(shí)，必有行列式0 （D）當(dāng)nm時(shí)，必有行列式=02設(shè)A，B，C均為n階矩陣，且秩A=秩B，則 （ ）(A) AB的秩與AC的秩不一定相等。(B) AB的秩與AC的秩一定相等。(C) AB的秩與AC的秩一定不相等。(D) AB的秩一定不超過(guò)C的秩。3 設(shè)向量空間V中含有r個(gè)向量，則下列結(jié)論成立的是 （ ）（ A）r=1； （B）r=2 ； （C） r=m （有限數(shù)）； （D）r=1或4 數(shù)域F上 n維向量空間V有（）個(gè)基（ A）； （B）n； （C） n!； （D）無(wú)窮多. 5 設(shè)向量空間W= (a,2a,3a) ,則W 的基為：（）（A）（ 1, 2, 3,）； （B）（a, a ,a）；（C）( a , 2a 3a) ； （D） (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)三 （15分） X= 求X 四 （15分） 把二此型f (,x,x)= xx+ x,x+ xx 通過(guò)非退化線性替換化成平方和。五 （15分）求由向量生成的子空間與由向量生成的子空間 交的基和維數(shù) 1）， 2），六（10分） 求矩陣 A= 的特征值與特征向量 七 證明題（15分） 1設(shè)A為n階矩陣，A=2E, 證明B=A-2A+2E 可逆，并求 B2 設(shè)A，B都是n元正定矩陣，試證：A+B也是正定矩陣。3 設(shè)U是n維向量空間V的非平凡子空間， 證明：存在不止一個(gè)V的 高等代數(shù)（下）試題(9) 一 填空題 （每小題三分共15分）1 若=a，則=_.2 A=，則秩A=_。3 t 滿足_時(shí)二次型 x+4 x+x+2t xx+10 xx+6xx為正定二次型。 4 形如A=的矩陣（aF）作為M（F）的子空間，其維數(shù)為_(kāi) 。5 設(shè)n階矩陣A滿足A=A，則A的特征根只有_.二 單項(xiàng)選擇題（每小題三分共15分）的1 A,B為 n 階矩陣，則下列式子成立的是 （ ）（A） = + （B） (A+B) =A+B （C） AB=BA （D） 若AB=B+E，則有BA=B+E 2 A,B，C為n 階矩陣，AB=BC=CA=E，則A+B+C= （ ）（A）3E （B）2E （C）E （D）O矩陣 3設(shè)與均為向量空間V中向量， L（）=L（），則下列結(jié)論成立的是 （ ）(A) S=m; (B) 可由線性表出；(C) 是L() 的一個(gè)基(D) 線性相關(guān)時(shí)，必有也相關(guān)+4設(shè)W，W都是V的子空間，則下列結(jié)論成立的是 （ ）（A）W+ （WW）= WW(B) W+ （WW）= W+W （C）W+ （WW）= W(D ) W+ （WW）= W5 設(shè) A=，則A的特征根為 （ ）（A）1（二重） ； （B）5（二重） ；（C） -4，6 ； （D）1，5三 （15分） 已知A= ,求A 及(A)四 （15分） 把二此型f( x,x,x)= x+2 x+4x+2 xx+4xx 通過(guò)非退化線性替換化成平方和。五（15分）在 P中，求由向量（I=1,2,3,4）生成的子空間的基與維數(shù)。 =（2，0，1，2） =（-1，1，0，3）=（0，2，1，8） =（5，-1，2，1）六 (10分) 求矩陣 A= 的特征值與特征向量七 證明題（15分）1 A,B為n 階方陣，ABA=B,證明秩（E-AB）+秩（E+AB）=n.2 證明：若A為正定階矩陣，則A也為正定階矩陣。3 設(shè) V與V是V的互不相同的非平凡子空間，且V= V+V，證明：存在V的非平凡子空間WV，I=1,2,使得V= WW。高等代數(shù)（下）試題(8) 一 填空題 （每小題三分共15分）1 A=,B 為秩等于2三階矩陣，則秩AB=_。2 A=, B=,=2,則=_。3實(shí)二次型f( x,x,x)= x+2 xx-2 x-x的秩為_(kāi) ；符號(hào)差為_(kāi) 。