第八章 模型參考自適應(yīng)控制(Model Reference Adaptive Control)簡(jiǎn)稱MRAC.doc

（2004年教案） 辨識(shí)與自適應(yīng) 第九章 23第九章 模型參考自適應(yīng)控制（Model Reference Adaptive Control）簡(jiǎn)稱MRAC介紹另一類比較成功的自適應(yīng)控制系統(tǒng)，已有較完整的設(shè)計(jì)理論和豐富的應(yīng)用成果（駕駛儀、航天、電傳動(dòng)、核反應(yīng)堆等等）。9 MRAC的基本概念系統(tǒng)包含一個(gè)參考模型，模型動(dòng)態(tài)表征了對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的理想要求，MRAC力求使被控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與模型的響應(yīng)相一致。與STR不同之處是MRAC沒有明顯的辨識(shí)部分，而是通過與參考模型的比較，察覺被控對(duì)象特性的變化，具有跟蹤迅速的突出優(yōu)點(diǎn)。設(shè)參考模型的方程為 式(9-1-1) 式(9-1-2)被控系統(tǒng)的方程為 式(9-1-3) 式(9-1-4)兩者動(dòng)態(tài)響應(yīng)的比較結(jié)果稱為廣義誤差,定義輸出廣義誤差為 e = ym ys 式(9-1-5)；狀態(tài)廣義誤差為 e = X m X s 式(9-1-6)。自適應(yīng)控制的目標(biāo)是使得某個(gè)與廣義誤差有關(guān)的自適應(yīng)控制性能指標(biāo)J達(dá)到最小。J可有不同的定義，例如單輸出系統(tǒng)的 式 (9-1-7)或多輸出系統(tǒng)的 式(9-1-8) MRAC的設(shè)計(jì)方法目的是得出自適應(yīng)控制率，即溝通廣義誤差與被控系統(tǒng)可調(diào)參數(shù)間關(guān)系的算式。有兩類設(shè)計(jì)方法：一類是“局部參數(shù)最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法”，目標(biāo)是使得性能指標(biāo)J達(dá)到最優(yōu)化；另一類是使得自適應(yīng)控制系統(tǒng)能夠確保穩(wěn)定工作，稱之為“穩(wěn)定性理論的設(shè)計(jì)方法。9 2 局部參數(shù)最優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法一、利用梯度法的局部參數(shù)最優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法 這里要用到非線性規(guī)劃最優(yōu)化算法中的一種最簡(jiǎn)單的方法梯度法（Gradient Method）。1. 梯度法 考慮一元函數(shù)f(x)，當(dāng): f (x)/ x = 0 ，且 f 2 (x) / x 2 0 時(shí)f(x) 存在極小值。問題是怎樣調(diào)整x使得f (x) 能達(dá)到極小值 ？x有兩個(gè)調(diào)整方向：當(dāng) f (x)/ x 0時(shí)應(yīng)減小x ；當(dāng) f (x)/ x 0 ）。把函數(shù)f(x) 在x方向的偏導(dǎo)數(shù)稱為梯度。上式含義為：按照梯度的負(fù)方向調(diào)整自變量x 。該結(jié)論可推廣到多元函數(shù)求極值的情況。2具有一個(gè)時(shí)變參數(shù)可調(diào)增益的MRAC設(shè)計(jì)（MIT方案）1958年由麻省理工學(xué)院提出。參考模型傳函為 式中：q(s) = b1sn-1+ bn ; p(s) = sn +a1sn-1+ an 廣義誤差為e = ym ys性能指標(biāo)為： 式(9-1-7)。系統(tǒng)的可調(diào)增益為Kc，目標(biāo)是設(shè)計(jì)出隨著e而調(diào)整Kc的規(guī)律，以使J達(dá)到最小。J 對(duì)Kc的梯度為由梯度法有：將上式兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，得到 式(9-2-2) 廣義誤差對(duì)輸入信號(hào)的傳函為:自適應(yīng)回路開環(huán)情況下系統(tǒng)傳函為引入微分算子：D = d/dt 、 D2 = d2 / dt2 ，由上式得到微分方程： P(D) e (t) = ( Km - KcKs ) q(D) r ( t )兩端對(duì)Kc求偏導(dǎo)數(shù)得到 式(9-2-3) 由模型的微分方程：p (D) ym (t) = Km q(D) r(t) 得到 代入式(9-2-3)，得出： 代入式(9-2-2)，得出 式(9-2-4)其中：B = 2 l Ks / Km , 當(dāng)Ks與Km同號(hào)時(shí)B為正值常系數(shù)，即自適應(yīng)回路的積分時(shí)間常數(shù)。