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2008年4月第25卷第2期 重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Journal of Chongqing Normal University( Natural Science)AprVol. 252008 No. 2淺議導(dǎo)出玻爾量子化條件的駐波條件 羅光，肖廣渝(重慶師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，重慶400047)摘要:從教科書(shū)中根據(jù)直線弦振動(dòng)的駐波條件，處理電子繞核作國(guó)周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)t的t子化問(wèn)題，導(dǎo)致了與玻爾理論量子化條件不一致的結(jié)論。提出利用駐波的特點(diǎn)和封閉弦振動(dòng)駐波滿足的對(duì)稱(chēng)性，得出回形封閉弦形成駐波的條件為周長(zhǎng)是半波長(zhǎng)的偶數(shù)倍。利用此條件可以處理電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)!亞子化問(wèn)題，從而得出與玻爾定態(tài)理論一致的結(jié)論。最后把玻爾定態(tài)理論的3個(gè)假設(shè)分別與駐波特點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，用駐波的特性解釋了電子繞核運(yùn)動(dòng)的能t、角動(dòng)t的貧子化問(wèn)題。關(guān)鎮(zhèn)詞:盆子力學(xué);玻爾金子化條件;駐波;角動(dòng)量中圈分類(lèi)號(hào);0413.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào);1672-6693(2008)02-0088-03 大學(xué)物理教材中“，處理電子繞核運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量是量子化的這一玻爾量子化條件假設(shè)時(shí)，一般從駐波的特征出發(fā)得出形成駐波的條件，再聯(lián)系電子具有的波動(dòng)屬性，確定出電子的波長(zhǎng)，導(dǎo)出角動(dòng)量是量子化的，并以此建立了德布羅意波和玻爾理論的聯(lián)系，以說(shuō)明或驗(yàn)證玻爾軌道角動(dòng)量量子化的條件。由于把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來(lái)，也使能量量子化與有限空間駐波的波長(zhǎng)和頻率的離散性聯(lián)系起來(lái)，建立了經(jīng)典理論和量子理論的和諧性。 雖然從量子力學(xué)a的角度看這種聯(lián)系待磋商，但是因?yàn)槟茏寣W(xué)生從較易接受的具體弦振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式出發(fā)，來(lái)理解抽象的量子力學(xué)中軌道角動(dòng)量的量子化，容易被學(xué)生接受。因而很多教材“都采用這種方式給出電子具有波動(dòng)性的屬性。然而只要稍加分析就可以看出，這種聯(lián)系是不嚴(yán)密的。因?yàn)樾纬神v波的條件與在建立德布羅意波和玻爾理論的聯(lián)系的駐波條件的表達(dá)式是不完全相同的。為什么有那樣的區(qū)別，沒(méi)有哪個(gè)教材作了相關(guān)的解釋。因而細(xì)心的讀者一旦發(fā)現(xiàn)這種不一樣，往往陷人模棱兩可的境地，反而使本就艱深的量子力學(xué)變得更加令人費(fèi)解。1由直線弦振動(dòng)的駐波條件導(dǎo)出的角動(dòng)口 對(duì)于具有一定長(zhǎng)度且兩端固定的弦，根據(jù)弦振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式可以形成駐波。波長(zhǎng)A。和弦長(zhǎng)l之間必須滿足5 A_二n-=一二(n=1.2.3 . Z(1)事實(shí)上，按此條件是無(wú)法導(dǎo)出與玻爾理論相一致的角動(dòng)量量子化條件的。