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例如:例一,袋中有8個(gè)球,從中任取3個(gè)球,求取法有多少種?【答疑編號(hào):10000103針對(duì)該題提問】解:任取出三個(gè)球與所取3個(gè)球順序無(wú)關(guān),故方法數(shù)為組合數(shù)(種)例二,袋中五件不同正品,三件不同次品()從中任取3件,求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少種?【答疑編號(hào):10000104針對(duì)該題提問】解:第一步在5件正品中取2件,取法有(種)第二步在3件次品中取1件,取法有(種)由乘法原則,取法共有103=30(種)第一章 隨機(jī)事件與隨機(jī)事件的概率1.1隨機(jī)事件引例一,擲兩次硬幣,其可能結(jié)果有:上上;上下;下上;下下則出現(xiàn)兩次面向相同的事件A與兩次面向不同的事件B都是可能出現(xiàn),也可能不出現(xiàn)的。引例二,擲一次骰子,其可能結(jié)果的點(diǎn)數(shù)有:1,2,3,4,5,6則出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的事件A,點(diǎn)數(shù)4的事件B都是可能出現(xiàn),也可能不出現(xiàn)的事件。從引例一與引例二可見,有些事件在一次試驗(yàn)中,有可能出現(xiàn),也可能不出現(xiàn),即它沒有確定性結(jié)果,這樣的事件,我們叫隨機(jī)事件。(一)隨機(jī)事件:在一次試驗(yàn)中,有可能出現(xiàn),也可能不出現(xiàn)的事件,叫隨機(jī)事件,習(xí)慣用A、B、C表示隨機(jī)事件。由于本課程只討論隨機(jī)事件,因此今后我們將隨機(jī)事件簡(jiǎn)稱事件。雖然我們不研究在一次試驗(yàn)中,一定會(huì)出現(xiàn)的事件或者一定不出現(xiàn)的事件,但是有時(shí)在演示過程中要利用它,所以我們也介紹這兩種事件。必然事件:在一次試驗(yàn)中,一定出現(xiàn)的事件,叫必然事件,習(xí)慣用表示必然事件。例如,擲一次骰子,點(diǎn)數(shù)6的事件一定出現(xiàn),它是必然事件。不可能事件:在一次試驗(yàn)中,一定不出現(xiàn)的事件叫不可能事件,而習(xí)慣用表示不可能事件。例如,擲一次骰子,點(diǎn)數(shù)6的事件一定不出現(xiàn),它是不可能事件。(二)基本(隨機(jī))事件隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果,叫基本隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱基本事件,也叫樣本點(diǎn),習(xí)慣用表示基本事件。例如,擲一次骰子,點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6分別是基本事件,或叫樣本點(diǎn)。全部基本事件叫基本事件組或叫樣本空間,記作,當(dāng)然是必然事件。(三)隨機(jī)事件的關(guān)系(1)事件的包含:若事件A發(fā)生則必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,就說(shuō)事件B包含事件A,記作。例如,擲一次骰子,A表示擲出的點(diǎn)數(shù)2,B表示擲出的點(diǎn)數(shù)3。A=1,2,B=1,2,3。所以A發(fā)生則必然導(dǎo)致B發(fā)生。顯然有(2)事件的相等:若,且就記A=B,即A與B相等,事件A等于事件B,表示A與B實(shí)際上是同一事件。(四)事件的運(yùn)算 (1)和事件:事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件叫事件A與事件B的和事件,記作:或A+B例如,擲一次骰子,A=1,3,5;B=1,2,3則和事件A+B=1,2,3,5顯然有性質(zhì)若,則有A+B=BA+A=A(2)積事件:事件A與事件B都發(fā)生的事件叫事件A與事件B的積事件,記作:AB或AB 例如,擲一次骰子,A=1,3,5;B=1,2,3,則AB=1,3顯然有性質(zhì):若,則有AB=AAA=A(3)差事件:事件A發(fā)生而且事件B不發(fā)生的事件叫事件A與事件B的差事件,記作(A-B)例如,擲一次骰子,A=1,3,5;B=1,2,3,則A-B=5顯然有性質(zhì):若,則有A-B=A-B=A-AB(4)互不相容事件:若事件A與事件B不能都發(fā)生,就說(shuō)事件A與事件B互不相容(或互斥)即AB=例如,擲一次骰子,A=1,3,5;B=2,4AB= (5)對(duì)立事件:事件A不發(fā)生的事件叫事件A的對(duì)立事件。