空間直角坐標系.doc

空間直角坐標系空間點的直角坐標系 為了溝通空間圖形與數(shù)的研究，我們需要建立空間的點與有序數(shù)組之間的聯(lián)系，為此我們通過引進空間直角坐標系來實現(xiàn)。 過定點O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O為原點且一般具有相同的長度單位.這三條軸分別叫做x軸(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；統(tǒng)稱坐標軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當右手的四指從正向x軸以/2角度轉向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣的三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系，點O叫做坐標原點。（如下圖所示） 三條坐標軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱坐標面。 取定了空間直角坐標系后，就可以建立起空間的點與有序數(shù)組之間的對應關系。 例：設點M為空間一已知點.我們過點M作三個平面分別垂直于x軸、y軸、z軸，它們與x軸、y軸、z軸的交點依次為P、Q、R，這三點在x軸、y軸、z軸的坐標依次為x、y、z.于是空間的一點M就唯一的確定了一個有序數(shù)組x,y,z.這組數(shù)x,y,z就叫做點M的坐標，并依次稱x,y和z為點M的橫坐標，縱坐標和豎坐標。(如下圖所示） 坐標為x,y,z的點M通常記為M(x,y,z). 這樣，通過空間直角坐標系，我們就建立了空間的點M和有序數(shù)組x,y,z之間的一一對應關系。 注意：坐標面上和坐標軸上的點，其坐標各有一定的特征.例：如果點M在yOz平面上，則x=0；同樣，zOx面上的點，y=0；如果點M在x軸上，則y=z=0；如果M是原點，則x=y=z=0，等?？臻g兩點間的距離 設M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點，為了用兩點的坐標來表達它們間的距離d我們有公式： 例題：證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點的三角形ABC是一等腰三角形. 解答：由兩點間距離公式得： 由于，所以ABC是一等腰三角形方向余弦與方向數(shù)解析幾何中除了兩點間的距離外，還有一個最基本的問題就是如何確定有向線段的或有向直線的方向。方向角與方向余弦 設有空間兩點，若以P1為始點，另一點P2為終點的線段稱為有向線段.記作.通過原點作一與其平行且同向的有向線段.將與Ox,Oy,Oz三個坐標軸正向夾角分別記作,.這三個角,稱為有向線段的方向角.其中0,0,0. 關于方向角的問題 若有向線段的方向確定了，則其方向角也是唯一確定的。 方向角的余弦稱為有向線段或相應的有向線段的方向余弦。 設有空間兩點，則其方向余弦可表示為： 從上面的公式我們可以得到方向余弦之間的一個基本關系式： 注意：從原點出發(fā)的任一單位的有向線段的方向余弦就是其端點坐標。方向數(shù) 方向余弦可以用來確定空間有向直線的方向，但是，如果只需要確定一條空間直線的方位(一條直線的兩個方向均確定著同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道與方向余弦成比例的三個數(shù)就可以了。這三個與方向余弦成比例且不全為零的數(shù)A，B，C稱為空間直線的方向數(shù)，記作：A，B，C.即： 據(jù)此我們可得到方向余弦與方向數(shù)的轉換公式： ， 其中：根式取正負號分別得到兩組方向余弦，它們代表兩個相反的方向。 關于方向數(shù)的問題 空間任意兩點坐標之差就是聯(lián)結此兩點直線的一組方向數(shù)。兩直線的夾角 設L1與L2是空間的任意兩條直線，它們可能相交，也可能不相交.通過原點O作平行與兩條直線的線段.則線段的夾角稱為此兩直線L1與L2的夾角. 若知道L1與L2的方向余弦則有公式為： 其中：為兩直線的夾角。 若知道L1與L2的方向數(shù)則有公式為： 兩直線平行、垂直的條件 兩直線平行的充分必要條件為： 兩直線垂直的充分必要條件為： 曲面與空間曲線曲面的方程 我們知道，在平面解析幾何中可把曲線看成是動點的軌跡.因此，在空間中曲面可看成是一個動點或一條動曲線(直線)按一定的條件或規(guī)律運動而產(chǎn)生的軌跡。 設曲面上動點P的坐標為(x,y,z)，由這一條件或規(guī)律就能導出一個含有變量x,y,z的方程： 如果此方程當且僅當P為曲面上的點時，才為P點的坐標所滿足。那末我們就用這個方程表示曲面，并稱這個方程為曲面的方程，把這個曲面稱為方程的圖形?？臻g曲線的方程 我們知道，空間直線可看成兩平面的交線，因而它的方程可用此兩相交平面的方程的聯(lián)立方程組來表示，這就是直線方程的一般式。 一般地，空間曲線也可以象空間直線那樣看成是兩個曲面的交線，因而空間曲線的方程就可由此兩相交曲面方程的聯(lián)立方程組來表示。 設有兩個相交曲面，它們的方程是，那末聯(lián)立方程組： 便是它們的交線方程。兩類常見的曲面 1、柱面 設有動直線L沿一給定的曲線C移動，移動時始終與給定的直線M平行，這樣由動直線L所形成的曲面稱為柱面，動直線L稱為柱面的母線，定曲線C稱為柱面的準線。 2、旋轉面 設有一條平面曲線C，繞著同一平面內(nèi)的一