北京大學(xué)量子力學(xué)期末試題.doc

量 子 力 學(xué) 習(xí) 題（三年級(jí)用）北京大學(xué)物理學(xué)院二OO三年第一章 緒論1、計(jì)算下列情況的波長(zhǎng)，指出那種情況要用量子力學(xué)處理：（1）能量為的慢中子；被鈾吸收；（2）能量為粒子穿過(guò)原子；（3）飛行速度為100米/秒，質(zhì)量為40克的子彈。2、兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正、負(fù)電子對(duì)，如果兩光子的能量相等，問(wèn)要實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，光子的波長(zhǎng)最大是多少？3、利用關(guān)系，及園形軌道為各波長(zhǎng)的整數(shù)倍，給出氫原子能量可能值。第二章 波函數(shù)與波動(dòng)力學(xué)1、設(shè)（1）求歸一化常數(shù)（2）2、求的幾率流密度。3、若求其幾率流密度，你從結(jié)果中能得到什么樣的結(jié)論？（其中為實(shí)數(shù)）4、一維運(yùn)動(dòng)的粒子處于的狀態(tài)，其中求歸一化系數(shù)A和粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。5、證明：從單粒子的薛定諤方程得出的粒子的速度場(chǎng)是非旋的，即求證其中6、一維自由運(yùn)動(dòng)粒子，在時(shí)，波函數(shù)為求：第三章 一維定態(tài)問(wèn)題1、粒子處于位場(chǎng)中，求：E時(shí)的透射系數(shù)和反射系數(shù)（粒子由右向左運(yùn)動(dòng)）2、一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。（1）求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)；（2）若粒子處于態(tài)，證明：3、若在x軸的有限區(qū)域，有一位勢(shì)，在區(qū)域外的波函數(shù)為如 這即“出射”波和“入射”波之間的關(guān)系，證明：這表明S是么正矩陣4、試求在半壁無(wú)限高位壘中粒子的束縛態(tài)能級(jí)和波函數(shù)5、求粒子在下列位場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的能級(jí)6、粒子以動(dòng)能E入射，受到雙勢(shì)壘作用求反射幾率和透射幾率，以及發(fā)生完全透射的條件。7、質(zhì)量為的粒子處于一維諧振子勢(shì)場(chǎng)的基態(tài)，（1）若彈性系數(shù)突然變?yōu)椋磩?shì)場(chǎng)變?yōu)殡S即測(cè)量粒子的能量，求發(fā)現(xiàn)粒子處于新勢(shì)場(chǎng)基態(tài)幾率；（2）勢(shì)場(chǎng)突然變成后，不進(jìn)行測(cè)量，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，勢(shì)場(chǎng)又恢復(fù)成，問(wèn)取什么值時(shí)，粒子仍恢復(fù)到原來(lái)場(chǎng)的基態(tài)。8、設(shè)一維諧振子處于基態(tài)，求它的，并驗(yàn)證測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。第四章 量子力學(xué)中的力學(xué)量1、 若證明： 2、設(shè)的可微函數(shù)，證明（1）（2）3、證明4、如果，是厄密算符（1）證明是厄密算符；（2）求出是厄密算符的條件。5、證明：6、如果與它們的對(duì)易子都對(duì)易，證明（提示，考慮證明然后積分）7、設(shè)是一小量，算符存在，求證8、如是能量的本征函數(shù)（），證明從而證明：9、一維諧振子處在基態(tài)求： （1）勢(shì)能的平均值 （2）動(dòng)能的平均值（3）動(dòng)量的幾率分布函數(shù)其中10、若(1) (2) (3) 11、設(shè)粒子處于狀態(tài)，利用上題結(jié)果求12、利用力學(xué)量的平均值隨時(shí)間的變化，求證一維自由運(yùn)動(dòng)的隨時(shí)間的變化為：（注：自由粒子與時(shí)間無(wú)關(guān)）。