自考 概率論 與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 課堂(1).doc

例如：例一，袋中有8個(gè)球，從中任取3個(gè)球，求取法有多少種？【答疑編號(hào)：10000103針對(duì)該題提問】解：任取出三個(gè)球與所取3個(gè)球順序無(wú)關(guān)，故方法數(shù)為組合數(shù)（種）例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（）從中任取3件，求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少種？【答疑編號(hào)：10000104針對(duì)該題提問】解：第一步在5件正品中取2件，取法有（種）第二步在3件次品中取1件，取法有（種）由乘法原則，取法共有103=30（種）第一章 隨機(jī)事件與隨機(jī)事件的概率1.1隨機(jī)事件引例一，擲兩次硬幣，其可能結(jié)果有：上上；上下；下上；下下則出現(xiàn)兩次面向相同的事件A與兩次面向不同的事件B都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的。引例二，擲一次骰子，其可能結(jié)果的點(diǎn)數(shù)有：1，2，3，4，5，6則出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的事件A，點(diǎn)數(shù)4的事件B都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件。從引例一與引例二可見，有些事件在一次試驗(yàn)中，有可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，即它沒有確定性結(jié)果，這樣的事件，我們叫隨機(jī)事件。（一）隨機(jī)事件：在一次試驗(yàn)中，有可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件，叫隨機(jī)事件，習(xí)慣用A、B、C表示隨機(jī)事件。由于本課程只討論隨機(jī)事件，因此今后我們將隨機(jī)事件簡(jiǎn)稱事件。雖然我們不研究在一次試驗(yàn)中，一定會(huì)出現(xiàn)的事件或者一定不出現(xiàn)的事件，但是有時(shí)在演示過程中要利用它，所以我們也介紹這兩種事件。必然事件：在一次試驗(yàn)中，一定出現(xiàn)的事件，叫必然事件，習(xí)慣用表示必然事件。例如，擲一次骰子，點(diǎn)數(shù)6的事件一定出現(xiàn)，它是必然事件。不可能事件：在一次試驗(yàn)中，一定不出現(xiàn)的事件叫不可能事件，而習(xí)慣用表示不可能事件。例如，擲一次骰子，點(diǎn)數(shù)6的事件一定不出現(xiàn)，它是不可能事件。（二）基本（隨機(jī)）事件隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果，叫基本隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱基本事件，也叫樣本點(diǎn)，習(xí)慣用表示基本事件。例如，擲一次骰子，點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6分別是基本事件，或叫樣本點(diǎn)。全部基本事件叫基本事件組或叫樣本空間，記作，當(dāng)然是必然事件。（三）隨機(jī)事件的關(guān)系（1）事件的包含：若事件A發(fā)生則必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，就說(shuō)事件B包含事件A，記作。例如，擲一次骰子，A表示擲出的點(diǎn)數(shù)2，B表示擲出的點(diǎn)數(shù)3。A=1，2，B=1，2，3。所以A發(fā)生則必然導(dǎo)致B發(fā)生。顯然有（2）事件的相等：若，且就記A=B，即A與B相等，事件A等于事件B，表示A與B實(shí)際上是同一事件。