拋物線復(fù)習(xí)(幾個(gè)常見結(jié)論及其應(yīng)用).doc

拋物線的幾個(gè)常見結(jié)論及其應(yīng)用拋物線中有一些常見、常用的結(jié)論，了解這些結(jié)論后在做選擇題、填空題時(shí)可迅速解答相關(guān)問(wèn)題，在做解答題時(shí)也可迅速打開思路。結(jié)論一：若AB是拋物線的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦），且，則：，。證明：因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為F(,0),當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為： ，由得: ，。當(dāng)ABx軸時(shí)，直線AB方程為，則，同上也有：。例：已知直線AB是過(guò)拋物線焦點(diǎn)F，求證：為定值。證明：設(shè)，由拋物線的定義知：，又+=，所以+=-p，且由結(jié)論一知：。則： =（常數(shù)）結(jié)論二：（1）若AB是拋物線的焦點(diǎn)弦，且直線AB的傾斜角為，則（0）。（2）焦點(diǎn)弦中通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦）最短。證明：（1）設(shè)，設(shè)直線AB:由得:, ，。易驗(yàn)證，結(jié)論對(duì)斜率不存在時(shí)也成立。（2）由（1）：AB為通徑時(shí)，的值最大，最小。例：已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的弦AB長(zhǎng)為12，則直線AB傾斜角為 。解：由結(jié)論二，12=（其中為直線AB的傾斜角）， 則，所以直線AB傾斜角為或。結(jié)論三：兩個(gè)相切：（1）以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切;以焦半徑為直徑的圓與Y軸相切 （2）過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。已知AB是拋物線的過(guò)焦點(diǎn)F的弦，求證：（1）以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。BAMNQPyxOF(2)分別過(guò)A、B做準(zhǔn)線的垂線，垂足為M、N，求證：以MN為直徑的圓與直線AB相切。證明：(1)設(shè)AB的中點(diǎn)為Q,過(guò)A、Q、B向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為M、P、N，連結(jié)AP、BP。由拋物線定義：，以AB為直徑為圓與準(zhǔn)線l相切OAMNPyxF（2）作圖如（1），取MN中點(diǎn)P，連結(jié)PF、MF、NF，AMOF，AMF=AFM，AMF=MFO，AFM=MFO。同理，BFN=NFO，MFN=（AFM+MFO+BFN+NFO）=90，B，PFM=FMPAFP=AFM+PFM=FMA+FMP=PMA=90，F(xiàn)PAB以MN為直徑為圓與焦點(diǎn)弦AB相切。結(jié)論四：若拋物線方程為，過(guò)（，0）的直線與之交于A、B兩點(diǎn)，則OAOB。反之也成立。證明：設(shè)直線AB方程為:，由 得， 0，AOBO，將，代入得，。直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）。當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，取最小值1。結(jié)論五：對(duì)于拋物線，其參數(shù)方程為設(shè)拋物線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，為拋物線的頂點(diǎn)，顯然，即的幾何意義為過(guò)拋物線頂點(diǎn)的動(dòng)弦的斜率例直線與拋物線相交于原點(diǎn)和點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，和垂直，且線段長(zhǎng)為，求的值解析：設(shè)點(diǎn)分別為，則，的坐標(biāo)分別為練習(xí)：1. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段與的長(zhǎng)分別是，則= 【解析：化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，從而取特殊情況，過(guò)焦點(diǎn)的弦垂直于對(duì)稱軸，則為通徑，即，從而，故】2.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且軸證明直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)【證明：拋物線焦點(diǎn)為設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，得若設(shè)，則軸，且點(diǎn)在準(zhǔn)線；又由，得，故，即直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)】3.已知拋物線的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線方程是，求拋物線的方程以及頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程【解：設(shè)是拋物線上的任意一點(diǎn)，由拋物線的定義得整理，得，此即為所求拋物線的方程拋物線的對(duì)稱軸應(yīng)是過(guò)焦點(diǎn)且與準(zhǔn)線垂直的直線，因此有對(duì)稱軸方程設(shè)對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，可求得，于是線段的中點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)，坐標(biāo)是】備選1.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線的方程是，試求該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和方程解：依題意，拋物線的對(duì)稱軸方程為設(shè)對(duì)稱軸和準(zhǔn)線的交點(diǎn)是，可以求得設(shè)焦點(diǎn)為，則的中點(diǎn)是，故得焦點(diǎn)坐標(biāo)為再設(shè)是拋物線上的任一點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義得，化簡(jiǎn)整