因?yàn)楦鶕?jù)德布羅意波的波長(zhǎng)公式，質(zhì)量為m的電子，以速率:運(yùn)動(dòng)時(shí)，其波長(zhǎng)為結(jié)合(1)式，當(dāng)。=電子的角動(dòng)量L為人=立 刀刁v人時(shí)，以半徑為r (2)的圓周運(yùn)動(dòng)的 h，。二、，.、L = mvr =幾二-(n=I。乙.s.)cj) 4叮由(3)式可以看出，這與玻爾理論的角動(dòng)量量子化條件的假設(shè)2 h乙二n二es Za(4)不一致。 為了避免這種不一致，很多普通物理學(xué)教材“在作這樣的解釋時(shí)，都把形成駐波的條件改為 l=nnn (5) 但沒(méi)有說(shuō)明理由。由于兩端固定的弦形成駐波的條件是由(1)式確定。在將直線弦彎曲成圓形封閉弦時(shí)，形成駐波的條件就變成了(s式。因而學(xué)生在碰到上述問(wèn)題時(shí)，大都陷人模棱兩可的境地。收稿日期:2007-09-03修回日期:2008-02-20作者簡(jiǎn)介:羅光(1973-)，男，講師，博士研究生，研究方向?yàn)槔碚撐锢怼?2008年4月第25卷第2期 重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Journal of Chongqing Normal University( Natural Science)AprVol. 252008 No. 2淺議導(dǎo)出玻爾量子化條件的駐波條件 羅光，肖廣渝(重慶師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，重慶400047)摘要:從教科書(shū)中根據(jù)直線弦振動(dòng)的駐波條件，處理電子繞核作國(guó)周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)t的t子化問(wèn)題，導(dǎo)致了與玻爾理論量子化條件不一致的結(jié)論。提出利用駐波的特點(diǎn)和封閉弦振動(dòng)駐波滿足的對(duì)稱(chēng)性，得出回形封閉弦形成駐波的條件為周長(zhǎng)是半波長(zhǎng)的偶數(shù)倍。利用此條件可以處理電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)!亞子化問(wèn)題，從而得出與玻爾定態(tài)理論一致的結(jié)論。最后把玻爾定態(tài)理論的3個(gè)假設(shè)分別與駐波特點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，用駐波的特性解釋了電子繞核運(yùn)動(dòng)的能t、角動(dòng)t的貧子化問(wèn)題。關(guān)鎮(zhèn)詞:盆子力學(xué);玻爾金子化條件;駐波;角動(dòng)量中圈分類(lèi)號(hào);0413.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào);1672-6693(2008)02-0088-03 大學(xué)物理教材中“，處理電子繞核運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量是量子化的這一玻爾量子化條件假設(shè)時(shí)，一般從駐波的特征出發(fā)得出形成駐波的條件，再聯(lián)系電子具有的波動(dòng)屬性，確定出電子的波長(zhǎng)，導(dǎo)出角動(dòng)量是量子化的，并以此建立了德布羅意波和玻爾理論的聯(lián)系，以說(shuō)明或驗(yàn)證玻爾軌道角動(dòng)量量子化的條件。由于把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來(lái)，也使能量量子化與有限空間駐波的波長(zhǎng)和頻率的離散性聯(lián)系起來(lái)，建立了經(jīng)典理論和量子理論的和諧性。 雖然從量子力學(xué)a的角度看這種聯(lián)系待磋商，但是因?yàn)槟茏寣W(xué)生從較易接受的具體弦振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式出發(fā)，來(lái)理解抽象的量子力學(xué)中軌道角動(dòng)量的量子化，容易被學(xué)生接受。因而很多教材“都采用這種方式給出電子具有波動(dòng)性的屬性。然而只要稍加分析就可以看出，這種聯(lián)系是不嚴(yán)密的。