高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的演繹推理.pdf

2 0 0 6 年第 5 期 數(shù) 學(xué) 通 訊 9 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的演繹推理 中圖分類號 G 6 3 3 6 田 野 中圍科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 安徽合肥 文獻標(biāo)識碼 A 文章編號 0 4 8 8 7 3 9 5 2 0 0 6 0 5 一 o 0 9 0 3 在 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 實驗 選修 1 2 選修2 2 推理與證明中 要求 結(jié)合已 學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例 體會演繹 推理的重要性 掌握演繹推理的基本方法 并 能運用它們進行一些簡單推理 通過具體實 例 了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和 差異 本文依據(jù) 標(biāo)準(zhǔn) 的內(nèi)容和要求 說明 與建議 對 演繹推理 這一節(jié)的內(nèi)容安排做 一 些探討 1 演繹推理的引入 演繹推理 d u d e a t i o n i n f e r e n c e 與歸納推 理的過程相反 它是從一般到特殊的推理 演繹推理的主要形式就是 由大前提 小 前提推出結(jié)論的三段論式推理 例 l 大前提 馬有四條腿 小前提 白馬是馬 結(jié)論 白馬有四條腿 這是三段論式推理常用的一種格式 可 以用以下公式來表示 M P M 是 P S M S是 M S P S是P 三段論的公式中包含三個判斷 第一個判斷稱為大前提 它提供了一個 一 般的事實或道理 第二個判斷稱為小前提 它指出了一個 收稿 日期 2 0 0 6 l 2 一l 3 特殊情況 這兩個判斷聯(lián)合起來揭示了一般事實或 道理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系 從而產(chǎn)生了第 三個判斷 結(jié)論 三段論推理的根據(jù) 用集合的觀點來講 就是 若集合 M 的所有元素都具有性質(zhì)P s是M 的子集 那么 S中所有元素都具有 性質(zhì)P 演繹推理是一種必然性推理 演繹推理 的前提與結(jié)論之間有蘊涵關(guān)系 因而 只要大 前提 小前提都是真實的 推理的形式是正確 的 那么結(jié)論必是真實的 但錯誤的前提可能 導(dǎo)致錯誤的結(jié)論 2 演繹推理的應(yīng)用 數(shù)學(xué)理論都是用演繹推理組織起來的 每一個數(shù)學(xué)理論都是一個演繹體系 最典型 的例子就是歐幾里德幾何 它是建立在五組 公理之上的演繹體系 例 2 用三段論證明 直角三角形兩銳 角之和為 9 0 證 因為任意三角形三 內(nèi)角之和為 1 8 0 大前提 而直角三角形是三角形 小前提 所以直角三角形三 內(nèi)角之和為 1 8 0 結(jié)論 設(shè)直角三角形兩銳角為 口和口 則上面 維普資訊 1 0 數(shù) 學(xué) 通 訊 2 0 0 6 年第 5 期 結(jié)論可表示為 a 口 9 0 1 8 0 因為等量減等量差相等 大前提 而 口 J9 9 0 一9 0 1 8 0 一9 0 是等 量減等量 小前提 所以 a J9 9 0 成立 結(jié)論 這里用了兩次三段論來進行推理 在數(shù) 學(xué)中有時要用很多次的三段論來證明一個命 題 數(shù)學(xué)命題的證明過程就是一連串三段論 的有序組合 只是為了簡潔 往往略去大前提 或小前提 甚至有的大前提 小前提全省略 如 完整式 一 切直角都相等 大前提 這兩個角是直角 小前提 所以 這兩個角相等 結(jié)論 省略式 因為這兩個角是直角 小前提 所以這兩個角相等 結(jié)論 或省略式 兩個直角相等 結(jié)論 例 3 用三段論證 明 c c 十C G 2 證二項展開式 a b c 口 