記作例如,擲一次骰子,A=1,3,5,則顯然,對(duì)立事件有性質(zhì):注意:A與B對(duì)立,則A與B互不相容,反之不一定成立。例如在考試中A表示考試成績(jī)?yōu)閮?yōu),B表示考試不及格。A與B互不相容,但不對(duì)立。下面圖1.1至圖1.6用圖形直觀的表示事件的關(guān)系和運(yùn)算,其中正方形表示必然事件或樣本空間。圖1.1表示事件事件A圖1.2陰影部分表示A+B圖1.3陰影部分表示AB圖1.4陰影部分表示A-B圖1.5表示A與B互不相容圖1.6陰影部分表示事件的運(yùn)算有下面的規(guī)律: (1)A+B=B+A,AB=BA叫交換律(2)(A+B)+C=A+(B+C)叫結(jié)合律 (AB)C=A(BC)(3)A(B+C)=AB+AC(A+B)(A+C)=A+BC叫分配律(4)叫對(duì)偶律例1,A,B,C表示三事件,用A,B,C的運(yùn)算表示以下事件。(1)A,B,C三事件中,僅事件A發(fā)生【答疑編號(hào):10010101針對(duì)該題提問】(2)A,B,C三事件都發(fā)生【答疑編號(hào):10010102針對(duì)該題提問】(3)A,B,C三事件都不發(fā)生【答疑編號(hào):10010103針對(duì)該題提問】(4)A,B,C三事件不全發(fā)生【答疑編號(hào):10010104針對(duì)該題提問】(5)A,B,C三事件只有一個(gè)發(fā)生【答疑編號(hào):10010105針對(duì)該題提問】(6)A,B,C三事件中至少有一個(gè)發(fā)生【答疑編號(hào):10010106針對(duì)該題提問】解:(1)(2)ABC(3)(4)(5)(6)A+B+C例2.某射手射擊目標(biāo)三次:A1表示第1次射中,A2表示第2次射中,A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次,B1表示三次中射中1次,B2表示三次中射中2次,B3表示三次中射中3次,請(qǐng)用A1、A2、A3的運(yùn)算來(lái)表示B0、B1、B2、B3【答疑編號(hào):10010107針對(duì)該題提問】解:(1)(2)(3)(4)例3 ,A,B,C表示三事件,用A,B,C的運(yùn)算表示下列事件。(1)A,B都發(fā)生且C不發(fā)生【答疑編號(hào):10010108針對(duì)該題提問】(2)A與B至少有一個(gè)發(fā)生而且C不發(fā)生【答疑編號(hào):10010109針對(duì)該題提問】(3)A,B,C都發(fā)生或A,B,C都不發(fā)生【答疑編號(hào):10010110針對(duì)該題提問】(4)A,B,C中最多有一個(gè)發(fā)生【答疑編號(hào):10010111針對(duì)該題提問】(5)A,B,C中恰有兩個(gè)發(fā)生【答疑編號(hào):10010112針對(duì)該題提問】(6)A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生【答疑編號(hào):10010113針對(duì)該題提問】(7)A,B,C中最多有兩個(gè)發(fā)生【答疑編號(hào):10010114針對(duì)該題提問】解:(1)(2)(3)(4)(5)(6)簡(jiǎn)記AB+AC+BC(7)簡(jiǎn)記例4,若=1,2,3,4,5,6;A=1,3,5;B=1,2,3求(1)A+B;【答疑編號(hào):10010115針對(duì)該題提問】(2)AB;【答疑編號(hào):10010116針對(duì)該題提問】(3) ;【答疑編號(hào):10010117針對(duì)該題提問】(4);【答疑編號(hào):10010118針對(duì)該題提問】(5);【答疑編號(hào):10010119針對(duì)該題提問】(6);【答疑編號(hào):10010120針對(duì)該題提問】(7),【答疑編號(hào):10010121針對(duì)該題提問】(8) ?!敬鹨删幪?hào):10010122針對(duì)該題提問】解:(1)A+B=1,2,3,5;(2)AB=1,3;(3)=2,4,6;(4)=4,5,6;(5)=4,6;(6)=2,4,5,6;(7)=2,4,5,6;(8)=4,6由本例可驗(yàn)算對(duì)偶律,=,=正確例5,(1)化簡(jiǎn);【答疑編號(hào):10010123針對(duì)該題提問】(2)說(shuō)明AB與是否互斥【答疑編號(hào):10010124針對(duì)該題提問】解:(1)(2)例6.A,B,C為三事件,說(shuō)明下列表示式的意義。