數(shù)的運算知識點+例題+提高習(xí)題.doc

數(shù)的運算知識要點1、四則運算的意義和法則 1、四則運算的意義運算名稱意義加法把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算減法已知兩個加數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算。乘法一個數(shù)乘整數(shù)，是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算。一個數(shù)乘小數(shù)，是求這個數(shù)的十分之幾，百分之幾是多少。一個數(shù)乘分?jǐn)?shù)，是求這個數(shù)的幾分之幾是多少。除法已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。 2、四則運算的法則 （1）加、減法 整數(shù)、小數(shù)加減法：相同數(shù)位上的數(shù)對齊（小數(shù)點對齊），從低位算起，哪一位上的數(shù)相加滿十（哪一位上的數(shù)不夠減），向前一位進(jìn)一（從前一位退一，當(dāng)十再減）。 分?jǐn)?shù)加減法：同分母分?jǐn)?shù)相加減，用分子相加減，分母不變；異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法則進(jìn)行計算。 （2）乘法 整數(shù)乘法：先用一個因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個因數(shù)。用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就要和哪一位對齊，再把幾次乘得的數(shù)加起來。 小數(shù)乘法：先按照整數(shù)乘法的法則計算出積，再看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位點上小數(shù)點。 分?jǐn)?shù)乘法：用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母，計算過程中能約分的先要約分。（3）除法 整數(shù)除法：除數(shù)有幾位，就看被除數(shù)的前幾位，不夠除就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位數(shù)上面，每次除后余下的數(shù)必須比除數(shù)小。小數(shù)除法：先移動除數(shù)的小數(shù)點，使它變成整數(shù)；除數(shù)的小數(shù)點向右移動幾位，被除數(shù)的小數(shù)點也要向右移動幾位（位數(shù)不夠時，在被除數(shù)的末尾用“0”補足），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法進(jìn)行計算。分?jǐn)?shù)除法：甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。（4）各部分之間的關(guān)系 加、減法 加數(shù)加數(shù)=和 一個加數(shù)=和-另一個加數(shù) 減數(shù)=被減數(shù)-差 減數(shù)減數(shù)=差 被減數(shù)=差+減數(shù)乘、除法因數(shù)因數(shù)=積 一個因數(shù)=積另一個因數(shù) 被除數(shù)=商除數(shù)被除數(shù)除數(shù)=商 除數(shù)=被除數(shù)商2運算定律名稱內(nèi)容及字母公式舉例加法交換律兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變a+b=b+a20+30=30+20加法結(jié)合律三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再同第三個數(shù)相加；或者先把后兩個數(shù)相加，再同第一個數(shù)相加，它們的和不變（a+b）+c=a+（bc）（20+30）+40=20+（30+40）乘法交換律兩個數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，它們的積不變。ab=ba2030=3020乘法結(jié)合律三位數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再同第三個數(shù)相乘；或者先把后兩個數(shù)相乘，再同第一個數(shù)相乘，它們的積不變（ab）c=a（bc）（2030）50=20（3050）乘法分配律兩個數(shù)的和同一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別同這個數(shù)相乘。再把兩個積相加結(jié)果不變。（a+b）c=ac+bc（20+30）50=2050+30503、四則混合運算 1、四則混合運算的順序 在沒有括號的算式里，如果只含有同一級運算，要按照從左到右的順序計算；如果含有兩級運算，要先算第二級運算，再算第一級運算。 在有括號的算式里，要先算小括號里面的，再算中括號里面的。 