（四）事件的運(yùn)算 （1）和事件：事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件叫事件A與事件B的和事件，記作：或A+B例如，擲一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3則和事件A+B=1，2，3，5顯然有性質(zhì)若，則有A+B=BA+A=A（2）積事件：事件A與事件B都發(fā)生的事件叫事件A與事件B的積事件，記作：AB或AB 例如，擲一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3，則AB=1，3顯然有性質(zhì)：若，則有AB=AAA=A（3）差事件：事件A發(fā)生而且事件B不發(fā)生的事件叫事件A與事件B的差事件，記作（A-B）例如，擲一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3，則A-B=5顯然有性質(zhì)：若，則有A-B=A-B=A-AB（4）互不相容事件：若事件A與事件B不能都發(fā)生，就說(shuō)事件A與事件B互不相容（或互斥）即AB=例如，擲一次骰子，A=1，3，5；B=2，4AB= （5）對(duì)立事件：事件A不發(fā)生的事件叫事件A的對(duì)立事件。記作例如，擲一次骰子，A=1，3，5，則顯然，對(duì)立事件有性質(zhì)：注意：A與B對(duì)立，則A與B互不相容，反之不一定成立。例如在考試中A表示考試成績(jī)?yōu)閮?yōu)，B表示考試不及格。A與B互不相容，但不對(duì)立。下面圖1.1至圖1.6用圖形直觀的表示事件的關(guān)系和運(yùn)算，其中正方形表示必然事件或樣本空間。圖1.1表示事件事件A圖1.2陰影部分表示A+B圖1.3陰影部分表示AB圖1.4陰影部分表示A-B圖1.5表示A與B互不相容圖1.6陰影部分表示事件的運(yùn)算有下面的規(guī)律： （1）A+B=B+A，AB=BA叫交換律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫結(jié)合律 （AB）C=A（BC）（3）A（B+C）=AB+AC（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律（4）叫對(duì)偶律例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的運(yùn)算表示以下事件。（1）A，B，C三事件中，僅事件A發(fā)生【答疑編號(hào)：10010101針對(duì)該題提問】（2）A，B，C三事件都發(fā)生【答疑編號(hào)：10010102針對(duì)該題提問】（3）A，B，C三事件都不發(fā)生【答疑編號(hào)：10010103針對(duì)該題提問】（4）A，B，C三事件不全發(fā)生【答疑編號(hào)：10010104針對(duì)該題提問】（5）A，B，C三事件只有一個(gè)發(fā)生【答疑編號(hào)：10010105針對(duì)該題提問】（6）A，B，C三事件中至少有一個(gè)發(fā)生【答疑編號(hào)：10010106針對(duì)該題提問】解：（1）（2）ABC（3）（4）（5）（6）A+B+C例2.某射手射擊目標(biāo)三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，請(qǐng)用A1、A2、A3的運(yùn)算來(lái)表示B0、B1、B2、B3【答疑編號(hào)：10010107針對(duì)該題提問】解：（1）（2）（3）（4）例3 ，A，B，C表示三事件，用A，B，C的運(yùn)算表示下列事件。（1）A，B都發(fā)生且C不發(fā)生【答疑編號(hào)：10010108針對(duì)該題提問】（2）A與B至少有一個(gè)發(fā)生而且C不發(fā)生【答疑編號(hào)：10010109針對(duì)該題提問】（3）A，B，C都發(fā)生或A，B，C都不發(fā)生【答疑編號(hào)：10010110針對(duì)該題提問】（4）A，B，C中最多有一個(gè)發(fā)生【答疑編號(hào)：10010111針對(duì)該題提問】（5）A，B，C中恰有兩個(gè)發(fā)生【答疑編號(hào)：10010112針對(duì)該題提問】（6）A，B，C中至少有兩個(gè)發(fā)生【答疑編號(hào)：10010113針對(duì)該題提問】（7）A，B，C中最多有兩個(gè)發(fā)生【答疑編號(hào)：10010114針對(duì)該題提問】解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）簡(jiǎn)記AB+AC+BC（7）簡(jiǎn)記例4，若=1，2，3，4，5，6；A=1，3，5；B=1，2，3求（1）A+B；【答疑編號(hào)：10010115針對(duì)該題提問】（2）AB；【答疑編號(hào)：10010116針對(duì)該題提問】（3） ；【答疑編號(hào)：10010117針對(duì)該題提問】（4）；【答疑編號(hào)：10010118針對(duì)該題提問】（5）；【答疑編號(hào)：10010119針對(duì)該題提問】（6）；【答疑編號(hào)：10010120針對(duì)該題提問】（7），【答疑編號(hào)：10010121針對(duì)該題提問】（8） ?！