(1)ABC;【答疑編號(hào):10010125針對(duì)該題提問】(2);【答疑編號(hào):10010126針對(duì)該題提問】(3)AB;【答疑編號(hào):10010127針對(duì)該題提問】(4)【答疑編號(hào):10010128針對(duì)該題提問】解:(1)ABC表示事件A,B,C都發(fā)生的事件(2) 表示A,B都發(fā)生且C不發(fā)生的事件(3)AB表示事件A與B都發(fā)生的事件,對(duì)C沒有規(guī)定,說(shuō)明C可發(fā)生,也可不發(fā)生。AB表示至少A與B都發(fā)生的事件(4)所以也可以記AB表示,ABC與 中至少有一個(gè)發(fā)生的事件。例7.A,B,C為三事件,說(shuō)明(AB+BC+AC)與是否相同?!敬鹨删幪?hào):10010129針對(duì)該題提問】解:(1)表示至少A,B發(fā)生它表示A,B,C三事件中至少發(fā)生二個(gè)的事件。(2)表示A,B,C三事件中,僅僅事件A與事件B發(fā)生的事件表示A,B,C三事件中僅有二個(gè)事件發(fā)生的事件。因而它們不相同。1.2隨機(jī)事件的概率(一)頻率:(1)在相同條件下,進(jìn)行了n次試驗(yàn),在這n次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生了nA次,則事件A發(fā)生的次數(shù)nA叫事件A發(fā)生的頻數(shù)。(2)比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率,記作fn(A),即歷史上有不少人做過拋硬幣試驗(yàn),其結(jié)果見下表,用A表示出現(xiàn)正面的事件: 試驗(yàn)人nnAfn(A)摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016從上表可見,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n大量增加時(shí),事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)穩(wěn)定某一常數(shù),我們稱這一常數(shù)為頻率的穩(wěn)定值。例如從上表可見拋硬幣試驗(yàn),正面出現(xiàn)的事件A的頻率fn(A)的穩(wěn)定值大約是0.5。(二)概率:事件A出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值叫事件A發(fā)生的概率,記作P(A)實(shí)際上,用上述定義去求事件A發(fā)生的概率是很困難的,因?yàn)榍驛發(fā)生的頻率fn(A)的穩(wěn)定值要做大量試驗(yàn),它的優(yōu)點(diǎn)是經(jīng)過多次的試驗(yàn)后,給人們提供猜想事件A發(fā)生的概率的近似值。粗略地說(shuō),我們可以認(rèn)為事件A發(fā)生的概率P(A)就是事件A發(fā)生的可能性的大小,這種說(shuō)法不準(zhǔn)確,但人們?nèi)菀桌斫夂徒邮?,便于?yīng)用。下面我們不加證明地介紹事件A的概率P(A)有下列性質(zhì):(1)0P(A) 1(2)P()=1,P()=0(3)若A與B互斥,即AB=,則有P(A+B)=P(A)+P(B)若A1,A2,An互斥,則有(三)古典概型:若我們所進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)有下面兩個(gè)特點(diǎn):(1)試驗(yàn)只有有限個(gè)不同的結(jié)果;(2)每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等,則這種試驗(yàn)?zāi)P徒泄诺涓判?。例如,擲一次骰子,它的可能結(jié)果只有6個(gè),假設(shè)骰子是均勻的,則每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是1/6,所以相等,這種試驗(yàn)是古典概型。下面介紹古典概型事件的概率的計(jì)算公式:設(shè)是古典概型的樣本空間,其中樣本點(diǎn)總數(shù)為n,A為隨機(jī)事件,其中所含的樣本點(diǎn)數(shù)為r則有公式:例1,擲一次骰子,求點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)點(diǎn)的事件A的概率?!敬鹨删幪?hào):10010201針對(duì)該題提問】解:樣本空間為=1,2,3,4,5,6;A=1,3,5n=6,r=3 例2.