4 是向量空設(shè)間V中的一個(gè)向量，則的負(fù)向量由_ 唯一確定。5 齊次線性方程組(X=0的_都是A的_特征向量。 二 單項(xiàng)選擇題（每小題三分共15分）1 A ,B，C都是n階矩陣，且ABC=I，則（ ）成立(A) CBA=I (B) BAC=I (C) ACB=I (D) BCA=I 2 A,B為n 階對(duì)稱矩陣，下列命題不正確的為 （ ） （A）A+B對(duì)稱 ; （B）AB對(duì)稱; （C）A+B對(duì)稱 ; （D）AB+BA對(duì)稱 。3 設(shè)向量空間V中含有r個(gè)向量，則下列結(jié)論成立的是 （ ）（ A）r=1； （B）r=2 ； （C） r=m （有限數(shù)）； （D）r=1或 4 數(shù)域F上 n維向量空間V有（）個(gè)基（ A）； （B）n； （C） n!； （D）無(wú)窮多5設(shè) A=，則A的特征根為 （ ）（A）1（二重） ； （B）5（二重） ；（C） -4，6 ； （D）1，5三 （15分） 解矩陣方程XA=B+2X，其中A= B= 四（15分） 把二此型 f( x,x,x)=xx+4xx-6x 通過(guò)非退化線性替換化成平方和。五 （15分）求由向量生成的子空間與由向量生成的子空間 交的基和維數(shù) ，六 (10分) 求矩陣 A= 的特征值與特征向量七 證明題（15分）1 設(shè)A為 n 階矩陣，A0，且A=0，B為 n 階可逆矩陣，證明 當(dāng) AX=XB時(shí)，必有 B=0 2設(shè)A實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：當(dāng)t 充分大后，t E +A是正定矩陣。3證明：如果V=VV，V=VV，則V= VV V. 高等代數(shù)（下）試題(7) 1 A=, B=,=2,則=_。2 A= ,B為秩等于2的三階矩陣，則秩AB=_。3 二次型 f(x ,x, x)= x+2xx+2 xx則f 的秩為_(kāi)。正慣性指標(biāo)為_(kāi)。4 t 滿足_時(shí)二次型2 x+ x+5x+2t xx-2 xx+4xx為正定二次型。5 A=特征值為_(kāi)。二 單項(xiàng)選擇題（每小題三分共15分）的1 A,B，C為n 階矩陣，AB=BC=CA=E，則A+B+C=（ ）（A）3E （B）2E （C）E （D）O矩陣 2 設(shè)A為n 階矩陣，A是A的伴隨矩陣，則一定有 （ ）（A） (A)=A （B）A= A（C） AA= A A=I （D）(A)= 3 設(shè)W，W都是V的子空間，則不一定V的子空間的是 （ ）（A）WW (B) WW ( C) W+W (D) W+V 4 設(shè)是矩陣A的 特征根，并且有，則 是 的_特征根 （ ） （A） -A （B） A （C）A （D） A 5 設(shè)向量空間W= (a,2a,3a) ,則W 的基為：（）（A）（ 1, 2, 3,）； （B）（a, a ,a）；（C）( a , 2a 3a) ； （D） (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3) 三（15分）A= 求A 四（15分） 把二此型 f( x,x,x)= x-3 x-2 xx+2 xx-6xx 通過(guò)非退化線性替換化成平方和。五 （15分）求由向量生成的子空間與由向量生成的子空間 交的基和維數(shù)， ,六 (10分) 求矩陣 A= 的特征值與特征向量七 證明題（15分）1 設(shè)A,B為n階矩陣，A=B=1 且+=0，證明 （A+B）不可逆。2 為m n階實(shí)矩陣， B=E+ AA, 證明： 當(dāng)0時(shí)，B為正定階矩陣。3 A為n階實(shí)反對(duì)稱矩陣， 即A= - A，證明：若是矩陣A的特征根，則-也是矩陣A的特征根高等代數(shù)（下）試題(6) 一 填空題 （每小題三分共15分）1 A為n 階矩陣，A是A的伴隨矩陣，則AA=_。