敬鹨删幪?hào)：10010122針對(duì)該題提問】解：（1）A+B=1，2，3，5；（2）AB=1，3；（3）=2，4，6；（4）=4，5，6；（5）=4，6；（6）=2，4，5，6；（7）=2，4，5，6；（8）=4，6由本例可驗(yàn)算對(duì)偶律，=，=正確例5，（1）化簡(jiǎn)；【答疑編號(hào)：10010123針對(duì)該題提問】（2）說(shuō)明AB與是否互斥【答疑編號(hào)：10010124針對(duì)該題提問】解：（1）（2）例6.A，B，C為三事件，說(shuō)明下列表示式的意義。（1）ABC；【答疑編號(hào)：10010125針對(duì)該題提問】（2）；【答疑編號(hào)：10010126針對(duì)該題提問】（3）AB；【答疑編號(hào)：10010127針對(duì)該題提問】（4）【答疑編號(hào)：10010128針對(duì)該題提問】解：（1）ABC表示事件A，B，C都發(fā)生的事件（2） 表示A，B都發(fā)生且C不發(fā)生的事件（3）AB表示事件A與B都發(fā)生的事件，對(duì)C沒有規(guī)定，說(shuō)明C可發(fā)生，也可不發(fā)生。AB表示至少A與B都發(fā)生的事件（4）所以也可以記AB表示，ABC與 中至少有一個(gè)發(fā)生的事件。例7.A，B，C為三事件，說(shuō)明（AB+BC+AC）與是否相同?！敬鹨删幪?hào)：10010129針對(duì)該題提問】解：（1）表示至少A，B發(fā)生它表示A，B，C三事件中至少發(fā)生二個(gè)的事件。（2）表示A，B，C三事件中，僅僅事件A與事件B發(fā)生的事件表示A，B，C三事件中僅有二個(gè)事件發(fā)生的事件。因而它們不相同。1.2隨機(jī)事件的概率（一）頻率：（1）在相同條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生了nA次，則事件A發(fā)生的次數(shù)nA叫事件A發(fā)生的頻數(shù)。（2）比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率，記作fn（A），即歷史上有不少人做過拋硬幣試驗(yàn)，其結(jié)果見下表，用A表示出現(xiàn)正面的事件： 試驗(yàn)人nnAfn（A）摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016從上表可見，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n大量增加時(shí)，事件A發(fā)生的頻率fn（A）會(huì)穩(wěn)定某一常數(shù)，我們稱這一常數(shù)為頻率的穩(wěn)定值。例如從上表可見拋硬幣試驗(yàn)，正面出現(xiàn)的事件A的頻率fn（A）的穩(wěn)定值大約是0.5。（二）概率：事件A出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值叫事件A發(fā)生的概率，記作P（A）實(shí)際上，用上述定義去求事件A發(fā)生的概率是很困難的，因?yàn)榍驛發(fā)生的頻率fn（A）的穩(wěn)定值要做大量試驗(yàn)，它的優(yōu)點(diǎn)是經(jīng)過多次的試驗(yàn)后，給人們提供猜想事件A發(fā)生的概率的近似值。粗略地說(shuō)，我們可以認(rèn)為事件A發(fā)生的概率P（A）就是事件A發(fā)生的可能性的大小，這種說(shuō)法不準(zhǔn)確，但人們?nèi)菀桌斫夂徒邮?，便于?yīng)用。下面我們不加證明地介紹事件A的概率P（A）有下列性質(zhì)：（1）0P（A） 1（2）P（）=1，P（）=0（3）若A與B互斥，即AB=，則有P（A+B）=P（A）+P（B）若A1，A2，An互斥，則有（三）古典概型：若我們所進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)有下面兩個(gè)特點(diǎn)：（1）試驗(yàn)只有有限個(gè)不同的結(jié)果；（2）每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，則這種試驗(yàn)?zāi)Ｐ徒泄诺涓判?。例如，擲一次骰子，它的可能結(jié)果只有6個(gè)，假設(shè)骰子是均勻的，則每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是1/6，所以相等，這種試驗(yàn)是古典概型。