擲三次硬幣,設(shè)A表示恰有一次出現(xiàn)正面,B表示三次都出現(xiàn)正面,C表示至少出現(xiàn)一次正面,求:(1)P(A);【答疑編號(hào):10010202針對(duì)該題提問】(2)P(B);【答疑編號(hào):10010203針對(duì)該題提問】(3)P(C)【答疑編號(hào):10010204針對(duì)該題提問】解:樣本空間=正正正,正正反,正反正,正反反,反正正,反正反,反反正,反反反;(1) (2)(3) 由于在古典概型中,事件A的概率P(A)的計(jì)算公式只需知道樣本空間中的樣本點(diǎn)的總數(shù)n和事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)r就足夠,而不必一一列舉樣本空間的樣本點(diǎn),因此,當(dāng)樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)比較多或難于一一列舉的時(shí)候,也可以用分析的方法求出n與r的數(shù)值即可。例3,從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 這10個(gè)數(shù)碼中,取出三個(gè)不同的數(shù)碼,求所取3個(gè)數(shù)碼不含0和5的事件A的概率。【答疑編號(hào):10010205針對(duì)該題提問】解:從10個(gè)不同數(shù)碼中,任取3個(gè)的結(jié)果與順序無(wú)關(guān),所以基本事件總數(shù) A事件中不能有0和5,所以只能從其余8個(gè)數(shù)碼中任取3個(gè),所以A中的基本事件 例4,從1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個(gè)數(shù)字中任取一個(gè),放回后再取一個(gè),求所取兩個(gè)數(shù)字不同的事件A的概率。【答疑編號(hào):10010206針對(duì)該題提問】解:(1)第一次取一個(gè)數(shù)字的方法有9種;第二次取一個(gè)數(shù)字的方法與第一次相同也是9種;由乘法原則,知兩次所取的數(shù)字方法有99=92(種)每一種取法是一個(gè)基本事件,所以n=92(2)所取兩個(gè)數(shù)字不同時(shí),相當(dāng)于從中任取兩個(gè)數(shù),其結(jié)果與順序有關(guān),所取取法有:也可按(1)的乘法原則求r,第一次的取法有9種,第二次的數(shù)字與第1次不同,所以只有8種,所以取法共有98(種)r=98例5,袋中有5個(gè)白球,3個(gè)紅球,從中任取2個(gè)球,求(1)所取2個(gè)球的顏色不同的事件A的概率;【答疑編號(hào):10010207針對(duì)該題提問】(2)所取2個(gè)球都是白球的事件B的概率;【答疑編號(hào):10010208針對(duì)該題提問】(3)所取2個(gè)球都是紅球的事件C的概率;【答疑編號(hào):10010209針對(duì)該題提問】(4)所取2個(gè)球是顏色相同的事件的概率?!敬鹨删幪?hào):10010210針對(duì)該題提問】解:袋中共的8個(gè)球,從中任取2個(gè)球結(jié)果與順序無(wú)關(guān),所以取法共有種,每一種取法的結(jié)果是一個(gè)基本事件,所以基本事件總數(shù)為(1)分兩步取。第一步,在5個(gè)白球中任取一個(gè),方法數(shù)為5;第二步在3個(gè)紅球中取一個(gè),方法數(shù)為3,根據(jù)乘法原則,共有53種方法,即有53種結(jié)果。(2)從5個(gè)白球中任取2個(gè),結(jié)果與順序無(wú)關(guān)取法共有(種)B包含的基本事件共有r2=10 (3)從3個(gè)紅球中任取2個(gè)的方法為(種)C包含的基本事件數(shù)r3=3 (4)所取2個(gè)球顏色相同的有兩類:第一類:2個(gè)球都是白球的方法有(種) 第二類:2個(gè)球都是紅球的方法有(種)根據(jù)加法原則,所取2個(gè)球是顏色相同的方法共有10+3=13種。2個(gè)球顏色相同的事件D包含r4=13種基本事件。例6,袋中有10件產(chǎn)品,其中有7件正品,3件次品,從中每次取一件,共取兩次,求:(1)不放回抽樣,第一次取后不放回,第二次再取一件,而且第一次取到正品,第二次取到次品的事件A的概率?!