安徽省宿松縣2017屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第19講數(shù)列求和教案.docx

數(shù)列求和教學(xué)目標(biāo)1探索并掌握一些基本的數(shù)列求前n項(xiàng)和的方法；2能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的數(shù)列的通項(xiàng)和遞推關(guān)系，并能用有關(guān)等差、等比數(shù)列知識(shí)解決相應(yīng)的實(shí)際問題。命題走向數(shù)列求和和數(shù)列綜合及實(shí)際問題在高考中占有重要的地位，一般情況下都是出一道解答題，解答題大多以數(shù)列為工具，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)，通過運(yùn)用逆推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等各種數(shù)學(xué)思想方法，這些題目都考察考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目。有關(guān)命題趨勢：1數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)和數(shù)列的有效工具，三者的綜合題是對(duì)基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn)，在三者交匯處設(shè)計(jì)試題，特別是代數(shù)推理題是高考的重點(diǎn)；2數(shù)列推理題是將繼續(xù)成為數(shù)列命題的一個(gè)亮點(diǎn)，這是由于此類題目能突出考察學(xué)生的邏輯思維能力，能區(qū)分學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈敏程度、靈活程度；3數(shù)列與新的章節(jié)知識(shí)結(jié)合的特點(diǎn)有可能加強(qiáng)，如與解析幾何的結(jié)合等；4有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題也一直備受關(guān)注。預(yù)測2017年高考對(duì)本將的考察為：1可能為一道考察關(guān)于數(shù)列的推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題的解答題；2也可能為一道知識(shí)交匯題是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題上等聯(lián)系的綜合題，以及數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等有機(jī)結(jié)合。教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件教學(xué)過程1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Snna1d2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn3一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)1234n；(2)1357(2n1)n2；(3)24682nn2n1辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)(2)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解2數(shù)列求和的常用方法(1)倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的(2)錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的(3)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和(4)分組轉(zhuǎn)化法一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和后再相加減(5)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解1數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn1234(1)n1n，則S17()A9B8C17 D16解析：選A.S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.2(必修5 P47習(xí)題2.3 B組T4改編)數(shù)列an中，an，若an的前n項(xiàng)和為，則項(xiàng)數(shù)n為()A2 014 B2 015C2 016 D2 017解析：選B.an，Sn11，所以n2 015.3等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1，其前n項(xiàng)的和為Sn，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為()A120 B100C75 D70解析：選C.因?yàn)镾nn(n2)，所以n2.故75.4若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和為_解析：Sn2n12n2.答案：2n1n225已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且ann2n，則Sn_解析：Sn12222323n2n，所以2Sn122223324n2n1，得Sn222232nn2n1n2n1，所以Sn(n1)2n12.答案：(n1)2n12考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法求和(2015高考福建卷)等差數(shù)列an中，a24，a4a715.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn2an2n，求b1b2b3b10的值(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2112)55211532 101.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和； (2)通項(xiàng)公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和1.已知等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a13，公比q1，且3(an2an)10an10(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和Sn.解：(1)因?yàn)?(an2an)10an10，所以3(anq2an)10anq0，即3q210q30.因?yàn)楣萹1，所以q3.又首項(xiàng)a13，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n.(2)因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以bnan12(n1)即數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n13n1，前n項(xiàng)和Sn(13323n1)(3n1)n2.考點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和(2015高考湖北卷)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)d1時(shí)，記cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.(1)由題意有 即解得 或 故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.用錯(cuò)位相減法求和時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)(1)要善于識(shí)別題目類型， 特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式. 2.已知函數(shù)f(x)x2bx為偶函數(shù)，數(shù)列an滿足an12f(an1)1，且a13，an1.令bnlog2(an1)(1)證明：數(shù)列bn1為等比數(shù)列；(2)設(shè)cnnbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)證明：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x2bx為偶函數(shù)，所以b0，所以f(x)x2，所以an12(an1)21，所以an112(an1)2，所以2，所以數(shù)列bn1是公比為2的等比數(shù)列(2)因?yàn)閍13，所以b1log221，所以bn12n，即bn2n1，所以cnn2nn，設(shè)An12222323n2n，所以2An122223324n2n1，所以An222232nn2n1n2n12n1n2n12，所以An(n1)2n12.設(shè)Bn1234n，所以SnAnBn(n1)2n12.考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和(高頻考點(diǎn))裂項(xiàng)相消法求和是每年高考的熱點(diǎn)，題型多為解答題，難度適中，屬中檔題高考對(duì)裂項(xiàng)相消法的考查常有以下兩個(gè)命題角度：(1)求前n項(xiàng)和；(2)比較大小或不等式證明(2015高考安徽卷)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且a1a49，a2a38.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.(1)由題設(shè)知a1a4a2a38，又a1a49，可解得或(舍去)由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1.又bn，所以Tnb1b2bn1.利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng)(1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；或者前面剩幾項(xiàng)，后面也剩幾項(xiàng)； (2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等如：若an是等差數(shù)列，則，.3.(2016長春質(zhì)量監(jiān)測)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1a79，S9.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn.解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，則由已知條件可得：解得于是可求得an.(2)證明：由(1)知，Sn，故bn，故Tn，又因?yàn)?規(guī)范解答數(shù)列求和(本題滿分12分)(2015高考山東卷)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足anbnlog3an，求bn的前n項(xiàng)和Tn.(1)(2)(1)因?yàn)?Sn3n3，所以2a133，故a13.(1分)當(dāng)n2時(shí)，2Sn13n13，此時(shí)2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(4分)(2)因?yàn)閍nbnlog3an，所以b1.當(dāng)n2時(shí)，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1；(6分)當(dāng)n2時(shí)，Tnb1b2b3bn，所以3Tn1，(8分)兩式相減，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，(10分)所以Tn.(11分)經(jīng)檢驗(yàn)，n1時(shí)也適合綜上可得Tn.(12分)利用Sn求an時(shí)不要忽視n1的情況；根據(jù)已知條件合理選擇數(shù)列的求和方法，錯(cuò)位相減時(shí)不要漏項(xiàng)或算錯(cuò)項(xiàng)數(shù)板書設(shè)計(jì)數(shù)列求和1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Snna1d2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn3一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)1234n；(2)1357(2n1)n2；(3)24682nn2n4數(shù)列求和的常用方法(1)倒序相加法 (2)錯(cuò)位相減法(3)裂項(xiàng)