下面介紹古典概型事件的概率的計(jì)算公式：設(shè)是古典概型的樣本空間，其中樣本點(diǎn)總數(shù)為n，A為隨機(jī)事件，其中所含的樣本點(diǎn)數(shù)為r則有公式：例1，擲一次骰子，求點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)點(diǎn)的事件A的概率?！敬鹨删幪?hào)：10010201針對(duì)該題提問】解：樣本空間為=1，2，3，4，5，6；A=1，3，5n=6,r=3 例2.擲三次硬幣，設(shè)A表示恰有一次出現(xiàn)正面，B表示三次都出現(xiàn)正面，C表示至少出現(xiàn)一次正面，求：（1）P（A）；【答疑編號(hào)：10010202針對(duì)該題提問】（2）P（B）；【答疑編號(hào)：10010203針對(duì)該題提問】（3）P（C）【答疑編號(hào)：10010204針對(duì)該題提問】解：樣本空間=正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反；（1） （2）（3） 由于在古典概型中，事件A的概率P（A）的計(jì)算公式只需知道樣本空間中的樣本點(diǎn)的總數(shù)n和事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)r就足夠，而不必一一列舉樣本空間的樣本點(diǎn)，因此，當(dāng)樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)比較多或難于一一列舉的時(shí)候，也可以用分析的方法求出n與r的數(shù)值即可。例3，從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 這10個(gè)數(shù)碼中，取出三個(gè)不同的數(shù)碼，求所取3個(gè)數(shù)碼不含0和5的事件A的概率。【答疑編號(hào)：10010205針對(duì)該題提問】解：從10個(gè)不同數(shù)碼中，任取3個(gè)的結(jié)果與順序無(wú)關(guān)，所以基本事件總數(shù) A事件中不能有0和5，所以只能從其余8個(gè)數(shù)碼中任取3個(gè)，所以A中的基本事件 例4，從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，放回后再取一個(gè)，求所取兩個(gè)數(shù)字不同的事件A的概率。【答疑編號(hào)：10010206針對(duì)該題提問】解：（1）第一次取一個(gè)數(shù)字的方法有9種；第二次取一個(gè)數(shù)字的方法與第一次相同也是9種；由乘法原則，知兩次所取的數(shù)字方法有99=92（種）每一種取法是一個(gè)基本事件，所以n=92（2）所取兩個(gè)數(shù)字不同時(shí)，相當(dāng)于從中任取兩個(gè)數(shù)，其結(jié)果與順序有關(guān)，所取取法有：也可按（1）的乘法原則求r，第一次的取法有9種，第二次的數(shù)字與第1次不同，所以只有8種，所以取法共有98（種）r=98例5，袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球，求（1）所取2個(gè)球的顏色不同的事件A的概率；【答疑編號(hào)：10010207針對(duì)該題提問】（2）所取2個(gè)球都是白球的事件B的概率；【答疑編號(hào)：10010208針對(duì)該題提問】（3）所取2個(gè)球都是紅球的事件C的概率；【答疑編號(hào)：10010209針對(duì)該題提問】（4）所取2個(gè)球是顏色相同的事件的概率?！敬鹨删幪?hào)：10010210針對(duì)該題提問】解：袋中共的8個(gè)球，從中任取2個(gè)球結(jié)果與順序無(wú)關(guān)，所以取法共有種，每一種取法的結(jié)果是一個(gè)基本事件，所以基本事件總數(shù)為（1）分兩步取。第一步，在5個(gè)白球中任取一個(gè)，方法數(shù)為5；第二步在3個(gè)紅球中取一個(gè)，方法數(shù)為3，根據(jù)乘法原則，共有53種方法，即有53種結(jié)果。（2）從5個(gè)白球中任取2個(gè)，結(jié)果與順序無(wú)關(guān)取法共有（種）B包含的基本事件共有r2=10 （3）從3個(gè)紅球中任取2個(gè)的方法為（種）C包含的基本事件數(shù)r3=3 （4）所取2個(gè)球顏色相同的有兩類：第一類：2個(gè)球都是白球的方法有（種） 第二類：2個(gè)球都是紅球的方法有（種）根據(jù)加法原則，所取2個(gè)球是顏色相同的方法共有10+3=13種。2個(gè)球顏色相同的事件D包含r4=13種基本事件。例6，袋中有10件產(chǎn)品，其中有7件正品，3件次品，從中每次取一件，共取兩次，求:（1）不放回抽樣，第一次取后不放回，第二次再取一件，而且第一次取到正品，第二次取到次品的事件A的概率?！