敬鹨删幪?hào):10010211針對(duì)該題提問】(2)放回抽樣,第一次取一件產(chǎn)品,放回后第二次再取一件,求第一次取到正品,第二次取到次品的事件B的概率【答疑編號(hào):10010212針對(duì)該題提問】解(1)第一次取一件產(chǎn)品的方法有10種不放回,第二次取一件產(chǎn)品的方法有9種由乘法原則知,取兩次的方法共有109種也可以用排列數(shù)計(jì)算,因?yàn)榻Y(jié)果與順序有關(guān),所以取法有(種)基本事件總數(shù)n=109第一次取到正品,第二次取到次品的方法有73種,所以事件A包含的基本事件有:(2)放回抽樣。由于有放回,所以第一次、第二次取一件產(chǎn)品的方法都是10種,由乘法原則知抽取方法共有1010=100種,所以基本事件總數(shù)n=1010=100第一次取正品方法有7種,第二次取次品的方法有3種,由乘法原則,事件B包含的基本事件共有 例7,將一套有1,2,3,4,5分冊(cè)的5本書隨機(jī)放在書架的一排上,求1,2分冊(cè)放在一起的事件A的概率?!敬鹨删幪?hào):10010301針對(duì)該題提問】解:(1)基本事件總數(shù)n=54321(種)或者為(2)A包含的基本事件有(種)例8,擲兩次骰子,求點(diǎn)數(shù)和為7的事件A的概率。【答疑編號(hào):10010302針對(duì)該題提問】解:(1)基本事件總數(shù)n=66=36(種)(2)A=;A包含的基本事件數(shù)r=6 例9,從1,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)碼中任取3個(gè),排成三位數(shù),求(1)所排成的三位數(shù)是偶數(shù)的事件A的概率。(2)所排成的三位數(shù)是奇數(shù)的事件B的概率。【答疑編號(hào):10010303針對(duì)該題提問】解:基本事件總數(shù)(個(gè))(1)所排成的三位數(shù)是偶數(shù)的取法需分兩步:第一步,取一個(gè)偶數(shù)放在個(gè)位碼位置,取法有3種;第二步,將其余6個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)排成一排,分別處于十位數(shù)和百位數(shù)碼位置,共有種方法。根據(jù)乘法原則,事件A包含的基本事件數(shù)(2)所排成的三位數(shù)的取法也需分兩步進(jìn)行;第一步,取一個(gè)奇數(shù)放在個(gè)位碼位置,有4種方法。第二步,將其余6個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)放在十位碼和百位碼,方法有種。根據(jù)乘法原則,事件B包含的基本事件數(shù)例10,袋中有9個(gè)球,分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,3,4,5,6,7,8,9從中任取3個(gè)球,求(1)所取3個(gè)球的最小號(hào)碼為4的事件A的概率;【答疑編號(hào):10010304針對(duì)該題提問】(2)所取3個(gè)球的最大號(hào)碼為4的事件B的概率;【答疑編號(hào):10010305針對(duì)該題提問】解:基本事件總數(shù)(個(gè))(1)最小號(hào)碼為4的取法分兩步進(jìn)行第一步,取出4號(hào)球,方法只有1種第二步,在5,6,7,8,9這5個(gè)球中任取2個(gè),方法數(shù)為A包含的基本事件(2)最大碼為4的取法為:第一步,取出4號(hào)球方法只有1種第二步,在1,2,3號(hào)球中任取2個(gè),方法數(shù)為B包含的基本事件例11,將兩封信投入4個(gè)信箱中,求兩封信在同一信箱的事件A的概率?!敬鹨删幪?hào):10010306針對(duì)該題提問】解:(1)先將第一封信投入信箱,有4種方法再將第二封信投入信箱,也有4種方法根據(jù)乘法原則共有44種方法基本事件總數(shù)n=44(2)將兩封信同時(shí)投入一個(gè)信箱,方法有4種A包含的基本事件數(shù)r=4例12,袋中有10個(gè)球,其中有6個(gè)白球,4個(gè)紅球,從中任取3個(gè),求:(1)所取的三個(gè)球都是白球的事件A的概率【答疑編號(hào):10010307針對(duì)該題提問】(2)所取三個(gè)球中恰有2個(gè)白球一個(gè)紅球的事件B的概率【答疑編號(hào):10010308針對(duì)該題提問】(3)所取3個(gè)球中最多有一個(gè)白球的事件C的概率【答疑編號(hào):10010309針對(duì)該題提問】(4)所取3個(gè)球顏色相同的事件D的概率【答疑編號(hào):10010310針對(duì)該題提問】解:基本事件總數(shù)(1)A包含的基本事件數(shù)(2)B包含的基本事件數(shù)(3)C的基本事件包含兩類:第一類,一個(gè