2 A=，則秩A=_。3 實(shí)二次型f( x,x,x)= x+2 xx-2 x-x的秩為_(kāi)；符號(hào)差為_(kāi)。4 數(shù)域F上任意n維向量空間V都可表為_(kāi)個(gè)一維子空間的直和5 設(shè)n階矩陣A滿足A=A，則A的特征根只有_。二 單項(xiàng)選擇題（每小題三分共15分）1 設(shè)A是3矩陣,則等于 （ ） (A) -2 （B）2（C） -8（D）82 A ,B，C都是n階矩陣，且ABC=I，則（ ）成立(A) CBA=I (B) BAC=I (C) ACB=I (D) BCA=I3 設(shè)與均為向量空間V中向量， L（）=L（），則下列結(jié)論成立的是 （ ）(A) S=m; (B) 可由線性表出；(C) 是L() 的一個(gè)基(D) 線性相關(guān)時(shí)，必有也相關(guān) 4 設(shè)向量空間W= (a,2a,3a) ,則W 的基為： （）（A）（ 1, 2, 3,）； （B）（a, a ,a）；（C）( a , 2a 3a) ； （D） (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)5 設(shè) A=則A的特征根是 （ ） （ A）1（四重） ； （B）1（二重），2（二重） ；（C）2（二重），3（二重）； （D）1（二重），2，3 三（15分） 設(shè)A是A的伴隨矩陣，X滿足 AX= A+2X，求矩陣X，其中A= 四 （15分） 把二此型f (,x,x)= 2xx+2x,x-6 xx 通過(guò)非退化線性替換化成平方和。五 （10分） 在 P中，求由向量（I=1,2,3,4）生成的子空間的基與維數(shù)。，六 (15分) 求矩陣 A=的特征值與特征向量 七 證明題（15分）1設(shè)A為 n 階反對(duì)稱矩陣，（即A= -A），E-A，E+A 皆可逆，2 如果AA是n 階正定矩陣，kk 是正數(shù)， 證明：k A+ + k A也是正定矩陣。3證明：每一個(gè)n維向量空間V都可表為n個(gè)一維子空間的直和 高等代數(shù)（下）試題(5) 一 填空題 （每小題三分共15分）1 A=，為n 階單位矩陣，則A_。2 A為n 階矩陣， =，則=_。3 正定二次型的特征根都是_。4 設(shè)線性無(wú)關(guān)，W=L（），則W的維數(shù)為_(kāi) 。5 齊次線性方程組(X=0的_都是A的特征向量。二 單項(xiàng)選擇題（每小題三分共15分）1 設(shè)A是m矩陣, B是nm矩陣,則 （ ） (A) 當(dāng)mn時(shí)，必有行列式0 （B）當(dāng)mn時(shí)，必有行列式=0（C）當(dāng)nm時(shí)，必有行列式0 （D）當(dāng)nm時(shí)，必有行列式=02 A,B為3 階矩陣，A=() B=(),三維列向量，=18，=2, = （ ）3 設(shè)向量空間V中含有r個(gè)向量，則下列結(jié)論成立的是 （ ）（ A）r=1； （B）r=2 ； （C） r=m （有限數(shù)）； （D）r=1或4 設(shè)與均為向量空間V中向量， L（）=L（），則下列結(jié)論成立的是 （ ）(A) S=m; (B) 可由線性表出；(C) 是L() 的一個(gè)基(D) 線性相關(guān)時(shí)，必有也相關(guān) 5 設(shè)向量空間W= (a,2a,3a) ,則W 的基為： （）（A）（ 1, 2, 3,）； （B）（a, a ,a）；（C）( a , 2a 3a) ； （D） (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)三 （15分） 解矩陣方程XA=B+2X，其中A= B= 四 （15分） 把二此型f( x,x,x)= x+2 x+4x+2 xx+4xx 通過(guò)非退化線性替換化成平方和。