敬鹨删幪?hào)：10010211針對(duì)該題提問】（2）放回抽樣，第一次取一件產(chǎn)品，放回后第二次再取一件，求第一次取到正品，第二次取到次品的事件B的概率【答疑編號(hào)：10010212針對(duì)該題提問】解（1）第一次取一件產(chǎn)品的方法有10種不放回，第二次取一件產(chǎn)品的方法有9種由乘法原則知，取兩次的方法共有109種也可以用排列數(shù)計(jì)算，因?yàn)榻Y(jié)果與順序有關(guān)，所以取法有（種）基本事件總數(shù)n=109第一次取到正品，第二次取到次品的方法有73種，所以事件A包含的基本事件有：（2）放回抽樣。由于有放回，所以第一次、第二次取一件產(chǎn)品的方法都是10種，由乘法原則知抽取方法共有1010=100種，所以基本事件總數(shù)n=1010=100第一次取正品方法有7種，第二次取次品的方法有3種，由乘法原則，事件B包含的基本事件共有 例7，將一套有1,2,3,4,5分冊(cè)的5本書隨機(jī)放在書架的一排上，求1，2分冊(cè)放在一起的事件A的概率?！敬鹨删幪?hào)：10010301針對(duì)該題提問】解：（1）基本事件總數(shù)n=54321（種）或者為（2）A包含的基本事件有（種）例8，擲兩次骰子，求點(diǎn)數(shù)和為7的事件A的概率。【答疑編號(hào)：10010302針對(duì)該題提問】解：（1）基本事件總數(shù)n=66=36（種）（2）A=；A包含的基本事件數(shù)r=6 例9，從1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)碼中任取3個(gè)，排成三位數(shù)，求（1）所排成的三位數(shù)是偶數(shù)的事件A的概率。（2）所排成的三位數(shù)是奇數(shù)的事件B的概率。【答疑編號(hào)：10010303針對(duì)該題提問】解：基本事件總數(shù)（個(gè)）（1）所排成的三位數(shù)是偶數(shù)的取法需分兩步：第一步，取一個(gè)偶數(shù)放在個(gè)位碼位置，取法有3種；第二步，將其余6個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)排成一排，分別處于十位數(shù)和百位數(shù)碼位置，共有種方法。根據(jù)乘法原則，事件A包含的基本事件數(shù)（2）所排成的三位數(shù)的取法也需分兩步進(jìn)行；第一步，取一個(gè)奇數(shù)放在個(gè)位碼位置，有4種方法。第二步，將其余6個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)放在十位碼和百位碼，方法有種。根據(jù)乘法原則，事件B包含的基本事件數(shù)例10，袋中有9個(gè)球，分別標(biāo)有號(hào)碼1，2，3，4，5，6，7，8，9從中任取3個(gè)球，求（1）所取3個(gè)球的最小號(hào)碼為4的事件A的概率；【答疑編號(hào)：10010304針對(duì)該題提問】（2）所取3個(gè)球的最大號(hào)碼為4的事件B的概率；【答疑編號(hào)：10010305針對(duì)該題提問】解：基本事件總數(shù)（個(gè)）（1）最小號(hào)碼為4的取法分兩步進(jìn)行第一步，取出4號(hào)球，方法只有1種第二步，在5，6，7，8，9這5個(gè)球中任取2個(gè)，方法數(shù)為A包含的基本事件（2）最大碼為4的取法為：第一步，取出4號(hào)球方法只有1種第二步，在1，2，3號(hào)球中任取2個(gè)，方法數(shù)為B包含的基本事件例11，將兩封信投入4個(gè)信箱中，求兩封信在同一信箱的事件A的概率?！敬鹨删幪?hào)：10010306針對(duì)該題提問】解：（1）先將第一封信投入信箱，有4種方法再將第二封信投入信箱，也有4種方法根據(jù)乘法原則共有44種方法基本事件總數(shù)n=44（2）將兩封信同時(shí)投入一個(gè)信箱，方法有4種A包含的基本事件數(shù)r=4例12，袋中有10個(gè)球，其中有6個(gè)白球，4個(gè)紅球，從中任取3個(gè)，求：（1）所取的三個(gè)球都是白球的事件A的概率【答疑編號(hào)：10010307針對(duì)該題提問】（2）所取三個(gè)球中恰有2個(gè)白球一個(gè)紅球的事件B的概率【答疑編號(hào)：10010308針對(duì)該題提問】（3）所取3個(gè)球中最多有一個(gè)白球的事件C的概率【答疑編號(hào)：10010309針對(duì)該題提問】（4）所取3個(gè)球顏色相同的事件D的概率【答疑編號(hào)：10010310針對(duì)該題提