實(shí)現(xiàn)的方案如下圖，自適應(yīng)回路由乘法器與積分器組成。該方案能夠使得J為最小，但是不能確保自適應(yīng)回路是穩(wěn)定的。需要通過調(diào)整B的大小，使得系統(tǒng)穩(wěn)定且自適應(yīng)跟蹤速度也比較快。 MIT方案應(yīng)用舉例：二階電傳動(dòng)調(diào)速系統(tǒng)的模型參考自適應(yīng)控制馬潤津等“可控硅電傳動(dòng)模型參考自適應(yīng)控制“自動(dòng)化學(xué)報(bào)1979。第4期 實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)圖9 3基于李雅普諾夫第二方法穩(wěn)定性理論的MRAC設(shè)計(jì)方法1. 關(guān)于李雅普諾夫( Liaupunov) 穩(wěn)定性的第二方法是關(guān)于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（無論線性或者非線性）穩(wěn)定性分析的理論，特點(diǎn)是不需要求微分方程的解，而是直接根據(jù)某個(gè)特定的函數(shù)（李雅普諾夫函數(shù)）對(duì)時(shí)間的變化率來判斷其穩(wěn)定性，因此又稱直接法。它特別適用于非線性、線性時(shí)變或多變量系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。a) 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性對(duì)于以狀態(tài)方程 且f(0,t)=0 t 式（9-3-1）描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，如果存在一個(gè)對(duì)時(shí)間連續(xù)可微的純量函數(shù)V( X, t ) ，滿足以下條件：（1） V( X, t ) 正定； （2）V 沿方程式（9-3-1）解的軌跡對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)V 存在，且為負(fù)半定（或負(fù)定），則稱V( X, t ) 為李雅普諾夫函數(shù)，且系統(tǒng)式（8-3-1）對(duì)于狀態(tài)空間的坐標(biāo)原點(diǎn)X=0 為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定（或漸進(jìn)穩(wěn)定）的。李雅普諾夫函數(shù)的幾何意義可以理解為：V(X)表示狀態(tài)空間原點(diǎn)到狀態(tài)X的距離的量度，如果其原點(diǎn)到瞬時(shí)狀態(tài)X(t)間的距離隨著t的增長而不斷減小則系統(tǒng)穩(wěn)定，V(t) 對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)相當(dāng)于X(t) 接近原點(diǎn)的速度。李雅普諾夫函數(shù)的物理意義可以理解為：一個(gè)振動(dòng)著的力學(xué)系統(tǒng)，如果振動(dòng)的蓄能不斷衰減，則隨著時(shí)間增長系統(tǒng)將穩(wěn)定于平衡狀態(tài)，而李雅普諾夫函數(shù)實(shí)質(zhì)上可視為一個(gè)虛擬的能量函數(shù)。b)用李雅普諾夫第二方法分析線性定長系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定長系統(tǒng) 式（9-3-2）可取一個(gè)正定的純量函數(shù) 式（9-3-3）其中P為正定的實(shí)對(duì)稱矩陣。V 沿式（9-3-2）的軌線的一階導(dǎo)數(shù)為：其中Q與P滿足線性代數(shù)方程（稱李雅普諾夫方程） 式（9-3-4）如果Q是正定矩陣，則V(X)的一階導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的，V(X) 是李雅普諾夫函數(shù)，系統(tǒng)式（9-3-2）對(duì)于平衡狀態(tài)X=0 是漸進(jìn)穩(wěn)定的。2應(yīng)用李雅普諾夫第二方法設(shè)計(jì)可調(diào)增益的MRAC參考模型狀態(tài)方程 式（9-3-5）其中：系統(tǒng)狀態(tài)方程 式（9-3-6）定義廣義誤差令 E = Km - Ks , 由式（9-3-5）和式（9-3-6）得出廣義狀態(tài)誤差方程 式（9-3-7） 其中 B = 0, E T 為了保證MRAC系統(tǒng)穩(wěn)定，要找到一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)V(e) 。 