高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章《函數(shù)與方程》名師首選學(xué)案 新人教A版.doc

學(xué)案11函數(shù)與方程導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，會(huì)判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似值自主梳理1函數(shù)零點(diǎn)的定義(1)對于函數(shù)yf(x) (xd)，把使yf(x)的值為_的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x) (xd)的零點(diǎn)(2)方程f(x)0有實(shí)根函數(shù)yf(x)的圖象與_有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有_2函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是一條不間斷的曲線，且_，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間_上有零點(diǎn)3二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系000)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)4.二分法對于區(qū)間a，b上連續(xù)不斷的，且f(a)f(b)0，且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_探究點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)的判斷例1判斷函數(shù)yln x2x6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)變式遷移1(1)設(shè)f(x)x3bxc(b0)，且f()f()0，則方程f(x)0在1,1內(nèi)根的個(gè)數(shù)為_(2)若定義在r上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)x，則函數(shù)yf(x)log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_探究點(diǎn)二用二分法求方程的近似解例2用二分法求函數(shù)f(x)x3x1在區(qū)間1,1.5內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值(精確到0.1)變式遷移2用二分法求函數(shù)f(x)3xx4的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下：f(1.600 0)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.556 2)0.029f(1.550 0)0.060據(jù)此數(shù)據(jù)，可得f(x)3xx4的一個(gè)零點(diǎn)的近似值(精確到0.01)為_探究點(diǎn)三利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)例3已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)2ax22x3a，如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn)，求a的取值范圍變式遷移3若函數(shù)f(x)4xa2xa1在(，)上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍1全面認(rèn)識深刻理解函數(shù)零點(diǎn)：(1)從“數(shù)”的角度看：即是使f(x)0的實(shí)數(shù)x；(2)從“形”的角度看：即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)若函數(shù)f(x)的圖象在xx0處與x軸相切，則零點(diǎn)x0通常稱為不變號零點(diǎn)；(4)若函數(shù)f(x)的圖象在xx0處與x軸相交，則零點(diǎn)x0通常稱為變號零點(diǎn)2求函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)的方法：(1)(代數(shù)法)求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；(2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)；(3)(二分法)主要用于求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，二分法的條件f(a)f(b)0，且a1)的圖象關(guān)于直線yb對稱(b為常數(shù))，則ab_.7已知函數(shù)f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是_8若函數(shù)f(x)的零點(diǎn)與g(x)4x2x2的零點(diǎn)之差的絕對值不超過0.25，則f(x)可以是下列四個(gè)函數(shù)中的_(填上正確的序號)f(x)4x1；f(x)(x1)2；f(x)ex1；f(x)ln(x0.5)二、解答題(共42分)9(12分)已知函數(shù)f(x)x3x2.證明：存在x0(0，)，使f(x0)x0.10(14分)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)x2(3a2)xa1在區(qū)間1,3上與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)若存在，求出a的范圍；若不存在，說明理由11(16分)設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc，且f(1)，3a2c2b，求證：(1)a0且3；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；(3)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則|x1x2|.答案 自主梳理1(1)0(2)x軸零點(diǎn)2.f(a)f(b)或a1課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最常用的方法是令f(x)0，轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)，解出方程有幾個(gè)根，函數(shù)yf(x)就有幾個(gè)零點(diǎn)，如果方程的根解不出，還有兩種方法判斷：方法一是基本方法，是利用零點(diǎn)的存在性原理，要注意參考單調(diào)性可判定零點(diǎn)的唯一性；方法二是數(shù)形結(jié)合法，要注意作圖技巧解方法一設(shè)f(x)ln x2x6，yln x和y2x6均為增函數(shù)，f(x)也是增函數(shù)又f(1)02640，f(x)在(1,3)上存在零點(diǎn)又f(x)為增函數(shù)，函數(shù)在(1,3)上存在唯一零點(diǎn)故函數(shù)yln x2x6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.方法二在同一坐標(biāo)系畫出yln x與y62x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)yln x2x6只有一個(gè)零點(diǎn)變式遷移1(1)1(2)4解析(1)f(x)3x2b0，f(x)在1,1上為增函數(shù)，又f()f()0，f(x)在1,1內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，方程f(x)0有唯一根(2)由題意知f(x)是偶函數(shù)并且周期為2.