問】解：基本事件總數(shù)（1）A包含的基本事件數(shù)（2）B包含的基本事件數(shù)（3）C的基本事件包含兩類：第一類，一個(gè)白球，二個(gè)紅球的取法有第二類，0個(gè)白球，三個(gè)紅球取法有種事件C包含的基本事件數(shù)（4）事件D包含的基本事件有兩類：第一類，三個(gè)球都是白球的取法有種第二類，三個(gè)球都是紅球的取法有種事件D包含的基本事件數(shù)（種）（四）概率的加法公式請(qǐng)先看下面引例：擲一次骰子，A=1，3，5，B=1，2，3請(qǐng)求：（1）P（A）；【答疑編號(hào)：10010311針對(duì)該題提問】（2）P（B）；【答疑編號(hào)：10010312針對(duì)該題提問】（3）P（A+B）；【答疑編號(hào)：10010313針對(duì)該題提問】（4）P（AB）【答疑編號(hào)：10010314針對(duì)該題提問】解：（1） （2）（3） （4） 由本例看出，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），本例的結(jié)果具有普遍性，下面我們不加證明地介紹下面公式：特別情形： （1）如果A與B互斥，即AB=則P（AB）=0這時(shí)（2）因?yàn)锳與有性質(zhì)所以 當(dāng)上面等式中左邊的概率P（A）不易求得，而且A的對(duì)立事件的概率則較易計(jì)算時(shí)，便可以通過容易計(jì)算的求難計(jì)算的概率P（A）。例1若P（A）=0.5，P（A+B）=0.8，P（AB）=0.3，求P（B）【答疑編號(hào)：10010315針對(duì)該題提問】解：因?yàn)镻（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）P（B）=P（A+B）+P（AB）-P（A）=0.8+0.3-0.5=0.6例2，袋中有10件產(chǎn)品，其中有6件正品，4件次品，從只任取3件，求所取3件中有次品的事件A的概率?！敬鹨删幪?hào)：10010316針對(duì)該題提問】解：A表示有次品，它包含有1件次品，有2件次品，有3件次品三類事件，計(jì)算比較復(fù)雜。而對(duì)立事件 則表示沒有次品，即都是正品的事件，比較簡(jiǎn)單。因?yàn)榛臼录倲?shù)事件 包含的基本事件加法公式可推廣如下：例3，P（A）=0.4，P（B）=0.5，P（C）=0.4，P（AB）=0.2，P（AC）=0.24，P（BC）=0，求P（A+B+C）。【答疑編號(hào)：10010317針對(duì)該題提問】解： （五）概率的減法公式 因?yàn)?，而，而BA與明顯不相容。特別地，若，則有AB=A所以當(dāng)例1 ，已知P（B）=0.8，P（AB）=0.5，求 【答疑編號(hào)：10010318針對(duì)該題提問】解：例2，若A與B互不相容，P（A）=0.5，P（B）=0.3，求【答疑編號(hào)：10010319針對(duì)該題提問】解：（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8根據(jù)對(duì)偶公式所以 1.3條件概率（一）條件概率和乘法公式 符號(hào)叫在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，叫條件概率，需要指出的是條件概率仍是事件A的概率，但是它有條件，條件是以B已經(jīng)發(fā)生為前提，或者是以B已經(jīng)發(fā)生為條件。 例1，某廠有200名職工，男、女各占一半，男職工中有10人是優(yōu)秀職工，女職工中有20人是優(yōu)秀職工，從中任選一名職工。用A表示所選職工優(yōu)秀，B表示所選職工是男職工。求（1）P（A）；【答疑編號(hào)：10010401針對(duì)該題提問】（2）P（B）；【答疑編號(hào)：10010402針對(duì)該題提問】（3）P（AB）；【答疑編號(hào)：10010403針對(duì)該題提問】（4）；【答疑編號(hào)：10010404針對(duì)該題提問】解：（1）（2）（3）AB表示所選職工既是優(yōu)秀職工又是男職工 （4）表示已知所選職工是男職工。在已知所選職工是男職工的條件下，該職工是優(yōu)秀職工，這時(shí)n=100,r=10 由本例可以看出事件A與事件不是同一事件,所以它們的概率不同,即 由本例還可看出,事件AB與事件也不相同，事件AB表示所選職工既是男職工又是優(yōu)秀職工，這時(shí)基本事件總數(shù)n1=200，r=10。而事件 則表示已知所選職工是男職工，所以基本事件總數(shù)n2=100，r=10，所以雖然P（AB）與不相同，但它們有關(guān)系，由本例可以看出本例的結(jié)果具有普遍性。