高等數(shù)學(xué)第一章復(fù)習(xí).ppt

典型例題 主要內(nèi)容 第一章函數(shù)與極限習(xí)題課 一 函數(shù)的定義 二 極限的概念 三 連續(xù)的概念 一 主要內(nèi)容 函數(shù)的定義 反函數(shù) 隱函數(shù) 反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系 基本初等函數(shù) 復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù) 函數(shù)的性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) 一 函數(shù)的定義 1 函數(shù)的定義 一 函數(shù)的定義 函數(shù)的分類 定義 非初等函數(shù) 分段函數(shù) 有無窮多項(xiàng)等函數(shù) 超越函數(shù) 無理函數(shù) 整函數(shù) 多項(xiàng)式函數(shù) 分函數(shù) 分式函數(shù) 函數(shù) 初等函數(shù) 代數(shù)函數(shù) 有理函數(shù) 單值性與多值性 2 函數(shù)的性質(zhì) 一 函數(shù)的定義 函數(shù)的奇偶性 偶函數(shù) 奇函數(shù) 一 函數(shù)的定義 函數(shù)的單調(diào)性 一 函數(shù)的定義 函數(shù)的有界性 一 函數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)f x 的定義域?yàn)镈 如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l 使得對(duì)于任一 有 且f x l f x 恒成立 則稱f x 為周期函數(shù) l稱為f x 的周期 通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期 函數(shù)的周期性 一 函數(shù)的定義 3 反函數(shù) 4 隱函數(shù) 一 函數(shù)的定義 5 反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關(guān)系 一 函數(shù)的定義 6 基本初等函數(shù) 冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角函數(shù) 一 函數(shù)的定義 7 復(fù)合函數(shù) 8 初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù) 稱為初等函數(shù) 一 函數(shù)的定義 9 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) 雙曲函數(shù)常用公式 一 函數(shù)的定義 左右極限 兩個(gè)重要極限 求極限的常用方法 無窮小的性質(zhì) 極限存在的充要條件 判定極限存在的準(zhǔn)則 無窮小的比較 極限的性質(zhì) 數(shù)列極限 函數(shù)極限 等價(jià)無窮小及其性質(zhì) 唯一性 兩者的關(guān)系 無窮大 二 極限的概念 1 極限的定義 二 極限的概念 二 極限的概念 左極限 右極限 二 極限的概念 無窮小 極限為零的變量稱為無窮小 絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大 無窮大 在同一過程中 無窮大的倒數(shù)為無窮小 恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大 無窮小與無窮大的關(guān)系 2 無窮小與無窮大 二 極限的概念 定理1在同一過程中 有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小 定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 推論1在同一過程中 有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小 推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 推論3有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小 無窮小的運(yùn)算性質(zhì) 二 極限的概念 定理 推論1 推論2 3 極限的性質(zhì) 二 極限的概念 4 求極限的常用方法 a 多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限 b 消去零因子法求極限 c 無窮小因子分出法求極限 d 利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限 e 利用左右極限求分段函數(shù)極限 二 極限的概念 5 判定極限存在的準(zhǔn)則 夾逼準(zhǔn)則 二 極限的概念 1 2 6 兩個(gè)重要極限 二 極限的概念 定義 7 無窮小的比較 二 極限的概念 定理 等價(jià)無窮小替換定理 8 等價(jià)無窮小的性質(zhì) 9 極限的唯一性 二 極限的概念 左右連續(xù) 在區(qū)間 a b 上連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 初等函數(shù)的連續(xù)性 間斷點(diǎn)定義 連續(xù)定義 連續(xù)的充要條件 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 非初等函數(shù)的連續(xù)性 三 連續(xù)的概念 1 連續(xù)的定義 三 連續(xù)的概念 定理 3 連續(xù)的充要條件 2 單側(cè)連續(xù) 三 連續(xù)的概念 4 間斷點(diǎn)的定義 三 連續(xù)的概念 1 跳躍間斷點(diǎn) 2 可去間斷點(diǎn) 5 間斷點(diǎn)的分類 三 連續(xù)的概念 跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn) 特點(diǎn) 可去型 第一類間斷點(diǎn) 跳躍型 三 連續(xù)的概念 無窮型 振蕩型 第二類間斷點(diǎn) 第二類間斷點(diǎn) 三 連續(xù)的概念 6 閉區(qū)間的連續(xù)性 7 連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì) 定理 三 連續(xù)的概念 定理1嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù) 定理2 8 初等函數(shù)的連續(xù)性 定理3 三 連續(xù)的概念 定理4基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的 定理5一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間 9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理1 最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值 三 連續(xù)的概念 定理2 有界性定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界 三 連續(xù)的概念 推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值 三 連續(xù)的概念 例1 解 典型例題 例2 解 利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性