第五章 變量可分離型的波動(dòng)方程1、求三維各向異性的諧振子的波函數(shù)和能級(jí)。2、對(duì)于球方位勢(shì)試給出有的束縛態(tài)條件。3、設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量，角動(dòng)量平方和角動(dòng)量分量的可能值，以及這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均量。4、證明5、設(shè)氫原子處于基態(tài)，求電子處于經(jīng)典力學(xué)不允許區(qū)域的幾率。6、設(shè)，求粒子的能量本征值。7、設(shè)粒子在半徑為，高為的園筒中運(yùn)動(dòng)，在筒內(nèi)位能為0，筒壁和筒外位能為無(wú)窮大，求粒子的能量本征值和本征函數(shù)。8、堿金屬原子和類堿金屬原子的最外層電子在原子實(shí)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，原子實(shí)電場(chǎng)近似地可用下面的電勢(shì)表示：其中，表示原子實(shí)的電荷，證明，電子在原子實(shí)電場(chǎng)中的能量為而為的函數(shù)，討論何時(shí)較小，求出小時(shí)，公式，并討論能級(jí)的簡(jiǎn)并度。9、粒子作一維運(yùn)動(dòng)，其哈密頓量的能級(jí)為，試用定理，求的能級(jí)。10、設(shè)有兩個(gè)一維勢(shì)阱若粒子在兩勢(shì)阱中都存在束縛能級(jí)，分別為（1）證明（提示：令（2）若粒子的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，試估計(jì)其束縛能總數(shù)的上、下限11、證明在規(guī)范變換下不變。12、計(jì)算氫原子中的三條塞曼線的波長(zhǎng)。13帶電粒子在外磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，如選或試求其本征函數(shù)和本征值，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論。14、設(shè)帶電粒子在相互垂直的均勻電場(chǎng)E及均勻磁場(chǎng)B中運(yùn)動(dòng)，求其能譜和波函數(shù)（取磁場(chǎng)方向?yàn)閆軸方向，電場(chǎng)方向?yàn)閄軸方向）。第六章 量子力學(xué)的矩陣形式及表象理論1、列出下列波函數(shù)在動(dòng)量表象中的表示（1）一維諧振子基態(tài)：（2）氫原子基態(tài)：2、求一維無(wú)限深位阱（0a）中粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量在能量表象中的矩陣元。3、求在動(dòng)量表象中角動(dòng)量的矩陣表示。4、在（）表象中，求的空間中的的可能值及相應(yīng)幾率。5、設(shè)，試用純矩陣的方法，證明下列求和規(guī)則（提示：求然后求矩陣元）6、若矩陣A，B，C滿足（1）證明：；（2）在A表象中，求B和C矩陣表示。7、設(shè)分別寫出表象和表象中及的矩陣表示。8、在正交基矢和展開(kāi)的態(tài)空間中，某力學(xué)量求在態(tài)中測(cè)量A的可能值，幾率和平均值。第七章自 旋1、設(shè)為常數(shù)，證明。2、若證明3、在表象中，求的本征態(tài)，是方向的單位矢。4、證明恒等式：其中都與對(duì)易。5、已知原子的電子填布為，試給出（1）簡(jiǎn)并度；（2）給出耦合的組態(tài)形式；（3）給出耦合的組態(tài)形式；6、電子的磁矩算符，電子處于的本征態(tài)中，求磁矩。7、對(duì)于自旋為的體系，求的本征值和本征態(tài)，在具有較小的本征值所相應(yīng)的態(tài)中，測(cè)量的幾率是多大？8、自旋為的體系，在時(shí)處于本征值為的的本征態(tài)，將其置于的磁場(chǎng)中，求時(shí)刻，測(cè)量取的幾率。9、某個(gè)自旋為的體系，磁矩時(shí)，處于均勻磁場(chǎng)中，指向方向，時(shí)，再加上一個(gè)旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，其方向和軸垂直。