下面我們不加證明地給出下面的乘法公式：顯然有：若P（A）0則有將上面的結(jié)果改寫為整式有 公式叫概率的乘法公式。 例2，在10件產(chǎn)品中，有7件正品，3件次品，從中每次取出一件（不放回），A表示第一次取出正品，B表示第二次取出正品，求：（1）P（A）；【答疑編號(hào)：10010405針對(duì)該題提問】（2）；【答疑編號(hào)：10010406針對(duì)該題提問】（3）P（AB）【答疑編號(hào)：10010407針對(duì)該題提問】解（1）（2）（3） = 例3，若P（AB）=0.3，P（B）=0.5，求【答疑編號(hào)：10010408針對(duì)該題提問】解： 例4，若P（A）=0.8，P（B）=0.4，求?！敬鹨删幪?hào)：10010409針對(duì)該題提問】解：（1）（2）例5，某人壽命為70歲的概率為0.8，壽命為80歲的概率為0.7，若該人現(xiàn)已70歲時(shí)，問他能活到80歲的概率是多少？【答疑編號(hào)：10010410針對(duì)該題提問】解：用A表示某人壽命為70歲，B表示某人壽命為80歲。已知P（A）=0.8，P（B）=0.7由于因?yàn)樗?，已?jīng)活到70歲的人能活到80歲的概率為0.875乘法公式可以推廣為：例6，袋中有三件正品，二件次品（）從中每次取出1件（不放回）共取3次，求第3次才取到次品的事件B的概率?！敬鹨删幪?hào)：10010411針對(duì)該題提問】解：用A1表示第一次取到正品A2表示第二次取到正品A3表示第三次取到正品則用古典概型計(jì)算P（A1），這時(shí)n1=5，r1=3再用古典概型計(jì)算，這時(shí)n2=4，r2=2再用古典概型計(jì)算，這時(shí)n3=3，r3=2（二）全概公式 定義：若事件組滿足條件（1）互不相容（2）在一次試驗(yàn)中，事件組中至少發(fā)生一個(gè)，即 就說(shuō)事件組是樣本空間的一個(gè)劃分。例如事件組A與有所以事件組是樣本空間的一個(gè)劃分。例如某產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠分別生產(chǎn)，A1表示該產(chǎn)品由甲廠生產(chǎn)，A2表示該產(chǎn)品由乙廠生產(chǎn)，A3表示該產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)，則事件組A1，A2，A3滿足：（1）（2）所以事件組A1，A2，A3是樣本空間的一個(gè)劃分。下面介紹全概公式 設(shè)是樣本空間的一個(gè)劃分，B是一個(gè)事件，則有：【答疑編號(hào)：10010412針對(duì)該題提問】證： 又B=B互不相容也互不相容用乘法公式上式可改寫為特別地（1）若是的一個(gè)劃分，則有（2）是的一個(gè)劃分，所以全概公式的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)P（B）不易求而且條件概率容易計(jì)算時(shí)，可用全概公式求P（B）例1，袋中有5個(gè)球，其中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，從中每次取出一個(gè)球（不放回）用A表示第一次取到紅球，B表示第二次取到紅球，求（1）P（A）；【答疑編號(hào)：10010413針對(duì)該題提問】（2）P（B）【答疑編號(hào)：10010414針對(duì)該題提問】解：（1）用古典概型n=5,r=3（2）直接求P（B）很困難，因?yàn)锽發(fā)生的概率與事件A發(fā)生與之有關(guān)，用古典概型容易求得：所以可用全概公式計(jì)算可見第一次，第二次取到紅球的概率相同。例2，已知男人中有5%是色盲，女人中有1%是色盲，若人群中男女各半。當(dāng)在人群中任取一人，問該人是色盲的概率是多少？【答疑編號(hào)：10010415針對(duì)該題提問】解：用B表示該人是色盲者，A表示該人是男人.直接求P（B）比較困難，原因在于該人是色盲的概率與該人的性別有關(guān)，但已知例3，甲乙兩臺(tái)車床加工同一產(chǎn)品，甲車床的次品率為0.03，乙車床的次品率為0.02，又知甲車床的產(chǎn)量是乙車床產(chǎn)量的兩倍，現(xiàn)將兩臺(tái)車床的產(chǎn)品放在一起，從中任取一件，求該產(chǎn)品是次品的概率?！敬鹨删幪?hào)：10010416針對(duì)該題提問】解：用B表示該產(chǎn)品是次品，A表示該產(chǎn)品由甲車床生產(chǎn)已知 例4，二門導(dǎo)彈射擊敵機(jī)，敵機(jī)未被擊中的概率為0.25，被擊中一彈的概率為0.5,被擊中二彈的概率為0.25，若敵機(jī)中一彈時(shí)被擊落的概率為0.7，敵機(jī)中二彈時(shí)，被擊落的概率為0.9。