因?yàn)樾纬神v波的條件與在建立德布羅意波和玻爾理論的聯(lián)系的駐波條件的表達(dá)式是不完全相同的。為什么有那樣的區(qū)別，沒(méi)有哪個(gè)教材作了相關(guān)的解釋。因而細(xì)心的讀者一旦發(fā)現(xiàn)這種不一樣，往往陷人模棱兩可的境地，反而使本就艱深的量子力學(xué)變得更加令人費(fèi)解。1由直線弦振動(dòng)的駐波條件導(dǎo)出的角動(dòng)口 對(duì)于具有一定長(zhǎng)度且兩端固定的弦，根據(jù)弦振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式可以形成駐波。波長(zhǎng)A。和弦長(zhǎng)l之間必須滿足5 A_二n-=一二(n=1.2.3 . Z(1)事實(shí)上，按此條件是無(wú)法導(dǎo)出與玻爾理論相一致的角動(dòng)量量子化條件的。因?yàn)楦鶕?jù)德布羅意波的波長(zhǎng)公式，質(zhì)量為m的電子，以速率:運(yùn)動(dòng)時(shí)，其波長(zhǎng)為結(jié)合(1)式，當(dāng)。=電子的角動(dòng)量L為人=立 刀刁v人時(shí)，以半徑為r (2)的圓周運(yùn)動(dòng)的 h，。二、，.、L = mvr =幾二-(n=I。乙.s.)cj) 4叮由(3)式可以看出，這與玻爾理論的角動(dòng)量量子化條件的假設(shè)2 h乙二n二es Za(4)不一致。 為了避免這種不一致，很多普通物理學(xué)教材“在作這樣的解釋時(shí)，都把形成駐波的條件改為 l=nnn (5) 但沒(méi)有說(shuō)明理由。由于兩端固定的弦形成駐波的條件是由(1)式確定。在將直線弦彎曲成圓形封閉弦時(shí)，形成駐波的條件就變成了(s式。因而學(xué)生在碰到上述問(wèn)題時(shí)，大都陷人模棱兩可的境地。收稿日期:2007-09-03修回日期:2008-02-20作者簡(jiǎn)介:羅光(1973-)，男，講師，博士研究生，研究方向?yàn)槔碚撐锢怼５?期羅光，等:淺議導(dǎo)出玻爾量子化條件的駐波條件的6)人2圓形封閉弦形成駐波條件 圓形封閉弦的駐波圖樣可以由直線弦駐波圖樣經(jīng)適當(dāng)變形似乎很自然地可以得到，如圖1所示，直線弦駐波具有的性質(zhì)封閉弦也應(yīng)該有。當(dāng)兩端固定時(shí)，波節(jié)數(shù)n和波腹數(shù)m間的關(guān)系為n一1 = m，任意一個(gè)波節(jié)兩邊的點(diǎn)的相位相差二，波長(zhǎng)A。和弦長(zhǎng)L之間必須滿足(1)式，才能形成駐波。當(dāng)兩端點(diǎn)合在一點(diǎn)構(gòu)成封閉弦，即始于同一點(diǎn)，反向沿圓周傳播時(shí)(該點(diǎn)為可區(qū)分時(shí))，與直線弦兩端固定時(shí)形成駐波的條件一樣，也是(1)式，此時(shí)的弦長(zhǎng)即為圓周長(zhǎng)。當(dāng)然根據(jù)此條件只能得到描述角動(dòng)量量子化條件的(3)式，無(wú)法得到與玻爾理論角動(dòng)量量子化條件相一致的結(jié)果。但是當(dāng)弦的兩端點(diǎn)與其它點(diǎn)無(wú)法區(qū)分時(shí)，也無(wú)需區(qū)分時(shí)，這時(shí)形成駐波的條件與直線弦形成駐波的條件就不一樣了，此時(shí)波節(jié)數(shù)n和波腹數(shù)m間的關(guān)系為rz=m，任意一個(gè)波節(jié)兩邊的點(diǎn)的相位相差二，波長(zhǎng)A。和弦長(zhǎng)l間的關(guān)系也將有所變化，端點(diǎn)也成為節(jié)點(diǎn)之一，如圖1中c和d所示以及圖2所示，根據(jù)波節(jié)兩邊點(diǎn)的相位相差二的關(guān)系，可以看出，圖2所示的情形是不能形成駐波的(因?yàn)楣?jié)點(diǎn)1兩邊的點(diǎn)的相位是相同的)。由此可以得出，當(dāng)兩列波起于同一點(diǎn)反向沿同一圓周傳播時(shí)，要形成駐波，則波長(zhǎng)A。和弦長(zhǎng)L之間滿足的關(guān)系式(1)中的n必須是偶數(shù)，在圓周上必須只有偶數(shù)個(gè)波腹偶數(shù)個(gè)波節(jié)，才能夠形成駐波。電子繞核運(yùn)動(dòng)的方式與圓形封閉弦形成駐波的條件吻合。