五 （15分）在 P中，求由向量（I=1,2,3,4）生成的子空間的基與維數(shù)。 =（2，0，1，2） =（-1，1，0，3）=（0，2，1，8） =（5，-1，2，1）六 (10分) 求矩陣 A= 的特征值與特征向量七 證明題（15分）1設(shè)A為 n 階反對(duì)稱矩陣，（即A= -A），E-A，E+A 皆可逆，2 設(shè)A，B都是n元正定矩陣，試證：A+B也是正定矩陣。3 設(shè)U是n維向量空間V的非平凡子空間， 證明：存在不止一個(gè)V的子空間W，使得V=UW。 高等代數(shù)（下）試題(4) 一 填空題 （每小題三分共15分）1 若=，則=_.2 設(shè)A為n 階矩陣，秩A=n-1,B非零，n 階矩陣，AB=0,則秩B=_。3 t 滿足_時(shí)二次型 x+4 x+x+2t xx+10 xx+6xx為正定二次型。 4 形如A=的矩陣（aF）作為M（F）的子空間，其維數(shù)為_(kāi)。5 數(shù)量矩陣A=aE的 特征根 為 _。二 單項(xiàng)選擇題（每小題三分共15分）的1 A,B為 n 階矩陣，則下列式子成立的是 （ ）（E） = + （F） (A+B) =A+B （G） AB=BA （H） 若AB=B+E，則有BA=B+E 2 A,B，C為n 階矩陣，AB=BC=CA=E，則A+B+C= （ ）（A）3E （B）2E （C）E （D）O矩陣 3設(shè)與均為向量空間V中向量， L（）=L（），則下列結(jié)論成立的是 （ ）(A) S=m; (B) 可由線性表出；(C) 是L() 的一個(gè)基(D) 線性相關(guān)時(shí)，必有也相關(guān)+4設(shè)W，W都是V的子空間，則下列結(jié)論成立的是 （ ）（A）W+ （WW）= WW(B) W+ （WW）= W+W （C）W+ （WW）= W(D ) W+ （WW）= W5 設(shè) A=，則A的特征根為 （ ）（A）1（二重） ； （B）5（二重） ；（C） -4，6 ； （D）1，5 三（15分）A= 求A 四（15分） 把二此型 f( x,x,x)= x-3 x-2 xx+2 xx-6xx 通過(guò)非退化線性替換化成平方和。五 （15分）求由向量生成的子空間與由向量生成的子空間 交的基和維數(shù) 1）， 2），六 (10分) 求矩陣 A=的特征值與特征向量七 證明題（15分） 1設(shè)A為n階矩陣，A=2E, 證明B=A-2A+2E 可逆，并求 B2 設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：當(dāng)t 充分大后，t E +A是正定矩陣。3 設(shè) V與V是V的互不相同的非平凡子空間，且V= V+V，證明：存在V的非平凡子空間WV，I=1,2,使得V= WW。高等代數(shù)（下）試題(3) 一 填空題 （每小題三分共15分）1 設(shè)A為n 階矩陣，A=(B+E),且A=A,則B=_。2 A=, B=,=2,則=_。3 二次型f( x,x,x)= x-2 xx + x+3 xx的矩陣是_ 。4 是向量空設(shè)間V中的一個(gè)向量，則的負(fù)向量由_唯一確定。5 設(shè)是F的兩個(gè) 線性變換, =（x，x，x，x），=（0，x，x，x）則=_。二 單項(xiàng)選擇題（每小題三分共15分）1 A,B，C為n 階矩陣，AB=BC=CA=E，則A+B+C=（ ）（A）3E （B）2E （C）E （D）O矩陣2 A,B為n 階對(duì)稱矩陣，下列命題不正確的為（ ） （A）A+B對(duì)稱 ; （B）AB對(duì)稱; （C）A+B對(duì)稱 ; （D）AB+BA對(duì)稱 。3 復(fù)數(shù)域C對(duì)于數(shù)的乘法與加法可以構(gòu)成（）上的向量空間。（ A）復(fù)數(shù)域 C； （B）實(shí)數(shù)域C； （C）有理數(shù)域Q； （D）任意數(shù)域F4 數(shù)域F上 n維向量空間V有（）個(gè)基（ A）； （B）n； （C） n!