普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理（遼寧卷解析版）.doc

2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理（遼寧卷，解析版）一- 選擇題（每小題5分，共60分）（1）已知集合m=x|3x5,n=x|5x0,v=st (b) a0, v=s+t （d）a0, v=s+t【解析】月總收入為s,因此a0時歸入s,判斷框內(nèi)填a0 支出t為負數(shù),因此月盈利vst【答案】c（11）正六棱錐pabcdef中，g為pb的中點，則三棱錐dgac與三棱錐pgac體積之比為（a）1：1 (b) 1：2 (c) 2：1 (d) 3：2【解析】由于g是pb的中點,故pgac的體積等于bgac的體積abcdefh 在底面正六邊形abcder中 bhabtan30ab 而bdab 故dh2bh 于是vdgac2vbgac2vpgac【答案】c（12）若滿足2x+=5, 滿足2x+2(x1)=5, +（a） (b)3 (c) (d)4【解析】由題意 所以, 即2 令2x172t,代入上式得72t2log2(2t2)22log2(t1) 52t2log2(t1)與式比較得tx2 于是2x172x2【答案】c（13）某企業(yè)有3個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1：2：1，用分層抽樣方法（每個分廠的產(chǎn)品為一層）從3個分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共取100件作使用壽命的測試，由所得的測試結(jié)果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命的平均值分別為980h，1020h，1032h，則抽取的100件產(chǎn)品的使用壽命的平均值為 h.【解析】1013【答案】1013（14）等差數(shù)列的前項和為，且則 【解析】snna1n(n1)d s55a110d,s33a13d 6s55s330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4【答案】（15）設(shè)某幾何體的三視圖如下（尺寸的長度單位為m）。 則該幾何體的體積為 【解析】這是一個三棱錐,高為2,底面三角形一邊為4,這邊上的高為3, 體積等于2434【答案】4（16）以知f是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為 ?！窘馕觥孔⒁獾絧點在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點為f(4,0), 于是由雙曲線性質(zhì)|pf|pf|2a4 而|pa|pf|af|5 兩式相加得|pf|pa|9,當且僅當a、p、f三點共線時等號成立.【答案】9（17）（本小題滿分12分）如圖，a,b,c,d都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，b，d為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面a處測得b點和d點的仰角分別為，于水面c處測得b點和d點的仰角均為，ac=0.1km。試探究圖中b，d間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求b，d的距離（計算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449） (17)解:在abc中，dac=30, adc=60dac=30,所以cd=ac=0.1 又bcd=1806060=60，故cb是cad底邊ad的中垂線，所以bd=ba， 5分在abc中，即ab=因此，bd=故b，d的距離約為0.33km。 12分（18）（本小題滿分12分）如圖，已知兩個正方行abcd 和dcef不在同一平面內(nèi)，m，n分別為ab，df的中點 。（i）若平面abcd 平面dcef，求直線mn與平面dcef所成角的正值弦；（ii）用反證法證明：直線me 與 bn 是兩條異面直線。 （18）（i）解法一：取cd的中點g，連接mg，ng。設(shè)正方形abcd，dcef的邊長為2， 則mgcd，mg=2，ng=.因為平面abcd平面dced，所以mg平面dcef，可得mng是mn與平面dcef所成的角。因為mn=，所以sinmng=為mn與平面dcef所成角的正弦值 6分解法二： 設(shè)正方形abcd，dcef的邊長為2，以d為坐標原點，分別以射線dc，df，da為x,y,z軸正半軸建立空間直角坐標系如圖.則m（1,0,2）,n(0,1,0),可得=(1,1,2). 又=（0，0，2）為平面dcef的法向量，可得cos(,)= 所以mn與平面dcef所成角的正弦值為cos 6分()假設(shè)直線me與bn共面， 8分則ab平面mben，且平面mben與平面dcef交于en由已知，兩正方形不共面，故ab平面dcef。又ab/cd，所以ab/平面dcef。面en為平面mben與平面dcef的交線，所以ab/en。又ab/cd/ef，所以en/ef，這與enef=e矛盾，故假設(shè)不成立。所以me與bn不共面，它們是異面直線. 12分（19）（本小題滿分12分）某人向一目射擊4次，每次擊中目標的概率為。該目標分為3個不同的部分，第一、二、三部分面積之比為1：3：6。擊中目標時，擊中任何一部分的概率與其面積成正比。（）設(shè)x表示目標被擊中的次數(shù)，求x的分布列；（）若目標被擊中2次，a表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”，求p（a） （19）解：（）依題意x的分列為 6分（）設(shè)a1表示事件“第一次擊中目標時，擊中第i部分”，i=1，2. b1表示事件“第二次擊中目標時，擊中第i部分”，i=1，2.依題意知p（a1）=p(b1)=0.1，p（a2）=p(b2)=0.3，,所求的概率為 12分（20）（本小題滿分12分）已知，橢圓c過點a，兩個焦點為（1，0），（1，0）。（1） 求橢圓c的方程； （2） e,f是橢圓c上的兩個動點，如果直線ae的斜率與af的斜率互為相反數(shù)，證明直線ef的斜率為定值，并求出這個定值。（20）解：（）由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為，解得，（舍去）所以橢圓方程為。 4分（）設(shè)直線ae方程為：，代入得 設(shè),因為點在橢圓上，所以 8分又直線af的斜率與ae的斜率互為相反數(shù)，在上式中以k代k，可得所以直線ef的斜率即直線ef的斜率為定值，其值為。 12分（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xax+(a1)，。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）證明：若，則對任意x，x，xx，有。(21)解：(1)的定義域為。2分（i）若即,則故在單調(diào)增加。(ii)若,而,故,則當時，;當及時，故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。(iii)若,即,同理可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.(ii)考慮函數(shù) 則由于1a5,故，即g(x)在(4, +)單調(diào)增加，從而當時有，即，故，當時，有12分請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時用2b鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑。（22）（本小題滿分10分）選修41：幾何證明講 已知 abc 中，ab=ac, d是 abc外接圓劣弧上的點（不與點a,c重合），延長bd至e。（1） 求證：ad的延長線平分cde；（2） 若bac=30，abc中bc邊上的高為2+，求abc外接圓的面積。 （22）解：（）如圖，設(shè)f為ad延長線上一點a，b，c，d四點共圓，cdf=abc又ab=ac abc=acb,且adb=acb, adb=cdf,對頂角edf=adb, 故edf=cdf,即ad的延長線平分cde.（）設(shè)o為外接圓圓心，連接ao交bc于h,則ahbc.連接oc,a由題意oac=oca=150, acb=750,och=600.設(shè)圓半徑為r,則r+r=2+,a得r=2,外接圓的面積為4。（23）（本小題滿分10分）選修44 ：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xoy中，以o為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線c的極坐標方程為cos（）=1，m,n分別為c與x軸，y軸的交點。（1）寫出c的直角坐標方程，并求m,n的極坐標； （2）設(shè)mn的中點為p，求直線op的極坐標方程。（23）解：（）由 從而c的直角坐標方程為（