2、幾種常用的簡算方法 （1）拆項法：這是對分配律的逆向運用，常用的方法是分?jǐn)?shù)拆項，主要有以下幾種形式： 分子、分母分別為兩個相鄰自然數(shù)的和與積時： =+ 分母為兩個相鄰自然數(shù)的積時：=- 分母是差為a(a0)的兩個自然數(shù)的積時：=(-)分母為三個相鄰自然數(shù)的積時：=【-】（2）數(shù)字變形法：這是一種從數(shù)字特點出發(fā)，創(chuàng)新變形，巧妙地運用運算性質(zhì)，規(guī)律達(dá)到簡算目的的方法，如：較接近1，可將其轉(zhuǎn)化為（1-），然后根據(jù)情況運用適當(dāng)?shù)姆椒?。?）假設(shè)法：如果原式中的數(shù)字或相同式子比較多，各部分?jǐn)?shù)字或式子又比較接近，我們就可將其相同的部分看做一個整體，設(shè)為一個字母，使計算簡便。（4）分解質(zhì)因數(shù)：在計算中，常遇到一些復(fù)雜的數(shù)相加或相減，我們可根據(jù)情況把題中的每個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后把其中的公因數(shù)提出來，使計算簡便些。（5）找規(guī)律法：分析算式中各部分之間的關(guān)系，找出其中的規(guī)律，使計算簡便。典例解析及同步練習(xí)1、混合運算 典例1 計算下面各題 （1）9.5【（6.4-0.7）3】 （2）131【3（12.4-12）】 （3）【2（33）】11 （4）【（2.3）4.2】 解析：（1）（3）題，按運算順序，先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。（2）（4）題，除了要嚴(yán)格按運算順序進(jìn)行計算外，還要正確合理地判斷每一步應(yīng)如何計算。計算分?jǐn)?shù)、小數(shù)加減混合運算時，一般來說，用小數(shù)計算比較方便；如果分?jǐn)?shù)不能化成有限小數(shù)，則把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后再進(jìn)行計算；分?jǐn)?shù)與小數(shù)相乘或相除時，一般用分?jǐn)?shù)計算，也可以直接計算。究竟用哪一種方法計算要根據(jù)實際情況靈活選用。當(dāng)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的分母同時除以一個數(shù)（0除外）可以使分母變?yōu)?時，可采用直接計算的方法；如果小數(shù)與分?jǐn)?shù)的分母同時除以一個數(shù)（0除外）不能使分母變?yōu)?時，那么可把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)再進(jìn)行計算。 解：（1）原式=9.5【5.73】 （2）原式=131【3】 =9.51.9 = =5 = （3）原式=【2（4）】11 （4）原式=【】 =【23】11 = =6 = =71 =舉一反三訓(xùn)練1一、填空。 1、計算5.62.878時，要先算（ ）法，再算（ ）法，最后算（ ）。 2、甲數(shù)除以乙數(shù)，商是27，余數(shù)是4。若甲擴大10倍，乙數(shù)乘10后商是（ ），余數(shù)是（ ）。 3、如果AB=C，那么CAB=（ ）。 4、若AB=15，則（A6）（B8）=（ ） 二、計算下面各題。 1、110【（54.845.2）（65.45）】 2、3.5【6.8（1.63.60.9）】8.4 3、3.67.2214.448 4、（7.53.68）2.5【1（2.12.09）】 5、1（1） 6、（61）【1（1）】 三、列式計算。 1、一個數(shù)擴大5倍，再加上19，然后縮小2倍，再加上45，得92，求這個數(shù)。 2、0.8與0.4的差，加上1除以1.25的商，和是多少？ 典例2 選擇合適合適的方法計算下面各題。 （1）1 （2）31.2537.50.975375% （3）4.64.41（10.1） （4）517191 解析：（1）在同級運算中，可利用移項改變運算順序，這里的移項是指數(shù)與前面運算符號一同搬移。如此可將“”移到“1”的后面，接著連續(xù)減去和。根據(jù)減法的性質(zhì)，就等于減去和的和。（2）觀察原式發(fā)現(xiàn)，三項中有相似的三個數(shù)。3=3.75，37.5，375%=3.75，這里我們可利用積不變的性質(zhì)將37.5轉(zhuǎn)換為3.75，37.50.975=3.759.75，利用簡潔分配律簡算。（3）通過認(rèn)真觀察、試算發(fā)現(xiàn)，4.41=4.4，10.1=1，三項中都含有相同的因數(shù)，利用乘法分配律簡算。（4）原式三部分中數(shù)字形式相同，就其中一部分認(rèn)真分析可得：51=51，51比5的倍數(shù)多1，而1正好又是的倒數(shù)，故可將其變形為（50）=50=301。同理可將后面兩部分變形。 解：（1）原式= 1 （2）原式=3.751.253.759.753.75 =2（ ） =3.75（1.259.751） =1 =37.5 （3）原式=4.64.4 （4）原式=（50）（70）（90） =（4.64.41） = 301401501 =9 =123舉一反三訓(xùn)練2一、 選擇。