C t a 一 b c 口 一 2 b G I6 大前提 取 口 b 1 有 小前提 2 1 1 口 c 1 l C 1 2 l 1 結(jié)論 C c J c G 3 可供選擇的練習(xí) 把下列各個推理還原成三段論 1 因 為 A B C 和 A C B 是 等 腰 A B C的兩底角 所以 A B C AC B 2 A B C三點可以確定一個圓 因為 它們不在同一直線上 用三段論證明 3 矩形的兩條對角線互相平分 4 如果兩條直線都和第三條直線垂直 那么 這兩條直線平行 5 在梯形 A B C D 中 A D B C A B DC 求證 B C 6 圓內(nèi)兩條非直徑的弦相交 試證它們 不能互相平分 7 C 一1 0 c 1 一z c z 1 一 一 C 2 x 1 z 一 G 1 8 若 a是不等于 1 的實數(shù) 則函數(shù) Y 的圖像關(guān)于直線 z對稱 4 合情推理與演繹推理的關(guān)系 古希臘亞歷山大城有一位久負(fù)盛名的學(xué) 者 海倫 有一天 一位遠(yuǎn)道而來的將軍向 他請教一個問題 從 A地出發(fā)到河邊 飲完馬再到B地去 在河 邊哪個地方飲馬可使路 途最短 如圖 1 所示 M P N 圖 1 牧 馬示意圖 海倫巧妙地類 比光 的反射原理給出了下面的解法 要解決的問題是 如何在 MN上選出一 個點P 使 A P十B P最短 用合情推理 的方法 設(shè)想答案 從 A 到直線 上一點尸 再從 P到 B 恰似光線的反射 因為 光走最短路線 由此猜 想 最短路線應(yīng)該像光 的反射線 圉 2 牧馬示意網(wǎng) 維普資訊 2 0 0 6 年第 5 期 數(shù) 學(xué) 通 訊 擺線 圓的漸伸線 星形線的作法 武景賢 洛陽師范學(xué)院 河南4 7 1 0 1 2 中圖分類號 G 6 3 3 6 7 文獻標(biāo)識碼 A 文章編號 0 4 8 8 7 3 9 5 2 0 0 6 0 5 0 0 1 1 0 3 擺線 圓的漸伸線 星形線是高等數(shù)學(xué)教 學(xué)中經(jīng)常遇到的重要曲線 下面給出用幾何 畫板 4 O 5 版 作這些曲線的方法 1 擺線的作法 方法 1 用擺線的定義作圖 設(shè)計要點 利用圓在直線上滾動的距離 等于圓心移動的距離 用平移變換得到軌跡 點 作法 1 作線段 AB 點 C 以 c為圓 心 A B為半徑作圓C 2 過點 C作鉛直線J 取 與圓的下交 點F 過 F作直線J的垂線 3 在圓 C 上任取一點 G 構(gòu)造弧 G F 不同予弧 F G 以下同 度量弧 G F的長 度 并將這個長度值記為標(biāo)記距離 4 選中圓 C 圓心 C及點G 平移 極 坐標(biāo) 按標(biāo)記 0度角 得到點 G的平移點 G 用合情推理構(gòu)思證明 如果把 MN看成 鏡子 把 B點看作一只眼睛 從鏡子里看 A 點的像點A A 點應(yīng)該在鏡子的背后 并且 點 A 在B P的延長線上 由此先作點 A關(guān)于 MN 的對稱點 A 連接 B A 交 MN于P P點即為所求 用演繹法證睨如下 在 MN上任取一點P 異于點 P 如圖 2所示 則 A P P A P P A 從而 AP P B A P 十 P B A B A P 十P B AP 船 由此可知 A到B經(jīng)P點距離最短 在探索自然規(guī)律時 首先要確定一個 目 標(biāo) 或者提出一個要解決的問題 然后通過 日 常的實踐 分析和合情推理 總結(jié)出一個預(yù)期 的解決方案或猜想 最后還需對此猜想做出 嚴(yán)格的證明 證明的過程中則需要按演繹推 理的規(guī)則進行 證明完前 步 下一步又該如 何演繹 仍需依靠合情推理提供思路 直至完 成全部證明 G 波利亞曾指出 數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程是 與其他知識的創(chuàng)造一樣的 在證明一個定理 之前 你先得猜想這個定理的內(nèi)容 在你完全 作出詳細(xì)的證明之前 你先得猜想證明的思 路 你要先把觀察到的結(jié)果加以綜合 然后加 以類比 你得一次又一次的嘗試 數(shù)學(xué)家的創(chuàng) 造性成果是論證推理 演繹推理 即證明