試取純量函數(shù)V(e) = eT P e + l E 2 式（9-3-8）其中P 為正定實(shí)對(duì)稱陣，顯然V(e) 也是正定的。求V(e) 沿式（9-3-7）的軌線對(duì)t 求導(dǎo)數(shù) 將式（9-3-7）代入上式，有dV/dt = eT A + B T r P e + eT P A e + B r +2 l E E= eT A T P e + eT P A e + B T r P e + eT P B r + 2 l E E= eT (A T P + P A ) e + 2 eT P B r + 2 l E E 式（9-3-9）為保證dV/dt 負(fù)定，須使二次型 eT (A T P + P A ) e 負(fù)定，且后兩項(xiàng)之和為零。由于A為穩(wěn)定矩陣，方陣(A T P + P A ) 肯定是負(fù)定的。由式（9-3-9）的后兩項(xiàng)之和為零的條件，得出： 式（9-3-10）由于所以由E = Km - Ks ( t ) , 得到自適應(yīng)控制律：其中: C0 = P12 / l , C1 = P2 / l , 或?qū)懗桑菏剑?-3-11）按照上式實(shí)施控制，能夠保證V(e) 是正定而dV/dt 是負(fù)定的，即V(e) 是李雅普諾夫函數(shù)，自適應(yīng)系統(tǒng)對(duì)于 e = 0 的平衡狀態(tài)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的，也就是當(dāng)t 時(shí) e 0 。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖：3 應(yīng)用舉例：直流電傳動(dòng)自適應(yīng)控制 可控硅直流調(diào)速系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,設(shè) s = t1 + t2,可簡(jiǎn)化為 開環(huán)總增益 KS = K1 K2 / C e ti 為時(shí)變且可調(diào)參考模型狀態(tài)方程為 式（9-3-12）被控系統(tǒng)狀態(tài)方程為 式（9-3-13）可見 AS和BS中僅 a12 = K S / s 一個(gè)元素是時(shí)變的。為了設(shè)計(jì)出比較簡(jiǎn)單的自適應(yīng)線路，選擇正半定的Q陣 由李雅普諾夫方程 式（9-3-4）解出：由于s 0，所以P陣是正定的，將P代入AS的第aij元素的自適應(yīng)調(diào)整律得到比例積分型的自適應(yīng)律而a12 = K s (t) / s，則有其中的XS2 雖然不能從系統(tǒng)中直接測(cè)量，但是可由以下關(guān)系式很容易重構(gòu)，得出XS2 的估計(jì)量。下圖示出了可控硅電傳動(dòng)MRAC實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的簡(jiǎn)化原理圖：實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖，被控系統(tǒng)開環(huán)增益K0=3.4K m ,加入自適應(yīng)控制后，能夠自動(dòng)調(diào)整K S使得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與參考模型的一致。9 4基于超穩(wěn)定理論的MRAC設(shè)計(jì)方法 超穩(wěn)定理論最初由波波夫在研究非線性系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定性時(shí)提出的，該理論對(duì)研究非線性時(shí)變反饋的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性很有用途，特別是I.D.Landau等將超穩(wěn)定理論用于MRAC系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，取得良好效果。本節(jié)僅就其基本概念和主要結(jié)果作一些簡(jiǎn)要介紹。一、關(guān)于超穩(wěn)定性理論的基本概念1. 直觀概念先從簡(jiǎn)單的直觀概念出發(fā)，體會(huì)穩(wěn)定性的含義。討論一個(gè)由線性定常的正向通道和非線性時(shí)變的反饋通道組成的單輸入單輸出閉環(huán)系統(tǒng)（見下圖）。 