)白球,二個(gè)紅球的取法有第二類,0個(gè)白球,三個(gè)紅球取法有種事件C包含的基本事件數(shù)(4)事件D包含的基本事件有兩類:第一類,三個(gè)球都是白球的取法有種第二類,三個(gè)球都是紅球的取法有種事件D包含的基本事件數(shù)(種)(四)概率的加法公式請(qǐng)先看下面引例:擲一次骰子,A=1,3,5,B=1,2,3請(qǐng)求:(1)P(A);【答疑編號(hào):10010311針對(duì)該題提問】(2)P(B);【答疑編號(hào):10010312針對(duì)該題提問】(3)P(A+B);【答疑編號(hào):10010313針對(duì)該題提問】(4)P(AB)【答疑編號(hào):10010314針對(duì)該題提問】解:(1) (2)(3) (4) 由本例看出,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),本例的結(jié)果具有普遍性,下面我們不加證明地介紹下面公式:特別情形: (1)如果A與B互斥,即AB=則P(AB)=0這時(shí)(2)因?yàn)锳與有性質(zhì)所以 當(dāng)上面等式中左邊的概率P(A)不易求得,而且A的對(duì)立事件的概率則較易計(jì)算時(shí),便可以通過容易計(jì)算的求難計(jì)算的概率P(A)。例1若P(A)=0.5,P(A+B)=0.8,P(AB)=0.3,求P(B)【答疑編號(hào):10010315針對(duì)該題提問】解:因?yàn)镻(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(B)=P(A+B)+P(AB)-P(A)=0.8+0.3-0.5=0.6例2,袋中有10件產(chǎn)品,其中有6件正品,4件次品,從只任取3件,求所取3件中有次品的事件A的概率?!敬鹨删幪?hào):10010316針對(duì)該題提問】解:A表示有次品,它包含有1件次品,有2件次品,有3件次品三類事件,計(jì)算比較復(fù)雜。而對(duì)立事件 則表示沒有次品,即都是正品的事件,比較簡(jiǎn)單。因?yàn)榛臼录倲?shù)事件 包含的基本事件加法公式可推廣如下:例3,P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(C)=0.4,P(AB)=0.2,P(AC)=0.24,P(BC)=0,求P(A+B+C)。【答疑編號(hào):10010317針對(duì)該題提問】解: (五)概率的減法公式 因?yàn)?,而,而BA與明顯不相容。特別地,若,則有AB=A所以當(dāng)例1 ,已知P(B)=0.8,P(AB)=0.5,求 【答疑編號(hào):10010318針對(duì)該題提問】解:例2,若A與B互不相容,P(A)=0.5,P(B)=0.3,求【答疑編號(hào):10010319針對(duì)該題提問】解:(1)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8根據(jù)對(duì)偶公式所以 1.3條件概率(一)條件概率和乘法公式 符號(hào)叫在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的概率,叫條件概率,需要指出的是條件概率仍是事件A的概率,但是它有條件,條件是以B已經(jīng)發(fā)生為前提,或者是以B已經(jīng)發(fā)生為條件。 例1,某廠有200名職工,男、女各占一半,男職工中有10人是優(yōu)秀職工,女職工中有20人是優(yōu)秀職工,從中任選一名職工。用A表示所選職工優(yōu)秀,B表示所選職工是男職工。求(1)P(A);【答疑編號(hào):10010401針對(duì)該題提問】(2)P(B);【答疑編號(hào):10010402針對(duì)該題提問】(3)P(AB);【答疑編號(hào):10010403針對(duì)該題提問】(4);【答疑編號(hào):10010404針對(duì)該題提問】解:(1)(2)(3)AB表示所選職工既是優(yōu)秀職工又是男職工 (4)表示已知所選職工是男職工。在已知所選職工是男職工的條件下,該職工是優(yōu)秀職工,這時(shí)n=100,r=10 由本例可以看出事件A與事件不是同一事件,所以它們的概率不同,即 由本例還可看出,事件AB與事件也不相同,事件AB表示所選職工既是男職工又是優(yōu)秀職工,這時(shí)基本事件總數(shù)n1=200,r=10。而事件 則表示已知所選職工是男職工,所以基本事件總數(shù)n2=100,r=10,所以雖然P(AB)與不相同,但它們有關(guān)系,由本例可以看出本例的結(jié)果具有普遍性。