隱藏在優(yōu)美對稱中的位置與數(shù)量關(guān)系——2013年北京市高考數(shù)學(xué)文科試題8解析.pdf

4 2 數(shù)學(xué)通報2 0 1 4 年第5 3 卷第3 期 隱藏在優(yōu)美對稱中的位置與數(shù)量關(guān)系 2 0 13 年北京市高考數(shù)學(xué)文科試題8 解析 徐紅 北京市第八十中學(xué) 1 0 0 1 0 2 2 0 1 3 年高考北京數(shù)學(xué)試題恢宏大氣 穩(wěn)中求 新 亮點層出不窮 選擇題與填空題與前幾年的命 題方向一致 體現(xiàn)出 多想少算 立足考查學(xué)生的 數(shù)學(xué)素養(yǎng) 思維能力及核心思想方法的使用 考查 學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)的認(rèn)識是否深入 以文科 試題8 為例 命題人充分發(fā)掘了正方體的對稱美 讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)隱藏在優(yōu)美對稱中的位置與數(shù)量關(guān) 系 題目立意新穎 點 線 面之間的關(guān)系在流暢中 有曲折 對稱中有偏移 開拓出一個既精巧又廣闊 的空間 讓學(xué)生的思維可以自由馳騁 下面對文科 第8 題予以解析 僅供參考 2 0 1 3 年高考北京 文科8 題 如圖1 在正 方體A B C D A l B l C D 中 P 為對角線B D 的 三等分點 P 到各頂點的 距離的不同取值 有 A 3 個 B 4 個 圖1 C 5 個 D 6 個 如何考查P 到各頂點的距離的大小關(guān)系呢 我們不妨從P A P C 的大小關(guān)系人手 由于二者 關(guān)系不外乎三種 P A P C P A P C 或者P A P C 即是研究正方體內(nèi)的點P 到線段A C 兩個端 點的距離 為此可先思考到A C 端點距離相等點 的位置 再確定P A P C 大小 類比平面中到一條 線段兩個端點距離相等的點在線段的中垂線上 可知空間中到點A C 距離相等的點在線段A C 的中垂面 即過一條線段中點且與該線段垂直的 平面 上 于是可通過判斷點P 是否在A C 的中垂 面上來判斷P A P C 大小 即研究P A P C 大小 只需研究點P 是否在線段A C 的中垂面上 其它 同理 方法1如圖2 點 P 位于A C 的中垂面 B D D t B 上 且平面 B D D B 也為A C 中 垂面 所以由對稱性可 知P A P C P A P C 同理 點P 位于線 段A B 的中垂面 A B C D 上 且平面 A B C D 也為D C 中垂面 一P D 于是P A P C P B 下面比較P A P A P B P D 大小 由于點P 與點B 位于線段A B 的 中垂面E F G H 同側(cè) 圖 3 所以P B P A 同理 可證P A P A l P A l D 1C P D 所以P 到正方體各 4 頂點的距離分別取4 個 不同數(shù)值 選 B EB 圖3 從方法1 我們可以感受到正方體極強的對稱 性 在方法2 中我們將繼續(xù)挖掘它的對稱性 以及 圖形圍繞對稱發(fā)生偏移時的位置與數(shù)量變化 方法2 如圖4 正方體繞直線B D 逆時針 旋轉(zhuǎn)1 2 0 A 被旋轉(zhuǎn)至C C 被旋轉(zhuǎn)至D D 被 旋轉(zhuǎn)至A 這是正方體的一種旋轉(zhuǎn)對稱性質(zhì) P 是旋轉(zhuǎn)軸B D 上一點 所以P A 一P C P D 同 理P A P B 一P C 如圖5 觀察平面B B D 1 D 可 以證出O P 上P B 所以么P O B 是銳角 P O D 是 萬方數(shù)據(jù) 2 0 1 4 年第5 3 卷第3 期 數(shù)學(xué)通報 4 3 鈍角 又因為P A P C O A O C 所以么P O A 是 直角 于是有么P O B 么P O A 么P O D 在 P B O X P A O 和 P D 0 中 P O 是公共邊 O B O A O D 么P o B 么P O A 么P O D 較大的 角對應(yīng)的邊也會較大 所以P B P A P D D l D lC 圖4 C 圖5 下面比較P D 與P D 的大小 觀察圖6 我們可 以把P 點看成是由B D 中點P7 向點B 滑動得到 的 于是有么P D D 一 么P7 D D 么P D D l 所以 P D P D 所以點P 到正方 體各頂點的距離分別取4 個不同數(shù)值 選 B 我們還可以把題目中的正方體看做一個智力 玩具 魔方 如圖7 點P 到正方體的每一個頂點 的距離恰好是一個長方體或正方體對角線長 方法3 如圖7 將正方體各棱三等分 會發(fā) 現(xiàn)三個形狀和大小完全相同的長方體P A 長方 體P C 和長方體P B P 到點A B C 的距離就 是三條體對角線P A P C P B 的長度 于是有 P A P C P B 同理可知 P 到A D C 的距離 相等 即P A 一P D P C 圖8 另外可觀察到 P B P D 是兩個大小不同的正方體的對角線 它 們的長度與前兩組值均不等 所以選 B 圖7 B 圖8 此題也可以利用空間向量知識加以解決 