其他點(diǎn)區(qū)分時(shí)，就有以下兩種可能: 1)假如圓周周長(zhǎng)l為電子的德布羅意波長(zhǎng)關(guān)系為二27tr=人，-( zn十I)Z“、.,I Iv, 1, a b - a 圖I直線弦駐波過(guò)渡到圓形封閉弦駐波示意圖 a直線弦駐波示意圖;b由直線弦向封閉弦駐波的過(guò)渡;c圓周長(zhǎng)等于波長(zhǎng)時(shí)的封閉弦駐波示意圖;d圓周長(zhǎng)是波長(zhǎng)4倍時(shí)的封閉弦駐波示意圖 ，口ii1 3 a b 圖2圓形封閉弦端點(diǎn)固定時(shí)形成的駐波示意圖 a圓周長(zhǎng)剛好是半波長(zhǎng)時(shí)的封閉弦駐波示意圖;b圓周長(zhǎng)是半波長(zhǎng)3倍時(shí)的封閉弦駐波示意圖 對(duì)于圓形封閉弦，當(dāng)弦的端點(diǎn)無(wú)法(也無(wú)須)與即圓周長(zhǎng)是半波長(zhǎng)的奇數(shù)倍時(shí)，則無(wú)法形成駐波。因?yàn)橹挥衅鏀?shù)個(gè)波腹、奇數(shù)個(gè)波節(jié)，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性要求，在一個(gè)圓周上假如是奇數(shù)個(gè)波腹(或波節(jié))，肯定是不對(duì)稱(chēng)，此時(shí)波節(jié)兩邊的點(diǎn)的相位相相同。如圖2所示，比如選擇1點(diǎn)，就無(wú)與它對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)。這時(shí)點(diǎn)1就是可以區(qū)分的點(diǎn)(其它點(diǎn)也類(lèi)似，都不具有中心對(duì)稱(chēng)性)，就不適合描述電子圍繞核運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)繞核運(yùn)動(dòng)、關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)以及無(wú)始點(diǎn)和終點(diǎn)(終點(diǎn)和始點(diǎn)不可分辨)等。 2)要滿足電子繞核運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，則要求圓周周長(zhǎng)L為電子的德布羅意波長(zhǎng)A的整數(shù)倍，即 L=21rr=nd (7)如圖1中c和d的情形。這種情況就滿足了對(duì)稱(chēng)性要求，此時(shí)波節(jié)兩邊的點(diǎn)的相位相差二，也滿足駐波形成的條件(1)式。 因此，把電子繞核作定態(tài)圓周運(yùn)動(dòng)看成是德布羅意幾率波的波動(dòng)，利用封閉弦的簡(jiǎn)正模式來(lái)分析駐波條件，這時(shí)波長(zhǎng)入和弦長(zhǎng)L之間必須滿足(7)所示的關(guān)系，利用(2)式，就可以得出與玻爾理論角動(dòng)量量子化的條件(4)式相一致的表達(dá)式。 在德布羅意物質(zhì)波的理論中，電子在原子中的運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)著一種波動(dòng)，雖然這是一種幾率波，不同于機(jī)械波，但是同樣滿足波的相關(guān)特性，比如干涉、衍射等。而且利用駐波形成后的特點(diǎn)可以在一定程度上解釋玻爾理論的以下3個(gè)假設(shè)。 a)電子在原子中，可以在一些特定圓軌道上運(yùn)動(dòng)而不輻射電磁波，這時(shí)原子處于穩(wěn)定狀態(tài)，并具有一定的能量。對(duì)于電子繞核的這種特殊的運(yùn)動(dòng)，既要滿足波動(dòng)，又不輻射能量，這種波動(dòng)只有形成駐波時(shí)才能同時(shí)滿足。 b)電子以速度:在半徑為r的圓軌道上繞核運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有電子的角動(dòng)量等于h/2二的整數(shù)倍的那些軌道才是穩(wěn)定的。從波動(dòng)屬性可以得出，要形成駐波，此時(shí)電子的波長(zhǎng)和圓周長(zhǎng)間必須滿足形成駐波的條件(5)式，這時(shí)電子的角動(dòng)量剛好等于h/2,Tr的整數(shù)倍，正如(4)式所描述的一樣_ c)當(dāng)原子從高能量的定態(tài)躍遷到低能量的定態(tài)，要輻射一定頻率的光子。