； （D）無(wú)窮多5 數(shù)域F上 n維向量空間 的維數(shù)為r, V, 且任意V中向量可由 線性表出，則下列結(jié)論成立的是 （ ） （ A）r=n； （B）r ； （C） r n三 （15分） X= 求X 四 （15分） 把二此型f( x,x,x)= xx+ xx+xx 通過(guò)非退化線性替換化成平方和。五 （15分）求由向量生成的子空間與由向量生成的子空間 交的基和維數(shù) ，六 (10分) 求矩陣 A= 的特征值與特征向量 七 證明題（15分） 1 設(shè)A為 n 階矩陣，A0，且A=0，B為 n 階可逆矩陣，證明 當(dāng) AX=XB時(shí)，必有 B=0 2 設(shè)A，B都是n元正定矩陣，試證：A也是正定矩陣。 3 證明：每一個(gè)n維向量空間V都可表為n個(gè)一維子空間的直和 高等代數(shù)（下）試題(2) 一 填空題 （每小題三分共15分）1設(shè)A為n 階矩陣，A=（B+I），且A=A，則B=_ 。2 A= ,B為秩等于2的三階矩陣，則秩AB=_。3 二次型 f(x ,x, x)= x+2xx+2 xx則f 的秩為_(kāi)。正慣性指標(biāo)為_(kāi)。4 A= 的一個(gè)特征值為2，則 t=_。 5 A=特征值為_(kāi)。二 單項(xiàng)選擇題（每小題三分共15分）的1設(shè)A，B分別是mn, np矩陣，則BA 是 （ ） （A） m p 矩陣 (B) pm 矩陣 （C） n n 矩陣 （D）n m 矩陣 2 設(shè)A為n 階矩陣，A是A的伴隨矩陣，則一定有 （ ）（A） AA= A A=I （B）A= A（C） (A)=A （D）(A)= 3 W, W都 是線性空間V的子空間,則下列關(guān)系式不一定成立的是 （ ） （A） W W W , W W W(B) W W+W , W W+W (C) W+W WW, (D) WW W+W4設(shè)是矩陣A的 特征根，并且有，則 是 （ ） 特征根 （A） -A （B） A （C）A （D） A 5 B為mn矩陣，則方程組BX=0只有零解是BB=O為正定矩陣的 （ ）（ A） 充分條件 （B）必要條件 （C ）充分必要條件 （D非充分條件也非必要條件 三（15分）設(shè)A是A的伴隨矩陣，X滿足 AX= A+2X，求矩陣X，其中A= 四（15分） 把二此型 f( x,x,x)=xx+4xx-6x 通過(guò)非退化線性替換化成平方和。 五 （15分）求由向量生成的子空間與由向量生成的子空間 交的基和維數(shù)， , 六 (10分) 求矩陣 A= 的特征值與特征向量七 證明題（15分）1 設(shè)A,B為n階矩陣，A=B=I, 且+=0，證明 （A+B）不可逆。 2 設(shè)A為m n階實(shí)矩陣， B=E+ AA, 證明： 當(dāng)0時(shí)，B為正定矩陣。3 A為n階實(shí)反對(duì)稱矩陣， 即A= - A，證明：若是矩陣A的特征根，則-也是矩陣A的特征根 高等代數(shù)（下）試題(1) 一 填空題 （每小題三分共15分）1 設(shè)A 是一個(gè)n階方陣，且A=0，則（E-A）(E+A+A)=_2 設(shè)A為n 階矩陣，且秩A=r, P,Q為n階可逆矩陣，則秩（AQ）=_秩（APQ）=_3 二次型 f(x ,x, x)=-6 x x 的矩陣是_4 設(shè) W, W是有限維線性空間V的子空間，W, W ,W WW+ W之間的維數(shù)公式為_(kāi)。5 設(shè)是矩陣A的一個(gè)特征根，且0，則是 _的一個(gè)特征根。 二 單項(xiàng)選擇題（每小題三分共15分）1 設(shè)A，B，C均為n階矩陣，則下列論斷正確的有 （ ）若AB=BA，則（A） 若AB=AC，則B=C（B） A（B+C）=（B+C）A（C） A A =A（D） （A+B）（A-B）=A-B2 設(shè)A，B，C均為n階矩陣，且秩A=秩B，則 （ ）（A） AB的秩與AC的秩不一定相等。