其中已知時(shí)，體系處于的本征態(tài)，求時(shí)，體系的自旋波函數(shù)，以及自旋反向所需要的時(shí)間。10、有三個(gè)全同粒子，可以處于三個(gè)單粒子態(tài)上，當(dāng)三種情形下的對(duì)稱或反對(duì)稱波函數(shù)如何寫？11、兩個(gè)全同費(fèi)米子體系處于一個(gè)二維方勢(shì)阱中，假設(shè)兩粒子間無(wú)相互作用，求體系最低兩上能級(jí)的能量和波函數(shù)。12、設(shè)有兩個(gè)全同粒子，處于一維諧振子勢(shì)中，彼此間還有與相互距離成正比的作用力，即位能為求體系的能量本征值及本征函數(shù)，按波函數(shù)的交換對(duì)稱性分別討論之。 第八章 量子力學(xué)中的近似方法一、定態(tài)微擾論1、設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)只有兩個(gè)能級(jí)：及現(xiàn)在受到微擾的作用，微擾矩陣元為都是實(shí)數(shù)，用微擾公式求能量至二級(jí)修正值。2、一個(gè)一維線性諧振子受一恒力作用，設(shè)力的方向沿方向： （1）用微擾法求能量至二級(jí)修正； （2）求能量的精確值，并與（1）所得結(jié)果比較。3、設(shè)在表象中，矩陣表示為試用微擾論求能量的二級(jí)修正。4、設(shè)自由粒子在長(zhǎng)度為的一維區(qū)域中運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)滿足周期性邊條件波函數(shù)的形式可取為設(shè)粒子還受到一個(gè)“陷阱”的作用試用簡(jiǎn)并微擾論計(jì)算能量一級(jí)修正。5、一體系在無(wú)微擾時(shí)有兩條能級(jí)，其中一條是二重簡(jiǎn)并的，在表象中在計(jì)及微擾后，哈密頓量為（1）用微擾論求本征值，準(zhǔn)到二級(jí)近似；（2）把嚴(yán)格對(duì)角化，求的精確本征值，然后進(jìn)行比較。二 變分法1、試用變分法求一維諧振子的基態(tài)波函數(shù)和能量（試探波函數(shù)取，為特定參數(shù)）。2、設(shè)氫原子的基態(tài)試探波函數(shù)取為為歸一化常數(shù)，為變分參數(shù)，求基態(tài)能量，并與精確解比較。3、粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)（當(dāng)，試證明：至少存在一個(gè)束縛態(tài)取試探波函數(shù)。三、量子躍遷1、 氫原子處于基態(tài)，受到脈沖電場(chǎng)作用是常數(shù)試用微擾論計(jì)算電子躍遷到各激發(fā)態(tài)的幾率以及仍停留在基態(tài)的幾率。2、具有電荷的離子，在其平衡位置附近作一維簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。在光的照射下發(fā)生躍遷，入射光能量密度分布為，波長(zhǎng)較長(zhǎng)，求（1）躍遷選擇定則；（2）設(shè)離原來(lái)處于基態(tài)，求躍遷到第一激發(fā)態(tài)的幾率。3、設(shè)把處于基態(tài)的氫原子放在平板電容器中，取平板法線方向?yàn)閆軸方向，電場(chǎng)沿Z軸方向可視為均勻，設(shè)電容器突然充電，然后放電，電勢(shì)隨時(shí)間變化為 （為常數(shù)）求充分長(zhǎng)的時(shí)間之后，氫原子躍遷到態(tài)及態(tài)的幾率。4、有一自旋，磁矩，電荷為零的粒子，置于磁場(chǎng)中，開(kāi)始時(shí)，粒子處于的本征態(tài)，即時(shí)，再加上沿方向較弱的磁場(chǎng)從而，求時(shí)，粒子的自旋態(tài)，以及測(cè)得自旋“向上”的幾率。四、散射問(wèn)題1、用玻恩近似法，求在下列勢(shì)中的散射微分截面 （1） （2）2、用分波法公式，證明光學(xué)定量 3、設(shè)勢(shì)場(chǎng)用分波法求分波的相移。4、質(zhì)量為的粒子束，被球殼勢(shì)場(chǎng)散射。 在高能近似下，用玻恩近似法計(jì)算散射振幅和微分截面。5、求各分波相移，并和剛球散射的結(jié)果比較。6、求中子一中子低能波散射截面，設(shè)兩中子間的作用為其中是兩中子的自旋算符，入射中