建 立恰當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系 讓圖形的對稱性在坐標(biāo)中 表現(xiàn)出來 使得計算變得簡單 方法4如圖9 以B 為原點建立空間 直角坐標(biāo)系 使P 點坐 標(biāo)為 1 1 1 則其他 各頂點坐標(biāo)分別為 D 3 3 3 A 0 3 0 C 3 0 0 B 1 0 0 3 A 0 3 3 D 3 3 0 yAB 圖9 c l 3 0 3 由坐標(biāo)對稱性知P A P C P B 一 6 P A l 一P C I 一P D 一3 又易知P D l 一2 3 P B 一 I X 所以P B P A P A l P D 選 B 方法4 是一種常規(guī)而穩(wěn)健的方法 在坐標(biāo)化 時要注意合理運用對稱關(guān)系 通過計算比大小 方 法1 按部就班 從各個優(yōu)美的細(xì)節(jié)人手進(jìn)行探究 把判斷P 到兩頂點距離轉(zhuǎn)化為判斷P 是否在兩 頂點所構(gòu)成線段的中垂面上 方法2 的旋轉(zhuǎn)讓人 眼前一亮 但要想全面解決問題 還需要去發(fā)現(xiàn)圖 形由對稱發(fā)生偏移后位置與數(shù)量的變化 方法3 不禁讓人嘖噴稱嘆 不僅道理淺顯易懂 而且把正 方體的優(yōu)美與對稱表現(xiàn)得淋漓盡致 此法需要學(xué)生 對于正方體的對稱性有比較宏觀和透徹的理解 要想讓學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時思維能自由馳 騁 教師在平時的教學(xué)中要注重引領(lǐng)學(xué)生揭示數(shù) 下轉(zhuǎn)第4 7 頁 萬方數(shù)據(jù) 2 0 1 4 年第5 3 卷第3 期數(shù)學(xué)通報 4 7 l 叫越 由于一般的二次函數(shù)Y a x 2 6 z c 口 o 的圖像可以看成由最簡單的二次函數(shù)Y a x 2 口 o 平移得到的 因此這兩個函數(shù)圖像形狀相同 只是位置不同 下面我們就以二次函數(shù)y n z 2 n o 為例 來研究拋物線上點的運動規(guī)律 我們將解析式y(tǒng) a z 2 口 o 變形為音y z 2 你能否把等式左邊用兩個完全平方式表示 出來 生1 詈 麥 2 一 詈一麥 2 一z 2 1 師 說說這一變形你是怎么想到的 生1 我是將丟y 拆成4 1 2 口 Y 2 然后構(gòu)造 去與普的和與差的平方差 一 師 還有其它拆分方法嗎 生2 將扣拆成4 去 詈得 丟 2 一 導(dǎo)一丟 2 z 2 2 生3 因為丟y 一4 石1 y 還可以拆成 y 丟 2 一 y 一拶 3 師 同學(xué)們拆的很好 我們選取 3 式進(jìn)行研 究 將 3 移項變形得 y 去卜戶研 請你用幾何語言敘述一下該等式的幾何 意義 e l 平面上 動點M x y 到定點F O 4 1 n 的 距離與點M 到直線Y 一一圭的距離相等 士 師 請你一般地概括一下拋物線的這一性質(zhì) 生 拋物線上的任意一點到一個定點的距離 與到一條定直線的距離相等 師 一般地 我們給出拋物線的定義如下 平 面內(nèi)與一個定點F 和一條定直線l F 售z 的距離 相等的點的軌跡叫做拋物線 定點F 叫做拋物線 的焦點 定直線z 叫做拋物線的準(zhǔn)線 師 如果定點F 在定直線 上 動點的軌跡是 什么 生 過點F 垂直于l 的直線 教學(xué)感悟愛因斯坦說 提出一個問題往往 比解決一個問題更為重要 因為解決一個問題也 許是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募记蓡栴} 而提出新 的問題 新的可能性 從新的角度看舊問題 卻需 要創(chuàng)造性的想像力 而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn) 步 提出問題是學(xué)生的一種重要的能力 在教學(xué) 中 我們要鼓勵學(xué)生提出問題 并對學(xué)生所提的問 題分析思考 是我們了解學(xué)生 有針對性地進(jìn)行教 學(xué)設(shè)計的基礎(chǔ) 利用好問題資源會使我們的教學(xué) 更接近學(xué)生的認(rèn)知水平 使課堂生成更加精彩 以上是我在平時課堂教學(xué)中的幾個特寫片 斷 實踐證明 創(chuàng)造民主 開放 和諧的課堂氣氛 設(shè)計好的問題情境 教師以學(xué)習(xí)者的姿態(tài)和學(xué)生 溝通交流 是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情 啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思 維的有效策略 當(dāng)然這需要教師具備深厚的功底 和收放自如的課堂駕馭能力 只要我們在教學(xué)中 不斷地積淀歷練 思考探索 課堂才會有多彩的生 成 創(chuàng)新的聯(lián)想 智慧的閃現(xiàn) 這正是我們作為教 師努力追求的目標(biāo) 上接第4 3 頁 學(xué)中的概念 性質(zhì) 定義 定理及每個知識的本質(zhì) 特征 借助幾何直