（B） AB的秩與AC的秩一定相等。（C） AB的秩與AC的秩一定不相等。（D） AB的秩一定不超過(guò)C的秩。3 設(shè)W，W都是V的子空間，則不一定V的子空間的是 （ ）（A）WW (B) WW ( C) W+W (D) W+V4 設(shè)W=，W=， W=， 則下列結(jié)論不成立的是 （ ）（A）dimW+W=F (B) W+W是直和（C）W+W+ W= F （D） W+W是直和4 設(shè)是向量空間V的一個(gè)線性變換，則下列結(jié)論成立的是 （ ）（A） 一定有特征根，從而有特征向量。（B）有特征根，但無(wú)有特征向量。（C）若有特征根，則一定有特征向量。（D）不一定有特征根，但一定有特征向量。 三 （15分） 已知A= ,求A 及(A) 四（15分） 把二次型 f (x,x,x)=2 xx+2 x,x-6 xx 通過(guò)非退化線性替換化成平方和。 五（10分） 在 P中，求由向量（I=1,2,3,4）生成的子空間的基與維數(shù)。， ，六（15分） 求矩陣 A= 的特征值與特征向量七 證明題（15分）1 設(shè)A,B為n階矩陣，且ABA=B ，證明 秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n2 如果AA是n 階正定矩陣，kk 是正數(shù)， 證明：k A+ + k A也是正定矩陣。3 證明：如果V=VV，V=VV，則V= VV V. 高等代數(shù)（下）答案 (1) 一1，E 2 , r 3, 4, dimW+ dimW=dim(W+ W)+dim(W W) 5 二 1，C 2，A 3，A 4，B 5，C 三 （15分） 已知A= ,求A 及(A)解：（AE） 4分 4分 A=， =27 (A)= = 四（15分） 把二次型 f (x,x,x)= 2xx+2 x,x-6xx 通過(guò)非退化線性替換化成平方和。 解：二次型f (x,x,x)的矩陣 A= 5分 6分 f (x,x,x)=2w-2w-6w 2分 2分 五（10分） 在 P中，求由向量（I=1,2,3,4）生成的子空間的基與維數(shù)。， ， 解： 4分 3分，是L(，,，)的一組基 維數(shù)為3 3分六（15分） 求矩陣 A= 的特征值與特征向量解：=（）=0 6分 矩陣的特征值與特征向量 =2 3分解方程組 3分A 的特征向量為k (1, 3, 0 ) + k(0, 1, 1 )七 證明題（15分）1設(shè)A,B為n階矩陣，且ABA=B ，證明 秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n證明：因?yàn)锳BA=B，所以ABAB=E （E-AB）（E+AB）=0 秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n 2分秩(E-AB)+ 秩(E+AB) 秩（(E-AB+ E+AB)=n 2分所以,秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n 1分2如果AA是n 階正定矩陣，kk 是正數(shù)， 證明：k A+ + k A也是正定矩陣。 證明：AA是n 階正定矩陣， 所以XAX XAX 2分X(k A+ + k A)X 2分所以，k A+ + k A也是正定矩陣。 1分3證明：如果V=VV，V=VV，則V= VV V. 證明：顯然有V= VV +V. 設(shè) +=0 因?yàn)椋?）+=0 ，V=VV 所 以 =0 ，=0有因?yàn)?，V=VV，所以 = =0 從而，V= VV V. 高等代數(shù)（下）答案 (2)一 I 2 , 2 3, 3 2 4, 6 5，=1-（n-1）a, =1-a二 1 B，2，A 3，C 4，D 5，C三（15分）設(shè)A是A的伴隨矩陣，X滿足 AX= A+2X，求矩陣X，其中A= 解：A= 4 分 A= 3 分 X = A（A-2E） 3分 X= 5分 四（15分） 把二此型 f( x,x,x)=xx+4xx-6x 通過(guò)非退化線性替換化成平方和。