根據(jù)駐波形成的特點(diǎn)波的能量不再作定向傳播，只能是動(dòng)能和勢(shì)Journal of Chongqing Normal University( Natural Science)Vol. 25 No. 2能的不斷相互轉(zhuǎn)化(機(jī)械能守恒)，電子繞核運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和相對(duì)核的勢(shì)能之和(機(jī)械能)就是一個(gè)確定的值。當(dāng)不同的軌道之間發(fā)生躍遷時(shí)，即是駐波的封閉弦半徑發(fā)生了變化，而這種變化由于駐波條件限制，導(dǎo)致了不連續(xù)性，在經(jīng)典力學(xué)中可以推出電子具有的動(dòng)能和勢(shì)能，從而可以得出電子的機(jī)械能發(fā)生了相應(yīng)的變化，機(jī)械能的增加量或減少量就對(duì)應(yīng)了電子將吸收或輻射的能量。由于半徑的變化是離散的，吸收或輻射的能量也是離散的。假如原子是從高能量的定態(tài)躍遷到低能量的定態(tài)，則以光子的形式輻射的能量就是一定的，相應(yīng)的頻率也是一定的。性，對(duì)直線弦形成駐波的弦長(zhǎng)與波長(zhǎng)滿足的條件作適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)，就可以保證在邏輯嚴(yán)密，理論自洽上得出玻爾理論中角動(dòng)量量子化的條件，從而能達(dá)到讓學(xué)生從較熟悉的駐波的特點(diǎn)更充分地理解相對(duì)艱深的量子理論。 致謝:重慶工學(xué)院楊光富教授對(duì)本文給予了悉心指導(dǎo)，謹(jǐn)此致謝!3結(jié)論 總之，在分析電子繞核作定態(tài)圓周運(yùn)動(dòng)，利用振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式形成駐波的條件來(lái)導(dǎo)出玻爾理論中的角動(dòng)量量子化條件的假設(shè)時(shí)，關(guān)鍵的問(wèn)題是要搞清楚直線弦與圓形封閉弦按振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式形成駐波所具有的特點(diǎn)。利用圓形封閉弦所具有的中心對(duì)稱(chēng)參考文獻(xiàn):I程守沫，江之永.普通物理學(xué)(下冊(cè))【M.第6版.北 京:高等教育出版社，2006.238.2馬文蔚，解希順，周雨青.物理學(xué)(下冊(cè))M.第5版. 北京:高等教育出版社，2006.332.3梁紹榮，管靖.基礎(chǔ)物理學(xué)(下冊(cè))M.北京:高等教育 出版社，2002.208-209.4林禎棋.從量子論到玻色一愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)【M.重慶師范 大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,23(4);45-19.5馬文蔚，解希順，周雨青.物理學(xué)(下冊(cè))M.第5版. 北京:高等教育出版社，2006.68-69.A Tentative Study of Standing Wave Condition Used to Deduce Bohr Quantized Condition LUO Guang, XIAO Guang-yu (College of Physics and Information Technology, Chongqing Normal University, Chongqing 400047，China)Abstract: This paper thinks that the conclusion will disagree with the Bohr angular momentum quantized condition, if the standing wavecondition of linear string vibration is used directly to deal with angular momentum of the motion of electron going round nucleus in a cir-cle in the textbook. The paper holds that if one employs the char