下面我們不加證明地給出下面的乘法公式:顯然有:若P(A)0則有將上面的結(jié)果改寫為整式有 公式叫概率的乘法公式。 例2,在10件產(chǎn)品中,有7件正品,3件次品,從中每次取出一件(不放回),A表示第一次取出正品,B表示第二次取出正品,求:(1)P(A);【答疑編號(hào):10010405針對(duì)該題提問】(2);【答疑編號(hào):10010406針對(duì)該題提問】(3)P(AB)【答疑編號(hào):10010407針對(duì)該題提問】解(1)(2)(3) = 例3,若P(AB)=0.3,P(B)=0.5,求【答疑編號(hào):10010408針對(duì)該題提問】解: 例4,若P(A)=0.8,P(B)=0.4,求?!敬鹨删幪?hào):10010409針對(duì)該題提問】解:(1)(2)例5,某人壽命為70歲的概率為0.8,壽命為80歲的概率為0.7,若該人現(xiàn)已70歲時(shí),問他能活到80歲的概率是多少?【答疑編號(hào):10010410針對(duì)該題提問】解:用A表示某人壽命為70歲,B表示某人壽命為80歲。已知P(A)=0.8,P(B)=0.7由于因?yàn)樗?,已?jīng)活到70歲的人能活到80歲的概率為0.875乘法公式可以推廣為:例6,袋中有三件正品,二件次品()從中每次取出1件(不放回)共取3次,求第3次才取到次品的事件B的概率?!敬鹨删幪?hào):10010411針對(duì)該題提問】解:用A1表示第一次取到正品A2表示第二次取到正品A3表示第三次取到正品則用古典概型計(jì)算P(A1),這時(shí)n1=5,r1=3再用古典概型計(jì)算,這時(shí)n2=4,r2=2再用古典概型計(jì)算,這時(shí)n3=3,r3=2(二)全概公式 定義:若事件組滿足條件(1)互不相容(2)在一次試驗(yàn)中,事件組中至少發(fā)生一個(gè),即 就說(shuō)事件組是樣本空間的一個(gè)劃分。例如事件組A與有所以事件組是樣本空間的一個(gè)劃分。例如某產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠分別生產(chǎn),A1表示該產(chǎn)品由甲廠生產(chǎn),A2表示該產(chǎn)品由乙廠生產(chǎn),A3表示該產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn),則事件組A1,A2,A3滿足:(1)(2)所以事件組A1,A2,A3是樣本空間的一個(gè)劃分。下面介紹全概公式 設(shè)是樣本空間的一個(gè)劃分,B是一個(gè)事件,則有:【答疑編號(hào):10010412針對(duì)該題提問】證: 又B=B互不相容也互不相容用乘法公式上式可改寫為特別地(1)若是的一個(gè)劃分,則有(2)是的一個(gè)劃分,所以全概公式的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)P(B)不易求而且條件概率容易計(jì)算時(shí),可用全概公式求P(B)例1,袋中有5個(gè)球,其中有3個(gè)紅球,2個(gè)白球,從中每次取出一個(gè)球(不放回)用A表示第一次取到紅球,B表示第二次取到紅球,求(1)P(A);【答疑編號(hào):10010413針對(duì)該題提問】(2)P(B)【答疑編號(hào):10010414針對(duì)該題提問】解:(1)用古典概型n=5,r=3(2)直接求P(B)很困難,因?yàn)锽發(fā)生的概率與事件A發(fā)生與之有關(guān),用古典概型容易求得:所以可用全概公式計(jì)算可見第一次,第二次取到紅球的概率相同。例2,已知男人中有5%是色盲,女人中有1%是色盲,若人群中男女各半。當(dāng)在人群中任取一人,問該人是色盲的概率是多少?【答疑編號(hào):10010415針對(duì)該題提問】解:用B表示該人是色盲者,A表示該人是男人.直接求P(B)比較困難,原因在于該人是色盲的概率與該人的性別有關(guān),但已知例3,甲乙兩臺(tái)車床加工同一產(chǎn)品,甲車床的次品率為0.03,乙車床的次品率為0.02,又知甲車床的產(chǎn)量是乙車床產(chǎn)量的兩倍,現(xiàn)將兩臺(tái)車床的產(chǎn)品放在一起,從中任取一件,求該產(chǎn)品是次品的概率?!敬鹨删幪?hào):10010416針對(duì)該題提問】解:用B表示該產(chǎn)品是次品,A表示該產(chǎn)品由甲車床生產(chǎn)已知 例4,二門導(dǎo)彈射擊敵機(jī),敵機(jī)未被擊中的概率為0.25,被擊中一彈的概率為0.5,被擊中二彈的概率為0.25,若敵機(jī)中一彈時(shí)被擊落的概率為0.7,敵機(jī)中二彈時(shí),被擊落的概率為0.9。