u(t) 線性定常 y(t) 正向通道 非線性時(shí)變 反饋通道如果該閉環(huán)系統(tǒng)能夠滿足以下兩個(gè)條件：a) 線性定常的正向通道動(dòng)態(tài)性能等價(jià)于一個(gè)無源網(wǎng)絡(luò)；b) 非線性反饋通道為正向通道提供的總能量（系統(tǒng)儲(chǔ)能）是有限的，則該系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。由網(wǎng)絡(luò)理論，以上的條件a) 等價(jià)于傳遞函數(shù)Z (s) = y(s)/u(s) 是正實(shí)函數(shù)；條件b) 可以用以下積分不等式來表示： 式（9-4-1） 其中：T 0 ， d 為某一有限值的常數(shù)。2 關(guān)于正實(shí)和嚴(yán)格正實(shí)函數(shù) 函數(shù)的正實(shí)性概念是從網(wǎng)絡(luò)分析中引申來的，數(shù)學(xué)的正實(shí)函數(shù)概念上與物理的無源網(wǎng)絡(luò)相關(guān)。無源網(wǎng)絡(luò)能量的非負(fù)性，其傳遞函數(shù)是正實(shí)的。 Z (s) 是正實(shí)函數(shù)的定義是：（1）s為實(shí)數(shù)時(shí)Z (s) 也為實(shí)數(shù)；（2）Z(s) 無右半開平面的極點(diǎn)； （3）對(duì)于任意實(shí)的 w ，（- w 0 ,則函數(shù)Z(s)是嚴(yán)格正實(shí)函數(shù)。正實(shí)和嚴(yán)格正實(shí)傳遞函數(shù)有以下特點(diǎn)：（1） 嚴(yán)格正實(shí)傳遞函數(shù)對(duì)于w 0 的乃奎斯特圖的矢端曲線完全在第四象限內(nèi)（正實(shí)傳遞函數(shù)的乃氏圖可能與虛軸相切），即輸出對(duì)輸入的相位滯后不超過90 0 ；（2） 如果Z (s) 正實(shí)，則1 / Z (s)、Z (1/s) 和c Z (s) 也正實(shí)（c為大于零的常數(shù)）；（3） 如果Z 1 (s) 和Z 1 (s)正實(shí)，則它們的串聯(lián)Z 1 (s) Z 1 (s)、并聯(lián)Z 1 (s)+Z 1 (s)和反饋聯(lián)接如Z 1 (s) /（1+ Z 1 (s) Z 1 (s)）均也正實(shí)。3關(guān)于超穩(wěn)定 ( Hyperstable ) 和漸進(jìn)超穩(wěn)定 ( Asymptotically Hyperstable ) 的定義： 考慮一個(gè)多輸入多輸出系統(tǒng) X = A X + B U 式（8-4-2） Y = C X 式（8-4-3）其中U和Y 分別為m維的輸入和輸出量，U為有界函數(shù)，且它的拉氏變換存在；X為n維狀態(tài)向量，假定該系統(tǒng)是某一傳遞函數(shù)矩陣Z (s) 的最小實(shí)現(xiàn) Z (s) = C ( s I - A )-1B 超穩(wěn)定的定義是：如果對(duì)于任何T 0 ，輸入和輸出向量滿足 式（8-4-4）（d 0 的常數(shù)）必有以X(0)為初始狀態(tài)的解 X(t) 滿足 II X(t) II K ( II X(t) II + d ) 式（8-4-5）( K 0 的常數(shù))，則稱平衡點(diǎn) X = 0 是超穩(wěn)定的，簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)是超穩(wěn)定的。式中的II X II 表示向量X 的模（長度）。 如果超穩(wěn)定的系統(tǒng)對(duì)于U(t) 的任意解X(t) （在任意初始狀態(tài)下）都有 式（8-4-6）則平衡點(diǎn)X = 0 稱為漸進(jìn)超穩(wěn)定的，或簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是漸進(jìn)超穩(wěn)定的。 不等式 式（8-4-1）被稱為波波夫不等式，其意義可理解為：系統(tǒng)從0到T 時(shí)刻的儲(chǔ)能是有界的。這種情況下超穩(wěn)定意味著狀態(tài)的變化被局限在X = 0 附近。式（8-4-4）的積分與李雅普諾夫穩(wěn)定性理論中的李雅普諾夫函數(shù)V的作用相類似。4 關(guān)于超穩(wěn)定性的定理 定理 系統(tǒng)式（8-4-2）和式（8-4-3）是（漸進(jìn)）超穩(wěn)定的充要條件是傳遞函數(shù)矩陣 Z (s)是（嚴(yán)格）正實(shí)矩陣。二、用超穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)MRAC系統(tǒng)思路是先將自適應(yīng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)由線