由f(x)log3|x|0，得f(x)log3|x|，令yf(x)，ylog3|x|，這兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，畫兩函數(shù)y軸下邊的圖象如圖，兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，因此零點(diǎn)個(gè)數(shù)在x0，xr的范圍內(nèi)共4個(gè)例2解題導(dǎo)引用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，最好是利用表格，將計(jì)算過程所得的各個(gè)區(qū)間、中點(diǎn)坐標(biāo)、區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值等置于表格中，可清楚地表示出逐步縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的過程，有時(shí)也可利用數(shù)軸來表示這一過程解f(1)11110，f(x)在區(qū)間1,1.5存在零點(diǎn)取區(qū)間1,1.5作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算列表如下：端(中)點(diǎn)坐標(biāo)中點(diǎn)函數(shù)值符號零點(diǎn)所在區(qū)間1,1.51.25f(1.25)01.25,1.3751.312 5f(1.312 5)01.312 5,1.343 75由上表可知，區(qū)間1.312 5,1.343 75的左右端點(diǎn)精確到0.1所取近似值都是1.3，因此1.3就是所求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)近似值變式遷移21.56解析f(1.562 5)f(1.556 2)0，且區(qū)間1.556 2,1.562 5左右端點(diǎn)精確到0.01所取近似值都是1.56，因此1.56即為符合要求的零點(diǎn)例3解題導(dǎo)引函數(shù)與方程雖然是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，然后通過方程進(jìn)行研究函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點(diǎn)解若a0，f(x)2x3，顯然在1，1上沒有零點(diǎn)，所以a0.令48a(3a)8a224a40，解得a.當(dāng)a時(shí)，f(x)0的重根x1,1，當(dāng)a時(shí)，f(x)0的重根x1,1，yf(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)在1,1上；當(dāng)f(1)f(1)(a1)(a5)0，即1a5時(shí)，yf(x)在1,1上也恰有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)yf(x)在1,1上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則，或，解得a5或a1或a.變式遷移3解方法一(換元)設(shè)2xt，則函數(shù)f(x)4xa2xa1化為g(t)t2ata1 (t(0，)函數(shù)f(x)4xa2xa1在(，)上存在零點(diǎn)，等價(jià)于方程t2ata10，有正實(shí)數(shù)根(1)當(dāng)方程有兩個(gè)正實(shí)根時(shí)，a應(yīng)滿足，解得：1a22；(2)當(dāng)方程有一正根一負(fù)根時(shí)，只需t1t2a10，即a1；(3)當(dāng)方程有一根為0時(shí)，a1，此時(shí)方程的另一根為1.綜上可知a22.方法二令g(t)t2ata1 (t(0，)(1)當(dāng)函數(shù)g(t)在(0，)上存在兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足，解得1a22；(2)當(dāng)函數(shù)g(t)在(0，)上存在一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)在(，0)時(shí)，實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足g(0)a10，解得a1；(3)當(dāng)函數(shù)g(t)的一個(gè)零點(diǎn)是0時(shí)，g(0)a10，a1，此時(shí)可以求得函數(shù)g(t)的另一個(gè)零點(diǎn)是1.綜上(1)(2)(3)知a22.方法三f(x)存在零點(diǎn)方程a有實(shí)根因?yàn)?2x1)222.當(dāng)且僅當(dāng)2x1，即xlog2(1)時(shí)，上式取“”所以a22.課后練習(xí)區(qū)11解析因?yàn)閒(1)30，所以f(x)在區(qū)間(1,0)上存在零點(diǎn)又f(x)在r上單調(diào)遞增所以f(x)只有1個(gè)零點(diǎn)21或1解析求g(x)f(x)x的零點(diǎn)，即求f(x)x的根，或.解得x1或x1.32解析令f(x)ln x62x，則f(1)ln 16240，f(2)ln 264ln 220，2x00，f(0)f(1)1；若0，即a，函數(shù)的零點(diǎn)是x2，不合題意，所以a(1，)5(0,1)解析在坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖)，發(fā)現(xiàn)0m1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與直線ym有3個(gè)交點(diǎn)，即g(x)f(x)m有3個(gè)零點(diǎn)62解析依題意有f(x)g(x)loga(2ax)(a2x)2b，所以有即有所以ab2.7x1x2x3解析令x2x0，即2xx，設(shè)y2x，yx；令xln x0，即ln xx，設(shè)yln x，yx.在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y2x，yln x，yx，如圖：x10x21，所以x1x2x3.8解析f(x)4x1的零點(diǎn)為x0.25，f(x)(x1)2的零點(diǎn)為x1，f(x)ex1的零點(diǎn)為x0，f(x)ln(x0.5)的零點(diǎn)為x1.5，現(xiàn)在我們來估算g(x)4x2x2的零點(diǎn)，因?yàn)間(0)1，g(0.25)0.086，(g(0.5)1，所以g(x)的零點(diǎn)x(0,0.5)，又函數(shù)f(x)的零點(diǎn)與g(x)4x2x2的零點(diǎn)之差的絕對值不超過0.25，只有f(x)4x1的零點(diǎn)適合9證明令g(x)f(x)x.(2分)g(0)，g()f()，g(0)g()0，若存在實(shí)數(shù)a滿足條件，則只需f(1)f(3)0即可(3分)f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0.所以a或a1.(5分)檢驗(yàn)：當(dāng)f(1)0時(shí)，a1.所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0.得x0或x1.方程在1,3上有兩根，不合題意，故a1.(8分)當(dāng)f(3)0時(shí)，a，此時(shí)f(x)x2x，令f(x)0，即x2x0，解之得x或x3.方程在1,3上有兩根，不合題意，故a.(12分)綜上所述，a1.(14