（把正確答案的序號填在括號里）1、36153647=36（153647），根據(jù)是（ ）。 A、加法交換律 B、加法結(jié)合律 C、加法交換律和結(jié)合律 2、為使計算簡便，需要把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)計算的是（ ）。 A、5.740.37 B、6.31 C、2.731 3、A（BCD）=ABACAD，運用的是（ ）。 A、乘法分配律 B、乘法結(jié)合律 C、簡潔交換律 4、下列算式的運算不正確的是（ ）。 A、1211258=121（1258） B、260（0.53）=2600.52603C、5018=（502）（182） 二、用簡便方法計算。 1、 987402 2、 （） 3、 66 4、 8000（） 5、3837.97961 6、（）2923 7、0.020.42550 8、0.12526.2512.5% 9、3.6313.1464 10、415161712、巧填運算符號 典例1 在下面的式子中，加上括號，使等式成立。 （1）791232=47 （2）791232=75 解析：在做此類題時，我們一般采用逆推法。在（1）中，假設(shè)等式成立。因為492=47，所以只須：79123=49，由于4977，因此只須（912）3=7，而213=7，所以只須把912用括號括起來就行了。即7【（912）3】2=47；在（2）中，假設(shè)等式成立，因為772=75，所以只須79123=77，又因為711=77，所以只須9123=11，經(jīng)試算，不論怎樣加括號都不能成立。由此可見此路不通，得另想辦法。我們?nèi)约僭O(shè)等式成立，因為79=63，而6312=75，因此只須1232=12，又因為121=12，所以只須32用括號括起來就行了。即7912（32）=75. 解：（1）7【（912）3】2=47 （2）7912（32）=75舉一反三訓(xùn)練1一、 給下面的算式加上括號，使等式成立。123456789=303二、在下面的算式中加上括號，使等式成立。 1、6363241=63 2、6363241=149 3、6363241=45 4、6363241=47 5、6363241=5 6、6363241=14三、改變一個運算符號，使下面的等式成立。 1、123456789=100 2、12345678910=45典例2 在五個4之間添上適當(dāng)?shù)倪\算符號和括號，使得數(shù)是8. 解析：根據(jù)題意，可將原題表示為：4 4 4 4 4=8 我們從后逐步向前推，最后一個4的前面如果添運算符號只能是、四種之一。如果添的是“”號，則變?yōu)? 4 4 44=8 ，這樣中的前四個4通過添加運算符號得到4就可以了。即4 4 4 4=4 按照前面的推理方式，如果左邊最后一個4前又添“”號，則有4 4 44=4 要使成立，只須讓中的前三個4通過添適當(dāng)?shù)倪\算符號使結(jié)果為0就可以了。即4 4 4=0 我們知道，0與任何數(shù)相乘積為0，所以有三種添法 （44）4=0，（44）4=0，4（44）=0，因此，原題有三種添法（44）444=8，（44）444=8，4（44）44=8。如果式最后一個4前添的是“”號，就有4 4 44=4，這就要求前三個4之間添上符號，使4 4 4 =8 不管怎么添都不成立，所以最后一個4前不能添“”號，否則，就找不到符號。依照上面的推理方法，式最后一個4前還可以添上乘號或除號。 解：（44）444=8 （44）444=8 4（44）44=8 （4444）4=8 （4444）4=8舉一反三訓(xùn)練2一、 在等號左邊添上合適的運算符號和括號，使計算結(jié)果都為24。1、 13 6 3 3=24 2、 2 3 9 5=24 3、 4 1 11 3=24 4、 8 6 5 7=8二、把1*2*3*4*5里的*號改為運算符號，并添上適當(dāng)?shù)睦ㄌ枺惯\算結(jié)果等于100。三、在15個9之間合適的地方添上運算符號，使下列等式成立。（試寫幾種）9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9=2000 四、將1一2000這兩千個自然數(shù)用加號或減號連接起來組成算式，這個算式的結(jié)果最小可能是多少？ 五、如果一個整數(shù)與1、2、3這三個數(shù)通過加、減、乘、除運算（可以添加括號）組成算式，結(jié)果等于24，那么這個整數(shù)稱為可用的數(shù)，那么，在4、5、6、7、8、9、10這幾個數(shù)中，可用的數(shù)有多少個？ 3、簡算技巧 典例1 選擇合適的方法簡算下面各題。 （1）1357911 （2） 解析：這是兩道較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)串求和問題，要求同學(xué)們在日常運算中要善于發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律。（1）式可以把每個分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分拆開，分別相加。通過觀察我們可