求敵機(jī)被擊落的概率?！敬鹨删幪?hào)：10010417針對(duì)該題提問】解：用AK表示敵機(jī)的被擊中K彈，K=0,1,2；B表示敵機(jī)被擊落已知顯然有其中A0,A1,A2是的一個(gè)劃分（三）逆概公式（貝葉斯公式）由 可得公式叫逆概公式（貝葉斯公式）當(dāng)P（A）,P（B），已知時(shí)，可反過來(lái)求。例5，某地七月份下暴雨的概率為0.7，當(dāng)下暴雨時(shí)，有水量的概率為0.2；當(dāng)不下暴雨時(shí)，有水量的概率為0.05，求：（1）該地七月份有水災(zāi)的概率.【答疑編號(hào)：10010501針對(duì)該題提問】（2）當(dāng)該地七月份已發(fā)生水災(zāi)時(shí)，下暴雨的概率.【答疑編號(hào)：10010502針對(duì)該題提問】解：用B表示該地七月有水災(zāi)；A表示該地七月下暴雨已知（1）（2）例6，某種產(chǎn)品分別由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)，甲廠產(chǎn)量占50%，次品率為0.01，乙廠產(chǎn)量占30%，次品率為0.02，丙廠產(chǎn)量占20%，次品率為0.05，求：（1）該產(chǎn)品的次品率【答疑編號(hào)：10010503針對(duì)該題提問】（2）若任取一件，該件是次品，求這件次品分別是甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品的概率?！敬鹨删幪?hào)：10010504針對(duì)該題提問】解：用B表示產(chǎn)品是次品，A1表示甲廠的產(chǎn)品，A2表示乙廠的產(chǎn)品，A3表示丙廠的產(chǎn)品。所以表示已知產(chǎn)品甲廠產(chǎn)品時(shí)，該產(chǎn)品是次品表示已知產(chǎn)品是乙廠產(chǎn)品時(shí)，該產(chǎn)品是次品。表示已知該產(chǎn)品是丙廠產(chǎn)品時(shí)，該產(chǎn)品是次品。則表示已知產(chǎn)品是次品時(shí)，它是甲廠產(chǎn)品；則表示已知產(chǎn)品是次品時(shí)，它是乙廠產(chǎn)品；則表示已知產(chǎn)品是次品時(shí)，它是丙廠產(chǎn)品；（1）（2）可見，若該產(chǎn)品是次品，則此次品是丙廠產(chǎn)品的可能性最大。例7，甲袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球，3個(gè)紅球，先從甲袋中取一個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥∫粋€(gè)球，求：（1）從乙袋中取出的球是白球的概率；【答疑編號(hào)：10010505針對(duì)該題提問】（2）如果從乙袋中取出的球是白球，則這時(shí)從甲袋中取出白球的概率是多少？從甲袋中取出紅球的概率是多少？【答疑編號(hào)：10010506針對(duì)該題提問】解：用B表示從乙袋中取出白球；A表示從甲袋中取出白球，所以表示從甲袋中取出紅球。已知 （1）（2） 可見從甲袋中取出白球的可能性大。例8，已知，求（1）P（AB）；【答疑編號(hào)：10010507針對(duì)該題提問】（2）【答疑編號(hào)：10010508針對(duì)該題提問】解：（1）（2）例9，若；求（1）P（B）；【答疑編號(hào)：10010509針對(duì)該題提問】（2）P（A+B）【答疑編號(hào)：10010510針對(duì)該題提問】解：（1）（2）（3） 例10，已知；求【答疑編號(hào)：10010511針對(duì)該題提問】解：（1）（2）（3） 1.4事件的獨(dú)立性（一）事件的獨(dú)立性（1）定義：若P（AB）=P（A）P（B），就說(shuō)事件A與事件B相互獨(dú)立。（2）A與B獨(dú)立的性質(zhì)性質(zhì)一，若A與B獨(dú)立，則 而若A與B獨(dú)立，則證：A與B獨(dú)立，P（AB）=P（A）P（B）（1）當(dāng)P（A）0時(shí)，（2）當(dāng)P（B）0時(shí)，性質(zhì)一說(shuō)明A與B相互獨(dú)立時(shí)，A發(fā)生與否，對(duì)B發(fā)生的概率沒有影響，而且，B發(fā)生與否也對(duì)A發(fā)生的概率沒有影響。 性質(zhì)二，若A與B獨(dú)立，則有（1）與獨(dú)立（2）與B獨(dú)立（3）A與獨(dú)立 證：用獨(dú)立性定義：（1）A與B獨(dú)立，P（AB）=P（A）P（B）由對(duì)偶公式與獨(dú)立（2） 與B相互獨(dú)立（3）A與相互獨(dú)立由A與B獨(dú)立這一定義可推廣有下