求敵機(jī)被擊落的概率?!敬鹨删幪?hào):10010417針對(duì)該題提問】解:用AK表示敵機(jī)的被擊中K彈,K=0,1,2;B表示敵機(jī)被擊落已知顯然有其中A0,A1,A2是的一個(gè)劃分(三)逆概公式(貝葉斯公式)由 可得公式叫逆概公式(貝葉斯公式)當(dāng)P(A),P(B),已知時(shí),可反過來(lái)求。例5,某地七月份下暴雨的概率為0.7,當(dāng)下暴雨時(shí),有水量的概率為0.2;當(dāng)不下暴雨時(shí),有水量的概率為0.05,求:(1)該地七月份有水災(zāi)的概率.【答疑編號(hào):10010501針對(duì)該題提問】(2)當(dāng)該地七月份已發(fā)生水災(zāi)時(shí),下暴雨的概率.【答疑編號(hào):10010502針對(duì)該題提問】解:用B表示該地七月有水災(zāi);A表示該地七月下暴雨已知(1)(2)例6,某種產(chǎn)品分別由甲、乙、丙三廠生產(chǎn),甲廠產(chǎn)量占50%,次品率為0.01,乙廠產(chǎn)量占30%,次品率為0.02,丙廠產(chǎn)量占20%,次品率為0.05,求:(1)該產(chǎn)品的次品率【答疑編號(hào):10010503針對(duì)該題提問】(2)若任取一件,該件是次品,求這件次品分別是甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品的概率?!敬鹨删幪?hào):10010504針對(duì)該題提問】解:用B表示產(chǎn)品是次品,A1表示甲廠的產(chǎn)品,A2表示乙廠的產(chǎn)品,A3表示丙廠的產(chǎn)品。所以表示已知產(chǎn)品甲廠產(chǎn)品時(shí),該產(chǎn)品是次品表示已知產(chǎn)品是乙廠產(chǎn)品時(shí),該產(chǎn)品是次品。表示已知該產(chǎn)品是丙廠產(chǎn)品時(shí),該產(chǎn)品是次品。則表示已知產(chǎn)品是次品時(shí),它是甲廠產(chǎn)品;則表示已知產(chǎn)品是次品時(shí),它是乙廠產(chǎn)品;則表示已知產(chǎn)品是次品時(shí),它是丙廠產(chǎn)品;(1)(2)可見,若該產(chǎn)品是次品,則此次品是丙廠產(chǎn)品的可能性最大。例7,甲袋中有3個(gè)白球,2個(gè)紅球,乙袋中有2個(gè)白球,3個(gè)紅球,先從甲袋中取一個(gè)球放入乙袋,再?gòu)囊掖腥∫粋€(gè)球,求:(1)從乙袋中取出的球是白球的概率;【答疑編號(hào):10010505針對(duì)該題提問】(2)如果從乙袋中取出的球是白球,則這時(shí)從甲袋中取出白球的概率是多少?從甲袋中取出紅球的概率是多少?【答疑編號(hào):10010506針對(duì)該題提問】解:用B表示從乙袋中取出白球;A表示從甲袋中取出白球,所以表示從甲袋中取出紅球。已知 (1)(2) 可見從甲袋中取出白球的可能性大。例8,已知,求(1)P(AB);【答疑編號(hào):10010507針對(duì)該題提問】(2)【答疑編號(hào):10010508針對(duì)該題提問】解:(1)(2)例9,若;求(1)P(B);【答疑編號(hào):10010509針對(duì)該題提問】(2)P(A+B)【答疑編號(hào):10010510針對(duì)該題提問】解:(1)(2)(3) 例10,已知;求【答疑編號(hào):10010511針對(duì)該題提問】解:(1)(2)(3) 1.4事件的獨(dú)立性(一)事件的獨(dú)立性(1)定義:若P(AB)=P(A)P(B),就說(shuō)事件A與事件B相互獨(dú)立。(2)A與B獨(dú)立的性質(zhì)性質(zhì)一,若A與B獨(dú)立,則 而若A與B獨(dú)立,則證:A與B獨(dú)立,P(AB)=P(A)P(B)(1)當(dāng)P(A)0時(shí),(2)當(dāng)P(B)0時(shí),性質(zhì)一說(shuō)明A與B相互獨(dú)立時(shí),A發(fā)生與否,對(duì)B發(fā)生的概率沒有影響,而且,B發(fā)生與否也對(duì)A發(fā)生的概率沒有影響。 性質(zhì)二,若A與B獨(dú)立,則有(1)與獨(dú)立(2)與B獨(dú)立(3)A與獨(dú)立 證:用獨(dú)立性定義:(1)A與B獨(dú)立,P(AB)=P(A)P(B)由對(duì)偶公式與獨(dú)立(2) 與B相互獨(dú)立(3)A與相互獨(dú)立由A與B獨(dú)立這一定義可推廣有下
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