解A= 3分 6分P=， X=PY ， 3分f( x,x,x)=y-+24y 3分 五 （15分）求由向量生成的子空間與由向量生成的子空間 交的基和維數(shù)， , 解：=x+x= -y-y-y 4分 解方組組的秩為4 6分所以dim(W W)=1， 2分（53，119，-19，-134）是W W的一組基 。 3分六 (10分) 求矩陣 A= 的特征值與特征向量解：=（）(=0 3分 矩陣的特征值與特征向量 =1,=-2 2分解方程組 , 3分得A的征向量為 k (-2, 1, 0 )+k(0, 0, 1 ) 2分七 證明題（15分）2 設(shè)A,B為n階矩陣，A=B=1 且+=0，證明 （A+B）不可逆。證明：= = 2分 （ +）=0 所以=-1，= - 2分所以（A+B）=0，（A+B）不可逆。 1分2 設(shè)A為m n階實(shí)矩陣， B=E+ AA, 證明： 當(dāng)0時(shí)，B為正定矩陣證明： XBX=X（E+ AA）X 1分 XEX X AAX 2分 XBX=X（E+ AA）X 所以，當(dāng)0時(shí)，B為正定矩陣 2分 3 A為n階實(shí)反對(duì)稱矩陣， 即A= - A，證明：若是矩陣A的特征根，則-也是矩陣A的特征根證明： = 2分 =（-1） 2分 若是矩陣A的特征根，則-也是矩陣A的特征根 1分高等代數(shù)（下）答案 (3)一 1，E 2， 12 3， 4 5， （0，0，x，x）二 1,B, 2,A 3,A,4,B,5,A三 （15分） X= 求X 解：（AE） 2分 4分 4分 A=， X= A= 四 （15分） 把二此型f( x,x,x)=xx+ xx+xx通過(guò)非退化線性替換化成平方和。解：令 3分 f( x,x,x)= （）-y-y 4分f( x,x,x)= z-z-z 4分非退化線性替換為 4分五 （15分）求由向量生成的子空間與由向量生成的子空間 交的基和維數(shù) ，解：=x+x= -y-y 4分 解方組組的秩為3 4分所以dim(W W)=1， 2分+= W W， 3分+是W W的一組基 。 2分六 (10分) 求矩陣 A= 的特征值與特征向量解：=（）（-）（+）=0 5分 矩陣的特征值=2， =2+，=2-， 3分解方程組得特征向量為=（1，0，-1），=（1，-，1）=（1，1） 5分A的特征向量為k+k+k 2分 七 證明題（15分） 1 設(shè)A為 n 階矩陣，A0，且A=0，B為 n 階可逆矩陣，證明 當(dāng) AX=XB時(shí)，必有 X=0 證明： AX=XB AX=XB=0 3分 B可逆，所以必有 X=0 2分2 設(shè)A 是 n元正定矩陣，試證：A也是正定矩陣。 證明：A可逆，存在可逆矩陣C使得 A = CC 2分 A = C（C）= （C）（C） 2分 所以，A也是正定矩陣。 3證明：每一個(gè)n維向量空間V都可表為n個(gè)一維子空間的直和 證明：設(shè)V為n維向量空間，而，為它的一組基， 則L（） 都是V的一維子空間，且L（）+ L（）+L（）= L（，）=V 2分而，為它的一組基，所以零向量的表示方法唯一 2分故以上的和為直和所以，每一個(gè)n維向量空間V都可表為n個(gè)一維子空間的直和 1分 高等代數(shù)（下）答案 (4)一 1 2 , 2 2, 3 - 4, 1 5， a二 1 D，2，A 3，B 4，C 5，C三（15分）A= 求A 解： = 1 3分A= 6分A= A 4分 = 2分四（15分） 把二此型 f( x,x,x)= x-3 x-2 xx+2 xx-6xx 通過(guò)非退化線性替換化成平方和。解：二次型f (x,x,x)的矩陣 A= 5分 6分 f (x,x,x)=w+2w-3w 2分 2分五 （15分）求由向量生成的子空間與由向量生成的子空間 交的基和維數(shù) 1）， 2），解：=x+x= -y-y 4分 解方